ラグランジュ、オイラー、コバレフスカヤがトップ

レオンハルト・オイラー

ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ

ソフィア・ヴァシリエヴナ・コヴァレフスカヤ

古典力学では、重力の影響下にある回転するコマなどの剛体の回転は、一般には積分可能な問題ではありません。しかし、積分可能な有名なケースが 3 つあります。オイラーのコマ、ラグランジュのコマ、コワレフスカヤのコマです。これらは、システムがホロノミック拘束を受ける場合に実際に積分可能な唯一のケースです。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} これらのコマはそれぞれ、エネルギーに加えて、積分可能性を生み出す2 つの追加の運動の定数を含んでいます。

オイラーのコマは、外部トルクがない状態で運動する、特定の対称性を持たない自由コマを表し、その固定点は重心である。ラグランジュのコマは対称コマであり、2つの慣性モーメントが等しく、重心が対称軸上にある。コバレフスカヤのコマ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}は、慣性モーメントの比が一意で、関係式を満たす特殊な対称コマである。

${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I_{3},}$

つまり、2つの慣性モーメントは等しく、3つ目はその半分の大きさであり、重心は対称軸に垂直な平面（2つの退化した主軸の平面に平行な平面）に位置する。

古典的なコマ^{[ 7 ]}の構成は時刻において記述される。${\displaystyle t}$3つの直交ベクトルによって定義される、3つの時間依存主軸によって${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{1}}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{2}}$そして ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{3}}$対応する慣性モーメント${\displaystyle I_{1}}$、${\displaystyle I_{2}}$そして${\displaystyle I_{3}}$そして、それらの軸周りの角速度。古典的なコマのハミルトニアン形式では、共役力学変数は角運動量ベクトルの成分である。${\displaystyle {\bf {L}}}$主軸に沿って

${\displaystyle (\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})=(\mathbf {L} \cdot {\hat {\bf {e}}}^{1},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}}}}}$

そして、3つの主軸のz成分、

${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})=(\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{1},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}$

これらの変数のポアソン括弧関係は次のように表される。

${\displaystyle \{\ell _{a},\ell _{b}\}=\varepsilon _{abc}\ell _{c},\ \{\ell _{a},n_{b}\}=\varepsilon _{abc}n_{c},\ \{n_{a},n_{b}\}=0}$

重心の位置が次のように与えられる場合${\displaystyle {\vec {R}}_{cm}=(a\mathbf {\hat {e}} ^{1}+b\mathbf {\hat {e}} ^{2}+c\mathbf {\hat {e}} ^{3})}$すると、コマのハミルトニアンは次のように与えられる。

${\displaystyle H={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg(an_{1}+bn_{2}+cn_{3})={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg{\vec {R}}_{cm}\cdot \mathbf {\hat {z}} ,}$

運動方程式は次のように決定される。

${\displaystyle {\dot {\ell }}_{a}=\{H,\ell _{a}\},{\dot {n}}_{a}=\{H,n_{a}\}.}$

具体的には、これらは $${\displaystyle {\dot {\ell }}_{1}=\left({\frac {1}{I_{3}}}-{\frac {1}{I_{2}}}\right)\ell _{2}\ell _{3}+mg(cn_{2}-bn_{3})}$$$${\displaystyle {\dot {n}}_{1}={\frac {\ell _{3}}{I_{3}}}n_{2}-{\frac {\ell _{2}}{I_{2}}}n_{3}}$$ そして、インデックスの巡回置換。

レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられたオイラー・トップは、トルクのないトップ（例えば、自由落下するトップ）であり、ハミルトニアンは次のようになる。

${\displaystyle H_{\rm {E}}={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}},}$

運動の4つの定数はエネルギーです${\displaystyle H_{\rm {E}}}$そして、実験室系における角運動量の3つの成分は、

${\displaystyle (L_{1},L_{2},L_{3})=\ell _{1}\mathbf {\hat {e}} ^{1}+\ell _{2}\mathbf {\hat {e}} ^{2}+\ell _{3}\mathbf {\hat {e}} ^{3}.}$

ラグランジュ・トップ^{[ 8 ]}は、ジョセフ＝ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられた対称的なコマで、重心は対称軸に沿って位置にあります。${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{3}}$ハミルトニアン付き

${\displaystyle H_{\rm {L}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}}{2I}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mghn_{3}.}$

運動の4つの定数はエネルギーです${\displaystyle H_{\rm {L}}}$、対称軸に沿った角運動量成分、${\displaystyle \ell _{3}}$z方向の角運動量

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

nベクトルの大きさ

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}$

コバレフスカヤ・トップ^{[ 4 ] [ 6 ]}は対称的なトップで、${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I}$、${\displaystyle I_{3}=I}$質量中心は対称軸に垂直な平面内にある。${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{1}}$これは1888年にソフィア・コワレフスカヤによって発見され、彼女の論文「固定点の周りを回転する固体物体について」で発表され、1888年にフランス科学アカデミーからボルダン賞を受賞しました。ハミルトニアンは

${\displaystyle H_{\rm {K}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}+2(\ell _{3})^{2}}{2I}}+mghn_{1}.}$

運動の4つの定数はエネルギーです${\displaystyle H_{\rm {K}}}$コバレフスカヤ不変量

${\displaystyle K=\xi _{+}\xi _{-}}$

変数${\displaystyle \xi _{\pm }}$定義される

${\displaystyle \xi _{\pm }=(\ell _{1}\pm i\ell _{2})^{2}-2mghI(n_{1}\pm in_{2}),}$

z方向の角運動量成分、

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

nベクトルの大きさ

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}.}$

制約を緩和して非ホロノミック制約を許容すると、よく知られている 3 つのケース以外にも、積分可能なコマが存在する。非ホロノミックなゴリャチェフ・チャプリギン・コマ（1900 年に D. ゴリャチェフによって導入され^{[ 9 ]} 、 1948 年にセルゲイ・チャプリギンによって積分された^{[ 10 ] [ 11 ]}）も積分可能である（${\displaystyle I_{1}=I_{2}=4I_{3}}$) 重心は赤道面にある。^{[ 12 ]}

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