ランダム性の7つの状態

確率論、フラクタル、リスク分析におけるランダム性の7つの状態は、正規分布によってモデル化されるランダム性の概念の拡張です。これらの7つの状態は、フラクタル分析をリスクとランダム性の研究に適用した、ブノワ・マンデルブロの1997年の著書「金融におけるフラクタルとスケーリング」で初めて紹介されました。 [ 1 ]この分類^は、マイルド、スロー、ワイルドという3つの主要なランダム性の状態に基づいています。

数理ファイナンスにとって、ランダム性の 7 つの状態を分類することが重要なのは、収益分布の裾が太くなると、マーコウィッツ平均分散ポートフォリオやブラック・ショールズ・モデルなどの手法が無効になる可能性があるからです。前者は有限の標準偏差(ボラティリティ) と相関の安定性に依存しますが、後者はブラウン運動に基づいて構築されます。

これらの7つの状態は、1963年のマンデルブロの以前の研究「特定の投機的価格の変動」^[2]と「統計経済学における新しい方法」^[3]に基づいています。これらの研究でマンデルブロは、ほとんどの統計モデルは科学における不確定性に対処する最初の段階にしか近づいておらず、現実世界の混乱の多くの側面、特に金融モデリングのほとんどのケースを無視していると主張しました。^{[4] [5]これはその後、マンデルブロによって国際論理会議（1964年）で「特定の新しい科学における偶然の認識論」 [6]}と題した演説で発表されました。

直感的に言えば、マンデルブロは^、従来の正規分布は経験的および「現実世界の」分布を適切に捉えておらず、リスクとランダム性の極端な変化をモデル化するために使用できる他の形式のランダム性があると主張しました[6]。彼は、有限の平均と分散に関する要件を放棄すると、ランダム性が非常に「ワイルド」になる可能性があることに気づきました。ワイルドランダムとは、単一の観察または特定の結果が全体に非常に不均衡な影響を与える可能性がある状況に対応します。

この分類は、1997年の著書「金融におけるフラクタルとスケーリング」^[1]で、ランダム性の3つの主な状態（穏やか、緩やか、激しく）を理解するための方法として正式に導入されました。N個の加数が与えられた場合、 分割は加数の合計に対する相対的な寄与に関係します。均等に分割することで、マンデルブロは加数が同じ桁の大きさであることを意味し、そうでなければ分割が集中していると見なしました。ランダム変数の次数qのモーメントが与えられた場合、マンデルブロはそのようなモーメントの次数qの根をスケール係数（次数q）と呼びました。

7 つの州は次のとおりです。

1. 適切な軽度のランダム性：短期的な分割はN  = 2の場合に均等である（例：正規分布）
2. 軽度のランダム性の境界線: 短期的な分配はN = 2 の場合に集中しますが、 N が増加する につれて最終的には均等になります。たとえば、率λ = 1 の指数分布 (したがって、期待値は 1/ λ  = 1)
3. 有限の非局在モーメントを持つ緩やかなランダム性: スケール係数はqより速く増加するが、 より速くは増加しない、w  < 1${\displaystyle {\sqrt[{w}]{q}}}$
4. 有限かつ局所的なモーメントを持つ緩やかなランダム性: スケール係数はqのどの累乗よりも速く増加しますが、有限のままです。たとえば、対数正規分布や、重要な点として、有界一様分布 (すべての q に対して有限のスケールを持つ構造により、事前ワイルドランダム性にはなり得ません)。
5. 事前のランダム性: スケール係数はq  > 2で無限大になる。例えば、α  = 2.5のパレート分布
6. ワイルドランダム性：2次モーメントは無限だが、ある正の順序のモーメントは有限。例えば、パレート分布は${\displaystyle \alpha \leq 2}$
7. 極端なランダム性：すべてのモーメントは無限大、例えば対数コーシー分布

野生のランダム性は金融市場以外にも応用されており、例えば野生の森林火災のような不安定な状況の分析に使用されています。^[7]

この区別の要素を用いて、 2007～2010年の金融危機の1年前、そしてダウ工業株30種平均が数分間で1,000ポイントも日中変動した2010年5月のフラッシュクラッシュの4年前の²⁰⁰⁶年3月に、マンデルブロとナシム・タレブはフィナンシャルタイムズに記事を発表し、 1世紀以上にわたって使用されてきた従来の「ベルカーブ」は、急激なジャンプや不連続の可能性を無視しているため、金融市場のリスクを測定するには不十分であると主張した。このアプローチをランダムウォークに基づく従来のアプローチと比較して、彼らは次のように述べた。^[9]

私たちは主にランダムジャンプによって動かされる世界に住んでおり、ランダムウォーク用に設計されたツールは間違った問題に対処しています。

マンデルブロとタレブは、身長が数マイルもある人を見つける確率は極めて低いと想定できるものの、他の応用分野でも同様の過剰な観察が排除できないと指摘した。彼らは、従来のベル曲線は人口の身長と体重を十分に表すかもしれないが、市場のリスクやリターンをモデル化するメカニズムとしては適切ではないと主張した。1956年から2006年までのリターンの63%はわずか10営業日で表されている。^{[疑わしい–議論する]}

の確率密度を と表すと、それは二重畳み込み によって得られます。 ${\displaystyle U=U'+U''}$${\displaystyle p_{2}(u)}$${\displaystyle p_{2}(x)=\int p(u)p(xu)\,du}$

uが既知の場合、 u ′の条件付き確率密度は分割比によって与えられる。

${\displaystyle {\frac {p(u')p(uu')​​}{p_{2}(u)}}}$

多くの重要なケースでは、 の最大値はの近く、またはおよび の近くで発生します。 の対数をとって次のように書きます。 ${\displaystyle p(u')p(uu')​​}$${\displaystyle u'=u/2}$${\displaystyle u'=0}$${\displaystyle u'=u}$${\displaystyle p(u')p(uu')​​}$

${\displaystyle \Delta (u)=2\log p(u/2)-[\log p(0)+\log p(u)]}$

• が凸型の場合、分割比は最大となり、${\displaystyle \log p(u)}$${\displaystyle u'=u/2}$
• が直線の場合、分割比率は一定である${\displaystyle \log p(u)}$
• がカップ凸型の場合、分割比は最小となる。${\displaystyle \log p(u)}$${\displaystyle u'=u/2}$

倍加畳み込みを 3 つの部分に分割すると、次のようになります。

${\displaystyle p_{2}(x)=\int _{0}^{x}p(u)p(xu)\,du=\left\{\int _{0}^{\tilde {x}}+\int _{\tilde {x}}^{x-{\tilde {x}}}+\int _{x-{\tilde {x}}}^{x}\right\}p(u)p(xu)\,du=I_{L}+I_{0}+I_{R}}$

p ( u ) が確率的に短期集中しているとは、u→∞のときに( ) の中間区間が次の2つの特性を持つ ように選択できる場合である。${\displaystyle {\チルダ {u}}(u)}$${\displaystyle {\チルダ {u}},u-{\チルダ {u}}}$

• 私は₀ / p2 ( u ) _→ 0
• ${\displaystyle (u-2{\チルダ {u}})u}$しない → 0

式 について考えてみましょう。p ( u ) がスケーリング分布である場合、積分関数は 0 と ∞ で最大になります。その他の場合には、積分関数は次の式で定義される値に対して鋭いグローバル最大値を持つことがあります。 ${\displaystyle \operatorname {E} [U^{q}]=\int _{0}^{\infty }u^{q}p(u)\,du}$${\displaystyle {\チルダ {u}}_{q}}$

${\displaystyle 0={\frac {d}{du}}(q\log u+\log p(u))={\frac {q}{u}}-\left|{\frac {d\log p(u)}{du}}\right|}$

の近傍についても知っておく必要があります。この関数は、次のように表される「ガウス」近似が許されることが多いです。 ${\displaystyle u^{q}p(u)}$${\displaystyle {\チルダ {u}}_{q}}$${\displaystyle u^{q}p(u)}$

${\displaystyle \log[u^{q}p(u)]=\log p(u)+qu={\text{定数}}-(u-{\tilde {u}}_{q})^{2}{\tilde {\sigma }}_{q}^{-2/2}}$

がガウス密度で十分に近似される場合、 の大部分は として定義される「q間隔」に起因します。ガウスq間隔は のすべての値に対して大きく重なり合います。ガウスモーメントは非局在化 と呼ばれます。対数正規分布のq間隔は均一に配置され、その幅はqに依存しません。したがって、対数正規分布が十分に歪んでいる場合、q間隔と ( q + 1) 間隔は重なり合いません。対数正規モーメントは均一に局在化 と 呼ばれます。その他の場合では、隣接するq間隔が十分に高いqに対して重なり合わなくなり、そのようなモーメントは漸近的に局在化 と呼ばれます。 ${\displaystyle u^{q}p(u)}$${\displaystyle \operatorname {E} [U^{q}]}$${\displaystyle [{\tilde {u}}_{q}-{\tilde {\sigma }}_{q},{\tilde {u}}_{q}+{\tilde {\sigma }}_{q}]}$${\displaystyle \sigma}$

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