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ギャンブルシステムの不可能性の原理は、確率論における概念である。それは、ランダムなシーケンスにおいて、部分シーケンスを体系的に選択しても、特定の要素の確率は変化しないというものである。最初の数学的証明は、リチャード・フォン・ミーゼス（シーケンスではなく集合という用語を使用した）によるものとされている。 [ 1 ] [ 2 ]
この原理は、ランダムな数列の部分列（ギャンブルシステム）を生成するいかなる方法も、特定の事象のオッズを向上させることはない、と述べている。例えば、公平なコイン投げのシーケンスでは、表と裏が出る確率はそれぞれ50/50で、互いに独立している。3回ごと、7回ごと、21回ごとなどに表に賭けるという単純なシステムでは、長期的に見て勝つオッズは変わらない。計算可能性理論の数学的な帰結として、より複雑な賭け戦略（例えばマルチンゲール法）も、長期的に見てオッズを変えることはできない。
フォン・ミーゼスの数学的証明は、周波数安定性という性質によって偏りがないならば、無限に続くゼロとイチの列をランダム列と定義している。この性質により、列中のゼロの頻度は 1/2 に安定し、任意の体系的な方法で選択されたすべての可能な部分列も同様に偏りがない。[ 3 ]
部分列の選択基準は重要です。なぜなら、シーケンス 0101010101... は偏りがないものの、奇数番目の位置を選択すると、ランダムではない 000000... になるからです。フォン・ミーゼスは部分列の「適切な」選択ルールが何であるかを完全に定義しませんでしたが、1940 年にアロンゾ・チャーチはそれを、シーケンスの最初の N 個の要素を読み取った後に、要素番号 N+1 を選択するかどうかを決定する任意の再帰関数として定義しました。チャーチは計算可能関数の分野の先駆者であり、彼が行った定義は、計算可能性に関するチャーチのチューリングのテーゼに基づいています。[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]
1960年代半ば、AN コルモゴロフとDW ラブランドはそれぞれ独立して、より寛容な選択ルールを提案した。[ 7 ] [ 8 ]彼らの見解では、チャーチの再帰関数の定義は、要素を順番に読み込むという点で制限が厳しすぎる。代わりに、シーケンスの任意の N 個の要素を読み込んだ後、まだ読み込まれていない別の要素を選択するかどうかを決定する、部分的に計算可能なプロセスに基づくルールを提案した。
この原理は、ランダム性に関する現代の概念に影響を与えました。例えば、 A.N.コルモゴロフは、有限数列を生成できる任意のプログラムが数列自体の長さ以上である場合、その数列は（ある種の計算システムに関して）ランダムであると考えました。[ 9 ] [ 10 ]