中間ヤコビアン

数学において、コンパクトなケーラー多様体またはホッジ構造の中間ヤコビアンとは、曲線の ヤコビアン多様体、ピカール多様体、アルバネーゼ多様体の一般的な一般化である複素トーラスのことである。これは、トーラス上に複素構造を配置することによって得られる。${\displaystyle H^{n}(M,\mathbb {R} )/H^{n}(M,\mathbb {Z} )}$nが奇数の場合。このトーラス上に複素構造を配置する自然な方法はいくつかあり、アンドレ・ワイル（1952 ）によるものやフィリップ・グリフィス（1968、1968b ）によるものなど、いくつかの異なる種類の中間ヤコビアンが得られます。ワイルによって構築されたものは、Mが射影的であれば自然な偏極を持ち、アーベル多様体ですが、グリフィスによって構築されたものは正則変形の下でうまく振る舞います。  

実ベクトル空間上の複雑な構造は、2乗の自己同型Iによって与えられる。${\displaystyle -1}$複雑な構造${\displaystyle H^{n}(M,\mathbb {R} )}$ホッジ分解を用いて定義される

$\displaystyle H^{n}(M,{\mathbb {R} })\otimes {\mathbb {C} }=H^{n,0}(M)\oplus \cdots \oplus H^{0,n}(M).}$

の上${\displaystyle H^{p,q}}$ワイル複合体の構造${\displaystyle I_{W}}$は乗算です${\displaystyle i^{pq}}$グリフィス複合体の構造は${\displaystyle I_{G}}$は乗算です${\displaystyle i}$もし${\displaystyle p>q}$そして${\displaystyle -i}$もし${\displaystyle p<q}$これらの複雑な構造は両方ともマッピングされます${\displaystyle H^{n}(M,\mathbb {R} )}$それ自体の中に入り込み、その上に複雑な構造を定義した。

のために${\displaystyle n=1}$中間ヤコビアンはピカール多様体であり、${\displaystyle n=2\dim(M)-1}$これはアルバネーゼ型である。これら二つの極端なケースでは、ワイルとグリフィスの構成は同等である。

クレメンスとグリフィス（1972）は中間ヤコビアンを用いて、非特異な3次多様体は単有理であるにもかかわらず有理ではないことを示した。

• ドリーニュコホモロジー

• Clemens, C. Herbert ; Griffiths, Phillip A. (1972)、「3次多様体の中間ヤコビアン」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、95 (2): 281–356、CiteSeerX 10.1.1.401.4550、doi : 10.2307/1970801、ISSN 0003-486X、JSTOR 1970801、MR 0302652    
• グリフィス、フィリップ A. (1968)、「代数多様体上の積分の周期。I. モジュラー多様体の構成と性質」、American Journal of Mathematics、90 (2): 568–626、doi : 10.2307/2373545、ISSN 0002-9327、JSTOR 2373545、MR 0229641   
• Griffiths, Phillip A. (1968b)、「代数多様体上の積分の周期。II. 周期写像の局所的研究」、American Journal of Mathematics、90 (3): 805–865、doi : 10.2307/2373485、ISSN 0002-9327、JSTOR 2373485、MR 0233825   
• グリフィス、フィリップ；ハリス、ジョセフ（1994）、『代数幾何学の原理』、ワイリー・クラシックス・ライブラリー、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、doi：10.1002/9781118032527、ISBN 978-0-471-05059-9MR 1288523​ 
• クリコフ、ヴィク・S. (2001) [1994]、「中間ヤコビアン」、数学百科事典、EMS Press
• Weil, André (1952)、「ピカール多様体について」、American Journal of Mathematics、74 (4): 865–894、doi : 10.2307/2372230、ISSN 0002-9327、JSTOR 2372230、MR 0050330