ランダム性の歴史

古代の歴史において、偶然とランダム性の概念は運命の概念と密接に結びついていました。多くの古代の人々は運命を決めるためにサイコロを振り、これが後に偶然のゲームへと発展しました。同時に、ほとんどの古代文化は、ランダム性と運命を回避しようと、さまざまな占いの方法を用いました。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}宗教や偶然のゲーム 以外にも、ランダム性は少なくとも古代アテナイの民主主義のクレロテリオンの形で抽選に用いられてきたことが証明されています。^{[ 3 ]}

確率と偶然性の形式化は、おそらく3000年前の中国で最初に行われた。ギリシャの哲学者たちはランダム性について詳しく論じたが、それは非定量的な形式にとどまった。イタリアの数学者たちが様々なギャンブルに関連する確率を形式化し始めたのは16世紀になってからのことである。近代微積分学の発明は、ランダム性の形式的な研究に好影響を与えた。19世紀には、物理​​学にエントロピーの概念が導入された。

20世紀初頭には、ランダム性の形式的分析が急速に発展し、確率の数学的基礎が導入され、 1933年には公理化されました。同時に、量子力学の出現により、決定性に関する科学的視点も変化しました。20世紀半ばから後半にかけては、アルゴリズム的ランダム性の概念を通して、アルゴリズム情報理論の考え方がこの分野に新たな次元をもたらしました。

ランダム性は長きにわたり障害や厄介事と見なされてきたが、20世紀に入ると、コンピュータ科学者たちは計算に意図的にランダム性を導入することが、より優れたアルゴリズムを設計するための効果的な手段となり得ることに気づき始めた。場合によっては、こうしたランダム化されたアルゴリズムは、最良の決定論的手法を凌駕する性能を発揮することもある。

キリスト教以前の地中海沿岸の人々は運命を決めるためにサイコロを振っており、これが後にギャンブルへと発展した。^{[ 4 ]}また、紀元前2100年に遡る古代エジプト人、ヒンドゥー教徒、中国人がギャンブルをしていた証拠もある。^{[ 5 ]}中国人はヨーロッパ人よりも先にサイコロを使用しており、ギャンブルをしていた長い歴史がある。^{[ 6 ]}

3000年以上前、数枚のコインを投げることに関する問題は、おそらく紀元前1150年に遡る中国最古の数学的文献の1つである易経で検討されました。易経では、陰と陽の2つの主要な要素がさまざまな形で組み合わされて、HH、TH、HTなどの表と裏の順列が生成され、中国人は17世紀にヨーロッパ人がパスカルの三角形を形式化するずっと前からそれを認識していたようです。 ^{[ 7 ]}しかし、西洋哲学は16世紀まで偶然とランダム性の非数学的な側面に焦点を当てていました。

歴史を通じて偶然の概念が発展してきた過程は非常に緩やかだった。人類は古代から偶然に遭遇してきたにもかかわらず、なぜランダム性の分野での進歩がこれほど遅かったのか、歴史家たちは疑問に思ってきた。デボラ・J・ベネットは、ランダム性の概念はしばしば明白で自明なものとみなされているにもかかわらず、一般の人々はランダム性を理解する上で本質的に困難に直面していると指摘する。彼女はカーネマンとトベルスキーの研究を引用し、これらの研究は、人々がそのような知識を得るために必要な詳細に注意を払わないため、統計的原理は日常経験から学ぶことができないと結論付けている。^{[ 8 ]}

ギリシャの哲学者たちは、偶然とランダム性について論じた最初期の西洋思想家でした。紀元前400年頃、デモクリトスは、世界は明確な秩序の法則によって支配されているという見方を示し、ランダム性は人間が出来事の本質を理解できないことから生じる主観的な概念であると考えました。彼は、二人の男が偶然出会うように、召使いに同時に水を運ばせるという例を用いました。召使いたちは計画を知らないため、その出会いを偶然だと考えるでしょう。^{[ 9 ]}

アリストテレスは偶然と必然を相反する力とみなした。彼は、自然界には偶然だけでは説明できない豊かで一定のパターンが存在するが、これらのパターンは必然的決定論の機械的な均一性を示すことは決してないと主張した。彼はランダム性を世界の真に広く存在する部分とみなしたが、それは必然と秩序に従属するものとみなした。^{[ 10 ]}アリストテレスは出来事を3つのタイプに分類した。必然的に起こる確実な出来事、ほとんどの場合に起こる可能性のある出来事、そして純粋な偶然によって起こる不可知の出来事である。彼は偶然のゲームの結果を不可知とみなした。^{[ 11 ]}

紀元前300年頃、エピクロスは、ランダム性は人間の知識とは無関係にそれ自体で存在するという概念を提唱した。彼は、原子の世界では原子が経路に沿ってランダムに逸れ、より高次のレベルでランダム性をもたらすと信じていた。^{[ 12 ]}

その後数世紀にわたり、偶然の概念は運命と結びついたままであった。多くの文化で、さまざまな方法を用いて占いが実践された。中国人は亀の甲羅のひび割れを分析し、タキトゥスによれば籤や前兆を最も重視していたゲルマン人は樹皮の切れ端を利用した。^{[ 13 ]}ローマ帝国では、偶然は女神フォルトゥナによって擬人化された。ローマ人はフォルトゥナがどのような決定を下すかをシミュレートするために、偶然のゲームに参加した。紀元前49年、ユリウス・カエサルはサイコロを振ってルビコン川を渡るという運命的な決断を下したとされている。^{[ 14 ]}

アリストテレスによる出来事の分類は、確実なもの、起こりうるもの、そして知ることができないものの3種類に分類され、ローマの哲学者たちに採用されましたが、彼らはそれを、人間には知り得ない出来事でさえ神によってあらかじめ定められていると考えられていた決定論的なキリスト教の教えと調和させる必要がありました。 960年頃、カンブレーのヴィボルト司教は、3つのサイコロを使った遊びの56通りの結果（順列を除く）を正しく列挙しました。 1350年以前のヨーロッパでは、トランプ遊びに関する記述は見つかっていません。教会はトランプ遊びに反対し、トランプゲームはサイコロを使ったゲームよりもはるかにゆっくりと広まりました。^{[ 15 ]}キリスト教会は特に占いを禁じており、キリスト教が広まった場所ではどこでも、占いはその昔ながらの力のほとんどを失いました。^{[ 16 ] [ 17 ]}

何世紀にもわたり、多くのキリスト教の学者は、自由意志とその暗黙のランダム性への信仰と、神がすべての出来事を知っているという考えとの間の矛盾に苦心してきた。聖アウグスティヌスとトマス・アクィナスは予知と自由意志の間の妥協点を見出そうとしたが、マルティン・ルターはランダム性に反対し、神の全知全能によって人間の行動は避けられない決定的なものになるという立場を取った。^{[ 18 ]} 13世紀、トマス・アクィナスはランダム性を単一の原因の結果ではなく、複数の原因が偶然に結びついた結果とみなした。彼はランダム性の存在を信じていたが、自然界の目的指向性の説明としてはそれを拒否した。なぜなら、彼は自然界に偶然によって得られたとは考えられないほど多くのパターンを見ていたからである。^{[ 19 ]}

ギリシャ人やローマ人は、偶然のゲームの相対頻度の大きさに気づいていませんでした。何世紀にもわたり、ヨーロッパでは偶然は数学的な根拠なしに議論され、イタリアの数学者が偶然のゲームの結果を比率として議論し始めたのは16世紀になってからのことでした。^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}ジェロラモ・カルダーノは、 1565年の『Liber de Lude Aleae』（彼の死後に出版された賭博者の手引書）の中で、さまざまなゲームで勝つ確率を分析する最初の正式な論文の1つを書きました。^{[ 23 ]}

1620 年頃、ガリレオは初期の確率モデルを用いて特定の疑問に答える「サイコロに関する発見について」という論文を書いた。 ^{[ 24 ]} 1654 年、シュヴァリエ・ド・メレの賭博への関心に触発され、ブレーズ・パスカルはピエール・ド・フェルマーと文通し、確率論の基礎の多くが築かれた。パスカルの賭けは、無限の概念を初期に用いたこと、そして決定理論を初めて正式に用いたことで知られている。パスカルとフェルマーの研究は、ライプニッツの微積分学の研究に影響を与え、それがさらに確率とランダム性の正式な分析に勢いを与えた。

ランダム性を複雑さの観点から捉えるという最初の既知の提案は、ライプニッツが死後に発見された17世紀のあまり知られていない文書の中で行った。ライプニッツは、紙片上の点の集合がランダムに選択されたかどうか（例えばインクを飛び散らすなど）を知るにはどうすればよいかと問いかけた。有限個の点の集合には必ず点を記述できる数式が存在する（例えばラグランジュ補間など）ことを考えると、この問いは点が数学的にどのように表現されるかに焦点を当てている。ライプニッツは、点を記述する関数が極めて複雑でなければならない場合、その点はランダムであると考えた。3世紀後、同じ概念がANコルモゴロフとグレゴリー・チャイティンによってアルゴリズム的ランダム性として形式化され、有限文字列をランダムとして記述するために必要なコンピュータプログラムの最小長として定義された。^{[ 25 ]}

確率論の最初の教科書である『確率論』は1718年に出版され、その後もこの分野は成長を続けた。 ^{[ 26 ]}確率に対する頻度理論のアプローチ19世紀後半にロバート・エリスとジョン・ヴェンによって初めて開発された

17世紀から19世紀にかけて数学のエリートたちがランダム性の理解において進歩を遂げる一方で、一般の人々は偶然を制御できるという希望から、占いなどの慣習に頼り続けていた。東洋（後に占いが中毒と呼ばれるようになった場所）とヨーロッパの両方で、ロマ人やその他の人々によって、占いはさまざまな方法で行われていた。^{[ 27 ] [ 28 ]}グラスに落とした卵の占いなどのイギリスの慣習は、北米のピューリタンのコミュニティに輸出された。^{[ 29 ]}

ランダム性の研究において重要な要素となっているエントロピーという用語は、1865年にルドルフ・クラウジウスが熱力学第二法則の文脈で熱機関を研究していた際に造語された。クラウジウスは「エントロピーは常に増加する」と最初に述べた人物である。^{[ 31 ]}

ニュートンの時代から1890年頃までは、システムの初期状態を非常に高い精度で把握でき、システムに作用するすべての力を同等の精度で定式化できれば、原理的には無限に長い時間にわたって宇宙の状態を予測できると一般的に信じられていた。物理システムにおけるそのような予測の限界は、1893年にアンリ・ポアンカレが天文学の三体問題において、初期状態のわずかな変化が方程式の数値積分中に軌道に大きな変化をもたらす可能性があることを示したことで明らかになった。^{[ 32 ]}

19世紀、確率論が体系化され、より深く理解されるにつれて、「ランダム性は厄介なもの」という考え方に対する疑問が投げかけられるようになった。ゲーテは次のように書いている。

世界の構造は必然性と偶然性から成り立っており、人間の知性はその両者の間に位置づけられ、それらを制御することができる。知性は自らの存在の必然性と理由を考察し、偶然性をどのように管理、制御、利用できるかを知っている。

20世紀にランダム化アルゴリズムが強力なツールとして発見されたとき、ゲーテの言葉は予言的であることが証明された。 ^{[ 33 ]} 19世紀末までに、マクスウェルとボルツマンが気体中の分子の衝突の統計的見解を研究するにつれて、ニュートンの機械的な宇宙モデルは消えつつあった。^{[ 34 ]}ボルツマンの方程式S  = k log _e W (彼の墓石に刻まれている) は、エントロピーと対数を初めて関連付けた。   

20世紀には、確率論の5つの主要な解釈（古典的、論理的、頻度、傾向、主観的など）がよりよく理解され、議論され、比較対照されました。^{[ 35 ]}この世紀には、金融から物理学まで、数多くの応用分野が開発されました。1900年、ルイ・バシュリエはブラウン運動を株式オプションの評価に適用し、金融数学と確率過程の分野を効果的に立ち上げました。

エミール・ボレルは、1909年にランダム性を正式に扱った最初の数学者の1人であり、正規数を導入した。^{[ 36 ]} 1919年、リヒャルト・フォン・ミーゼスは、ギャンブルシステムの不可能性を通して、アルゴリズム的ランダム性の最初の定義を与えた。彼は、彼が「集合」、つまりランダムなシーケンスと呼んだものの観点から、ランダム性の頻度理論を発展させた。^{[ 37 ]}フォン・ミーゼスは、集合のランダム性を経験によって確立された経験法則とみなした。彼は、集合の「無秩序」またはランダム性を、試みられたギャンブルシステムの成功の欠如と関連付けた。このアプローチにより、彼はランダム性の定義を提案し、それは後にアロンゾ・チャーチによって1940年に計算可能な関数を使用して洗練され、数学的に厳密になった。 ^{[ 38 ]}フォン・ミーゼスは、ギャンブルシステムの不可能性の原理を、証明することはできないが、繰り返しの実験で真実であることが証明されている法則であるエネルギー保存の原理になぞらえた。^{[ 39 ]}

フォン・ミーゼスは部分列選択のルールを完全に形式化することはなかったが、1940年の論文「ランダムシーケンスの概念について」の中で、アロンゾ・チャーチは、フォン・ミーゼスの形式主義における位置設定に使用される関数は、シーケンスの最初のセグメントの任意の関数ではなく、計算可能な関数であるべきだと提案し、チャーチ＝チューリングの有効性に関するテーゼに訴えた。^{[ 40 ] [ 41 ]}

20世紀初頭の量子力学の出現と1927年のハイゼンベルクの不確定性原理の定式化により、物理学者の間で自然界の決定性に関するニュートン的な考え方は終焉を迎えた。量子力学では、多くの観測量が可換ではないため、システム内のすべての観測可能な要素を一度にランダム変数として考える方法さえ存在しない。^{[ 42 ]}

1940年代初頭までに、確率に対する頻度理論のアプローチはウィーン学団内で広く受け入れられていましたが、1950年代にカール・ポパーは傾向理論を提唱しました。^{[ 43 ] [ 44 ]}頻度アプローチではコインの「1回の投げ」を扱うことができず、大規模な集団または集合体しか扱えないため、単一ケースの確率は傾向または偶然として扱われました。傾向の概念は、量子力学における単一ケースの確率設定、例えば特定の瞬間の特定の原子の崩壊の確率を扱いたいという願望によっても推進されました。より一般的に言えば、頻度アプローチでは、特定の人物の死が複数回繰り返されることはないという理由で、その人物の死の確率を扱うことはできません。カール・ポパーは、偶然の法則を考慮すれば、自然界において「偶然の概念は法則の概念と対立しない」と書いたとき、ランダム性を秩序に従属するものと見なす点でアリストテレスと同じ考えを繰り返しました。^{[ 45 ]}

1948年にクロード・シャノンが情報理論を発展させたことで、ランダム性のエントロピー観が生まれました。この観点では、ランダム性は確率過程における決定論の反対です。したがって、確率システムのエントロピーがゼロであればランダム性はなく、エントロピーが増加するとランダム性も増加します。シャノンの定式化は、すべての確率が等しい場合、19世紀のボルツマンのエントロピーの定式化にデフォルト設定されます。 ^{[ 46 ] [ 47 ]}エントロピーは現在、熱力学から量子化学まで、さまざまな科学分野で広く使用されています。^{[ 48 ]}

確率と賭け戦略の研究のためのマルチンゲールは、1930年代にポール・レヴィによって導入され、 1950年代にジョセフ・L・ドゥーブによって形式化されました。 ^{[ 49 ]}金融理論におけるランダムウォーク仮説の応用は、 1953年にモーリス・ケンドールによって初めて提案されました。 ^{[ 50 ]}その後、ユージン・ファーマとバートン・マルキールによって推進されました。

ランダム文字列は、1960年代にANコルモゴロフ（1933年に確率論の最初の公理的定義を提供した人物）^{[ 51 ]} 、チャイティン、マーティン＝レーフ^{[ 52 ]}によって初めて研究されました。文字列のアルゴリズム的ランダム性は、その文字列を生成する汎用コンピュータ上で実行されるプログラムの最小サイズ（ビット単位など）として定義されました。チャイティンのオメガ数は後に、ランダム性とプログラムの停止確率を関連付けました。^{[ 53 ]}

1964年、ブノワ・マンデルブロは、ほとんどの統計モデルは不確定性を扱う最初の段階にしか達しておらず、現実世界の乱流の多くの側面を無視していると指摘した。^{[ 54 ] [ 55 ]} 1997年には、彼は「穏やかなものから激しいものまで」 7つのランダム性の状態を定義し、従来のランダム性はスケールの穏やかな端に位置するとした。^{[ 56 ]}

数学の進歩にもかかわらず、占いや占星術など、偶然に対処する他の方法への依存は20世紀も続いた。ミャンマー政府は、占いに基づいて20世紀の経済政策を形成し、占星術師の助言に基づいて国の首都移転を計画したと伝えられている。^{[ 57 ] [ 58 ] [ 59 ]}ホワイトハウス首席補佐官ドナルド・レーガンは、1980年代のロナルド・レーガン大統領時代に行われた決定に占星術師ジョーン・クイグリーが関与していたことを批判した。^{[ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]}クイグリーは、7年間ホワイトハウスの占星術師を務めたと主張している。^{[ 63 ]}

20世紀には、ランダム性への対処における限界がよりよく理解されるようになった。予測可能性の理論的および運用上の限界の最もよく知られた例は天気予報である。これは、1950年代からこの分野でモデルが使用されてきたためである。天気や気候の予測は必然的に不確実である。天気や気候の観測は不確実で不完全であり、データが入力されるモデルも不確実である。^{[ 64 ]} 1961年、エドワード・ローレンツは、天気シミュレーション用のコンピュータプログラムに入力された初期データに非常に小さな変更を加えると、まったく異なる天気のシナリオが生じる可能性があることに気づいた。これは後にバタフライ効果として知られるようになり、「ブラジルで蝶が羽ばたくとテキサスで竜巻が発生するのか？ 」という質問として言い換えられることが多い。^{[ 65 ]}予測可能性の深刻な実際的限界の重要な例は地質学であり、地震を個別に、または統計的に予測する能力は依然として遠い見通しである。^{[ 66 ]}

1970年代後半から1980年代初頭にかけて、コンピュータ科学者たちは、計算に意図的にランダム性を導入することが、より優れたアルゴリズムを設計するための効果的な手段となり得ることに気づき始めた。場合によっては、このようなランダム化されたアルゴリズムは、最良の決定論的手法よりも優れた性能を発揮する。^{[ 33 ]}

チャパロ、ルイス F. (2020 年 4 月)。「ランダム性の簡単な歴史」。

シェイニン、OB (1991)。「アリストテレスからポアンカレまでのランダム性の概念」(PDF)。数学と科学、人間。114：41～ 55