量子逆散乱法

量子物理学において、量子逆散乱法（QISM）は、密接に関連した代数ベーテ仮説に似ており、 1979年にレオン・タクタジャンとLDファデーエフによって導入された1+1次元の積分可能モデルを解く方法です。 ^[1]

これは、ノーマン・ザブスキー氏とマーティン・クラスカル氏^[2]が開発した古典的な逆散乱法の量子化バージョンと見ることができます。この方法は、コルテウェグ・ド・フリース方程式や、その後の他の積分可能な偏微分方程式を調査するために使用されました。どちらの場合も、Lax 行列が大きな役割を果たし、散乱データを使用して元のシステムの解を構築します。

古典的な逆散乱法は、連続媒体をモデル化する積分可能な偏微分方程式を解くために使用されます(たとえば、KdV 方程式は浅瀬の波をモデル化します)。一方、QISM は、スピン鎖と呼ばれることもある多体系の量子系を解くために使用されます。スピン鎖のうち、ハイゼンベルクのスピン鎖は最もよく研​​究され、最も有名な例です。これらは通常、粒子が格子の異なる点に固定された離散系ですが、QISM によって得られる結果の限界は、量子サインゴードンモデルなどの連続体上で定義された場の理論に対しても予測を与えることができます。

量子逆散乱法は、2 つの異なるアプローチに関連しています。

1. ベーテ仮説、1つの空間と1つの時間次元で積分可能な量子モデルを解く方法。^[要出典]
2. 逆散乱変換は、進化型の古典的な積分可能な微分方程式を解く方法である。^[要出典]

この方法は量子群、特にヤンギアンの定式化につながった。^{[引用が必要]}量子行列式によって与えられるヤンギアンの中心は、この方法で重要な役割を果たしている。^{[引用が必要]}

逆散乱変換における重要な概念は、 Lax表現である。量子逆散乱法は、Lax表現の量子化から始まり、ベーテ仮説の結果を再現する。実際、これによりベーテ仮説を新しい形式、つまり代数ベーテ仮説で記述することができる。^[3]これにより、量子ハイゼンベルクモデル、量子非線形シュレーディンガー方程式（リープ・リニガーモデルまたはトンクス・ジラードガスとも呼ばれる）、ハバードモデルなどの量子可積分系の理解がさらに進んだ。^[要出典]

相関関数の理論は^{[いつ? ]}、行列式表現、微分方程式による記述、リーマン・ヒルベルト問題に関連して開発されました。空間、時間、温度依存性を含む相関関数の漸近解析は 1991 年に評価されました。^{[引用が必要]}

積分可能モデルの高次保存則の明示的な表現は 1989 年に得られました。 ^{[引用が必要]}

氷型モデルの研究において重要な進歩が達成されました。6頂点モデルの体積自由エネルギーは、熱力学的極限においても境界条件に依存します。^[要出典]

手順は次のように要約できます (Evgeny Sklyanin 1992)。

1. ヤン・バクスター方程式を解くR行列を取ります。
2. RTT ^{[説明が必要]}関係を満たす代数の表現を取る。^[4]${\displaystyle {\mathcal {T}}_{R}}$
3. の中心の生成関数 のスペクトルを求めます。${\displaystyle t(u)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{R}}$
4. 相関関係を見つけます。

• Chakrabarti, A. (2001). 「RTT 関係、修正された編組方程式、および非可換平面」。Journal of Mathematical Physics . 42 (6): 2653–2666. arXiv : math/0009178 . Bibcode :2001JMP....42.2653C. doi :10.1063/1.1365952.
• Sklyanin , EK (1992). 「量子逆散乱法。選択されたトピック」。arXiv : hep-th/9211111。
• Faddeev, L. (1995)、「量子逆散乱法の有益な歴史」、Acta Applicandae Mathematicae、39 (1): 69–84、doi :10.1007/BF00994626、MR  1329554、S2CID  120648929
• Korepin, VE; Bogoliubov, NM; Izergin, AG (1993)、「量子逆散乱法と相関関数」、ケンブリッジ数理物理学モノグラフ、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-37320-3、MR  1245942