五芒星の地図

数学において、五芒星写像は、射影平面における多角形のモジュライ空間上の離散力学系である。五芒星写像は、与えられた多角形を取り、その多角形の最短対角線の交点を見つけ、それらの交点から新しい多角形を構築する。リチャード・シュワルツは、1992年の論文^{[1]で一般多角形に対する五芒星写像を導入したが、}五角形のみに対して写像が定義されている特殊なケースは、アルフレッド・クレプシュの1871年の論文^[2]とセオドア・モツキンの1945年の論文^[3]に遡ると思われる。五芒星写像は、デザルグの定理やポンスレのポリズムの基礎となる構成と精神が似ている。これは、多角形の対角線に関するブランコ・グリュンバウムの予想の基礎となる理論的根拠と構成を反映している。 ^[4]

多角形Pの頂点が次のように与えられるとします。五芒星の地図の下のPのイメージは、図に示すような頂点を持つ多角形Qです。ここには対角線と の交点があり、以下同様です。 ${\displaystyle P_{1},P_{3},P_{5},\ldots }$${\displaystyle Q_{2},Q_{4},Q_{6},\ldots }$${\displaystyle Q_{4}}$${\displaystyle (P_{1}P_{5})}$${\displaystyle (P_{3}P_{7})}$

基本的なレベルでは、五芒星写像は平面の凸多角形に定義される演算と考えることができます。より洗練された観点からは、五芒星写像は、頂点が十分に一般的な位置にあることを条件として、体上の射影平面に含まれる多角形に対して定義されます。五芒星写像は射影変換と可換であり、それによって多角形の射影同値類のモジュライ空間への写像を誘導します。

このマップには、P頂点のインデックスが自然に奇数であるのに対し、 Q頂点のインデックスは自然に偶数であるという点で、若干問題があります。ラベル付けのより一般的なアプローチは、 P と Q の頂点に同じパリティの整数でラベルを付けることです。これは、 Q頂点の各インデックスに 1 を加えるか、1 を引くことで調整できます。どちらの選択も同じように標準的です。さらに一般的な選択は、PとQの頂点に連続する整数でラベルを付けることですが、ここでも、これらのラベルを揃える方法には 2 つの自然な選択肢があります。 1 つは、単に時計回り、もう 1 つは単に反時計回りです。この主題に関するほとんどの論文では、論文の冒頭で何らかの選択が一度行われ、その後、その選択に合わせて数式が調整されます。 ${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle Q_{k}}$${\displaystyle P_{k}}$

五芒星マップの 2 番目の反復の頂点に連続する整数でラベルを付ける完全に自然な方法があります。このため、五芒星マップの 2 番目の反復は、ラベル付けされたポリゴンで定義された反復として考える方が自然です。図を参照してください。

五芒星の地図は、ねじれた多角形のより大きな空間上でも定義されます。^[5]

ねじれN角形は、射影変換を法としてN周期となる射影平面上の点の双無限列です。つまり、ある射影変換M は、すべてのkに対してになります。写像M は、ねじれN角形のモノドロミーと呼ばれます。M が単位元である場合、ねじれN角形は、頂点が繰り返しリスト化された通常のN角形として解釈できます。したがって、ねじれN角形は通常のN角形の一般化です。 ${\displaystyle P_{k}}$${\displaystyle P_{N+k}}$

2つのねじれN角形は、射影変換によって一方が他方に移る場合、同値である。ねじれN角形のモジュライ空間は、ねじれN角形の同値類の集合である。ねじれN角形の空間には、共次元8の部分多様体として通常のN角形の空間が含まれる。 ^{[5] [6]}

五芒星写像は五角形のモジュライ空間上の恒等写像である。^{[1] [2] [3]}これは、五角形を五芒星写像の下のその像に運ぶ 射影変換が常に存在することを意味する。

この写像は、ラベル付き六角形の空間上の恒等写像です。^[1]ここでT は五角形写像の 2 番目の反復であり、上記のようにラベル付き六角形に自然に作用します。つまり、六角形と は、ラベル保存射影変換によって同値です。より正確には、六角形と は射影的に同値であり、 はラベルを 3 だけシフトすることによってから得られるラベル付き六角形です。 ^[1]図を参照してください。この事実は 19 世紀にも知られていた可能性があります。 ${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T^{2}(H)}$${\displaystyle H'}$${\displaystyle T(H)}$${\displaystyle H'}$${\displaystyle H}$

五角形や六角形に対する五芒星マップの作用は、パスカルの定理やデザルグの定理など、射影幾何学における古典的な配置定理と精神的に似ています。^[7]

五芒星マップの反復は、任意の凸多角形を指数関数的に急速に点まで縮小します。^[1]これは、凸多角形のn番目の反復の直径が定数よりも小さく、最初の多角形に依存することを意味します。ここでは、多角形の射影同値類のモジュライ空間ではなく、多角形自体に対する幾何学的作用について説明しています。 ${\displaystyle か^{n}}$${\displaystyle K>0}$${\displaystyle 0<a<1}$

このセクションでは、この記事の残りの大部分について、技術的でない概要を説明します。五芒星の地図の背景は、射影幾何学です。射影幾何学は、私たちの視覚の幾何学です。ガラスの上部、つまり円を見ると、通常は楕円が見えます。長方形のドアを見ると、通常は長方形ではない四辺形が見えます。射影変換は、同じオブジェクトを異なる視点から見たときに見えるさまざまな形状を変換します。これが、透視図法などの古いトピックやコンピューター ビジョンなどの新しいトピックで非常に重要な役割を果たしている理由です。射影幾何学は、直線はどの視点からでも直線のように見えるという事実に基づいて構築されています。直線は、主題の構成要素です。五芒星の地図は、点と直線のみで定義されます。これにより、射影幾何学に適合します。五芒星の地図を別の視点から見ると (つまり、五芒星の地図が描かれた紙を傾けると)、依然として五芒星の地図を見ていることになります。これは、五芒星の写像が射影変換と可換であるという主張を説明しています。

五芒星マップは、多角形のモジュライ空間 へのマッピングとして考えることができます。モジュライ空間は、点が他のオブジェクトをインデックスする補助的な空間です。たとえば、ユークリッド幾何学では、三角形の角度の合計は常に 180 度です。 3 つの正の数 、つまり を与えることで三角形(スケールまで)を指定できます。したがって、先ほど述べた制約を満たす各点 は、三角形 (スケールまで) をインデックスします。 は、三角形のスケール同値類のモジュライ空間の座標であると言えます。スケールまでかどうかに関係なく、すべての可能な四辺形をインデックスする場合は、いくつかの追加パラメーター が必要になります。これにより、より高次元のモジュライ空間になります。五芒星マップに関連するモジュライ空間は、多角形 の射影同値類のモジュライ空間です。この空間の各点は多角形に対応しますが、互いに異なるビューである 2 つの多角形は同じであると見なされます。五芒星マップは、前述のように射影幾何学に適応しているため、この特定のモジュライ空間へのマッピングを誘導します。つまり、モジュライ空間内の任意の点が与えられた場合、五芒星マップを対応する多角形に適用して、どのような新しい点が得られるかを確認できます。 ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle x+y+z=180.}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (x,y,z)}$

五芒星マップがモジュライ空間に何をもたらすかを考える理由は、それがマップのより顕著な特徴を与えるからです。個々の多角形、たとえば凸多角形 に何が起こるかを幾何学的に観察するだけで、それを繰り返し適用すると多角形は 1 点に縮小します。^[1]物事をより明確に見るために、縮小する多角形族を拡大して、たとえばすべてが同じ面積 を持つようにすることができます。これを行うと、通常、多角形族が細長くなっていくのがわかります。^{[1]ここで、}アスペクト比を変更して、これらの多角形をさらによく見ることができます。このプロセスをできるだけ体系的に実行すると、モジュライ空間の点に何が起こるかを見ているだけであることがわかります。この図をできるだけ知覚的に拡大しようとする試みが、モジュライ空間の導入につながります。

五芒星マップがモジュライ空間にどのように作用するかを説明するには、トーラスについて少し説明する必要があります。トーラスを大まかに定義する方法の 1 つは、理想的なドーナツの表面であると言うことです。別の方法は、 Asteroidsビデオゲームの競技場であると言うことです。トーラスを説明するさらに別の方法は、左から右、上から下の両方にラップされたコンピュータ画面であると言うことです。トーラスは、数学で多様体として知られているものの古典的な例です。これは、各点で通常のユークリッド空間に少し似ているが、どういうわけか異なって接続されている空間です。球は多様体の別の例です。これが、地球が平面ではないと人々が理解するのに非常に長い時間がかかった理由です。小さなスケールでは、球と平面を簡単に区別することはできません。トーラスのような多様体でも同じです。高次元のトーラスもあります。自分の部屋で Asteroids をプレイすると、壁や天井/床を自由に通り抜けて反対側に飛び出すことができると想像できます。

五芒星マップを使って実験をすることができます。このマッピングが多角形のモジュライ空間にどのように作用するかを見ることができます。まず 1 つの点から始めて、マップを何度も適用したときに何が起こるかをトレースします。驚くべきことがわかります。これらの点は多次元トーラスに沿って並んでいるようです。^[1]これらの目に見えないトーラスは、タマネギの層がタマネギ自体を埋め尽くす方法、またはデッキの個々のカードがデッキを埋め尽くす方法に少し似ています。技術的な説明では、トーラスはモジュライ空間の葉理を形成します。トーラスはモジュライ空間の半分の次元を持ちます。たとえば、- 多角形のモジュライ空間は次元であり、この場合のトーラスは次元です。 ${\displaystyle 7}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 3}$

トーラスはモジュライ空間の目に見えない部分集合です。五芒星マップを作成し、点がぐるぐると動き、トーラスの 1 つを埋めていくのを観察したときにのみ、トーラスが明らかになります。大まかに言えば、動的システムがこれらの不変トーラスを持つ場合、それらは可積分システムと呼ばれます。この記事の結果のほとんどは、五芒星マップが可積分システムであり、これらのトーラスが実際に存在することを証明することに関係しています。以下で説明するモノドロミー不変量は、トーラスの方程式であることがわかります。以下で説明するポアソン括弧は、トーラスのローカルジオメトリをエンコードする、より洗練された数学ガジェットです。素晴らしいのは、さまざまなオブジェクトが正確に適合し、一緒になってこのトーラスの動きが実際に存在するという証明になることです。

すべての構成の基礎となる体がFである場合、アフィン直線はFのコピーにすぎません。アフィン直線は射影直線のサブセットです。射影直線上の任意の有限の点のリストは、適切な射影変換によってアフィン直線に移動できます。

アフィン直線上の4点が与えられたとき、 （逆）複比を定義する。${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},t_{4}}$

${\displaystyle X={\frac {(t_{1}-t_{2})(t_{3}-t_{4})}{(t_{1}-t_{3})(t_{2}-t_{4})}}.}$

ほとんどの著者は 1/ X を複比と見なしており、これがX が逆複比と呼ばれる理由です。逆複比は射影変換に対して不変であるため、射影直線上の点に対しては意味を持ちます。ただし、上記の式はアフィン直線上の点に対してのみ意味を持ちます。

下記のやや一般的な設定では、射影空間内の任意の 4 つの共線点に対して複比が意味を持ちます。適切な射影変換によって点を含む線を射影線と同一視し、上記の式を使用するだけです。結果は、同一視での選択とは無関係です。逆複比は、通常の多角形とねじれた多角形の両方のモジュライ空間上の座標系を定義するために使用されます。

コーナー不変量は、ねじれた多角形の空間上の基本座標です。^{[5] [6] [8] P が}多角形であるとします。Pのフラグはペア ( p、L ) で、pはPの頂点、L はPの隣接線です。 Pの各頂点は2 つのフラグに関係し、同様にPの各辺は2 つのフラグに関係します。Pのフラグは、図に示すように、 Pの方向に従って順序付けられます。この図では、フラグは太い矢印で表されます。したがって、N 角形には 2 N 個のフラグが関連付けられています。

PをN角形とし、旗Fをそれぞれに、左の図に示す点の逆クロス比を関連付けます。このようにして、 n角形に数字を関連付けます。2つのn角形が射影変換によって関連付けられている場合、それらは同じ座標を取得します。変数は、${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{2N}}$${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},t_{4}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{2n}}$${\displaystyle x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},\ldots }$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots \,.}$

コーナー不変量は、ねじれた多角形のモジュライ空間上で意味を持ちます。ねじれた多角形のコーナー不変量を定義すると、2 N周期の双無限数列が得られます。この列の 1 周期を取ると、 内の点 (F は基礎体) を持つねじれた N 多角形が特定されます。逆に、内のほぼ任意の点 (測度論の意味で)が与えられれば、コーナー不変量のリストを持つねじれたN多角形を構築できます。このようなリストは、常に通常の多角形を生み出すわけではありません。通常のN多角形を生み出すには、リストが満たさなければならない追加の 8 つの方程式があります。 ${\displaystyle F^{2N}}$${\displaystyle F^{2N}}$

セルゲイ・タバチニコフとヴァレンティン・オブシエンコによって開発された、ねじれた多角形のモジュライ空間のための2番目の座標セットがある。 ^[6]射影平面上の多角形を、ベクトルの連続する3つ組が単位体積の平行六面体を張るようにベクトルの列で記述する。これにより、次の関係が導かれる。 ${\displaystyle \ldots V_{1},V_{2},V_{3},\ldots }$${\displaystyle R^{3}}$

${\displaystyle V_{i+3}=a_{i}V_{i+2}+b_{i}V_{i+1}+V_{i}}$

Nが 3 で割り切れない 限り、座標はねじれたN角形のモジュライ空間の座標として機能します。${\displaystyle a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots }$

(ab) 座標は、ねじれた多角形と、単位Wronskian を持つように正規化された3 次線形常微分方程式の解との間の密接な類似性を引き出します。

ここに、コーナー座標で表された五芒星マップの式があります。^[5]上で説明した標準的なラベル付けスキームのおかげで、五芒星マップの2番目の反復を考慮すると、方程式はより適切に機能します。五芒星マップの2番目の反復は合成です。 マップとは、次数2の双有理マッピングであり、次のアクションを持ちます。 ${\displaystyle B\circ A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A(x_{1},\ldots,x_{2N})=(a_{1},\ldots,a_{2N})}$

${\displaystyle B(x_{1},\ldots,x_{2N})=(b_{1},\ldots,b_{2N})}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{2k-1}&={\frac {(1-x_{2k+1}x_{2k+2})}{(1-x_{2k-3}x_{2k-2})}}x_{2k+0}\\[4pt]a_{2k+0}&={\frac {(1-x_{2k-3}x_{2k-2})}{(1-x_{2k+1}x_{2k+2})}}x_{2k-1}\\[4pt]b_{2k+1}&={\frac {(1-x_{2k-2}x_{2k-1})}{(1-x_{2k+2}x_{2k+3})}}x_{2k+0}\\[4pt]b_{2k+0}&={\frac {(1-x_{2k+2}x_{2k+3})}{(1-x_{2k-2}x_{2k-1})}}x_{2k-1}\end{aligned}}}$

（注：添え字 2 k  + 0 は単に 2 kです。0 は式を揃えるために追加されています。）これらの座標では、五芒星の写像は、${\displaystyle F^{2N}}$

五芒星マップの公式は、図に示すように、三角形グリッドの辺のラベル付けに関する一定の適合規則として解釈できる。 ^[5]この解釈では、多角形Pの角不変量は、1行の非水平辺にラベル付けされ、その後の行の非水平辺は、、、、などの角不変量によってラベル付けされる。適合規則は、 ${\displaystyle A(P)}$${\displaystyle B(A(P))}$${\displaystyle A(B(A(P)))}$

${\displaystyle c=1-ab}$

${\displaystyle wx=yz}$

これらの規則は、図に示されている構成と一致するすべての構成に適用されることを意図しています。言い換えると、関係に含まれる図形は、あらゆる位置と方向に存在する可能性があります。水平エッジのラベルは、式を簡素化するために導入された補助変数にすぎません。水平でないエッジの行が 1 つ提供されると、残りの行は互換性規則によって一意に決定されます。

五芒星の地図の公式から、コーナー座標に関して、2つの量

${\displaystyle O_{N}=x_{1}x_{3}\cdots x_{2N-1}}$

${\displaystyle E_{N}=x_{2}x_{4}\cdots x_{2N}}$

は五芒星マップの下で不変である。この観察は、多角形の対角線に関する ジョセフ・ザックスの1991年の論文^{[4]と密接に関連している。}

N  = 2 kが偶数のとき、関数

${\displaystyle O_{k}=x_{1}x_{5}x_{9}\cdots x_{2N-3}+x_{3}x_{7}x_{11}\cdots x_{2N-1}}$

${\displaystyle E_{k}=x_{2}x_{6}x_{10}\cdots x_{2N-2}+x_{4}x_{8}x_{12}\cdots x_{2N}}$

も同様に、式から直接、不変関数であることがわかります。これらすべての積は、以下で説明する不変ポアソン括弧に関してカシミール不変量であることがわかります。同時に、関数と関数は、以下で定義されるモノドロミー不変量の最も単純な例です。 ${\displaystyle O_{k}}$${\displaystyle E_{k}}$

f が実凸多角形のモジュライ空間に制限されるとき、関数の準位集合はコンパクトである。^[1]したがって、この空間に作用する五芒星写像の各軌道はコンパクトな閉包を持つ。 ${\displaystyle f=O_{N}E_{N}}$

五芒星写像は、凸多角形のモジュライ空間Xに作用するとき、不変体積形式を持つ。^[9]同時に、すでに述べたように、関数はX上にコンパクトなレベルセットを持つ。これら2つの特性は、ポアンカレの再帰定理と組み合わされて、五芒星写像のXへの作用が再帰的であることを意味する。つまり、凸多角形Pのほぼすべての同値類の軌道は、 Pのすべての近傍に無限回戻る。^[9]これは、射影変換を法として、五芒星写像を反復すると、通常、ほぼ同じ形状が何度も表示されることを意味する。 （凸多角形の射影同値類を考慮している。五芒星写像が凸多角形を目に見えて縮小するという事実は無関係である。） ${\displaystyle f=O_{N}E_{N}}$

再帰性の結果は、以下で議論する完全な積分可能性の結果に包含される。^{[6] [10]}

いわゆるモノドロミー不変量は、五芒星写像の下で不変であるモジュライ空間上の関数の集合である。 ^[5]

モノドロミー不変量を定義する観点から、ブロックは単一の整数、または連続する整数の 3 つ (たとえば 1 と 567) のいずれかであるとします。ブロックが奇数であるとは、ブロックが奇数であるということです。2 つのブロックの間に少なくとも 3 つの整数がある場合、それらのブロックは適切に分離されているとします。たとえば、123 と 567 は適切に分離されていませんが、123 と 789 は適切に分離されています。奇許容シーケンスは、適切に分離された奇数ブロックに分解される整数の有限シーケンスであるとします。これらのシーケンスをセット 1、...、2 Nから取得する場合、適切に分離されているという概念は巡回的な意味で意味されます。したがって、1 と 2 N  − 1 は適切に分離されていません。

奇数列はそれぞれコーナー不変量の 単項式を生じる。これは例で説明するのが最もよい。

• 1567年、${\displaystyle -x_{1}x_{5}x_{6}x_{7}}$
• 123789は${\displaystyle +x_{1}x_{2}x_{3}x_{7}x_{8}x_{9}}$

符号は、シーケンス内の 1 桁のブロックの数の偶奇性によって決まります。モノドロミー不変量は、k 個のブロックで構成される奇数の許容シーケンスからのすべての単項式の合計として定義されます。モノドロミー不変量は、定義で奇数を偶数に置き換えた同じ方法で定義されます。 ${\displaystyle O_{k}}$${\displaystyle E_{k}}$

Nが奇数のとき、 kの許容値は1、2、...、( n  − 1)/2 です。N が偶数のとき、 kの許容値は 1、2、...、  n /2 です。k  =  n /2 のとき、上で説明した積不変量が回復されます。どちらの場合も、不変量とは、上記の構成では生成されませんが、モノドロミー不変量としてカウントされます 。${\displaystyle O_{N}}$${\displaystyle E_{N}}$

モノドロミー不変量はねじれ多角形の空間上で定義され、閉多角形の空間上の不変量を与えるように制限される。それらは次のような幾何学的解釈を持つ。ねじれ多角形のモノドロミー M は、コーナー座標における特定の有理関数である。モノドロミー不変量は、本質的にMの トレースの同次部分である。モノドロミー不変量は (ab) 座標で記述することもできる。これらの座標では、不変量は4 対角行列の特定の行列式として現れる。^{[6] [8]}

Pの頂点がすべて円錐曲線（円など）上にあるときは、すべてのkに対して 成り立つ。^[8]${\displaystyle O_{k}(P)=E_{k}(P)}$

ポアソン括弧は、ライプニッツ恒等式とヤコビ恒等式を満たす関数空間上の反対称線型作用素である。2010年の論文^[6]で、ヴァレンティン・オブシエンコ、リチャード・シュワルツ、セルゲイ・タバチニコフは、五芒星マップの下で不変であるねじれ多角形の空間上のポアソン括弧を提示した。彼らはまた、モノドロミー不変量がこの括弧に関して可換であることを示した。これは、 ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

${\displaystyle \{O_{i},O_{j}\}=\{O_{i},E_{j}\}=\{E_{i},E_{j}\}=0}$

すべてのインデックスに対して。

ここでは、変数の観点から不変ポアソン括弧について説明します。

${\displaystyle x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},\ldots \,.}$

${\displaystyle \{x_{i},x_{i+1}\}=-x_{i}\,x_{i+1}}$

${\displaystyle \{x_{i},x_{i-1}\}=x_{i}\,x_{i-1}}$

${\displaystyle \{y_{i},y_{i+1}\}=y_{i}\,y_{i+1}}$

${\displaystyle \{y_{i},y_{i-1}\}=-y_{i}\,y_{i-1}}$

${\displaystyle \{x_{i},x_{j}\}=\{y_{i},y_{j}\}=\{x_{i},y_{j}\}=0}$その他すべて${\displaystyle i,j.}$

（ab）座標による説明もあるが、より複雑である。^[6]

不変括弧の別の説明を次に示します。モジュライ空間上の任意の関数が与えられたとき、いわゆるハミルトンベクトル場が与えられます。${\displaystyle f}$

${\displaystyle H(f)=\left(x_{i+1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i+1}}}-x_{i-1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i-1}}}\right)x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+\left(y_{i-1}{\frac {\partial f}{\partial y_{i-1}}}-y_{i+1}{\frac {\partial f}{\partial y_{i+1}}}\right)y_{i}{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}}$

ここで、繰り返しのインデックスの合計が理解されます。

${\displaystyle H(f)g=\{f,g\}}$

最初の式は、ベクトル場 の方向におけるの方向微分です。実際的には、モノドロミー不変量がポアソン交換可能であるという事実は、対応するハミルトンベクトル場が交換フローを定義することを意味します。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle H(f)}$

モノドロミー不変量と不変括弧を組み合わせることで、ねじれたN角形空間上の五芒星写像のアーノルド・リウヴィル積分可能性が確立される。^[6] Nが奇数の場合、状況はより簡単に記述できる。この場合、2つの積

${\displaystyle O_{n}=x_{1}\cdots x_{n}}$

${\displaystyle E_{n}=y_{1}\cdots y_{n}}$

は括弧の カシミール不変量であり、（この文脈では）

${\displaystyle \{O_{n},f\}=\{E_{n},f\}=0}$

すべての関数 f に対して。カシミールレベルセットは、空間内でと の両方に指定された値を持つすべての点の集合です。 ${\displaystyle O_{n}}$${\displaystyle E_{n}}$

各カシミール準位集合には、等モノドロミー葉脈、すなわち、残りのモノドロミー関数の共通準位集合への分解があります。残りのモノドロミー不変量に関連付けられたハミルトンベクトル場は、一般的に、等モノドロミー葉脈への接線分布を張ります。モノドロミー不変量がポアソン交換であるという事実は、これらのベクトル場が交換フローを定義することを意味します。これらのフローは、各等モノドロミーレベルで局所座標チャートを定義し、遷移マップがユークリッド変換になるようにします。つまり、ハミルトンベクトル場は、等モノドロミーレベルに平坦なユークリッド構造を与え、それらが滑らかでコンパクトな 多様体である場合に平坦なトーラスになるようにします。これは、ほとんどすべての準位集合で発生します。視界内のすべてのものはペンタグラム不変であるため、等モノドロミーの葉に制限されたペンタグラムマップは変換でなければなりません。この種の運動は準周期運動として知られています。これはアーノルド・リウヴィルの積分可能性を説明しています。

シンプレクティック幾何学の観点から見ると、ポアソン括弧は各カシミール準位集合上にシンプレクティック形式を生み出します。

2011 年のプレプリントで、^[10] Fedor Soloviev は、五芒星マップがスペクトルパラメータを持つLax 表現を持つことを示し、その代数幾何学的積分可能性を証明しました。これは、多角形 (ねじれまたは通常) の空間が、マークされた点と除数を持つスペクトル曲線でパラメータ化されることを意味します。スペクトル曲線はモノドロミー不変量によって決定され、除数はトーラス (スペクトル曲線の Jacobi 多様体) 上の点に対応します。代数幾何学的手法により、五芒星マップがトーラス上で準周期運動を示すことが保証され(ねじれの場合も通常の場合も)、リーマンシータ関数(つまり、時間の明示的な関数として多角形を決定する変数) を使用して明示的な解の式を構築できます。 Soloviev はまた、Krichever–Phong の普遍公式から不変ポアソン括弧を得ています。

八面体再帰は、八面体空間の頂点上に定義される力学系である。各八面体には6つの頂点があり、これらの頂点は次のようにラベル付けされる。

${\displaystyle a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=a_{3}b_{3}}$

ここで、 と は対蹠頂点のラベルです。一般的な規則では、 は常に中央の水平面にあり、 a_1、b_1 は上部と下部の頂点です。八面体再帰は、行列式を計算するためのCL Dodgson の凝縮法と密接に関連しています。^[5]通常、タイリングの 2 つの水平レイヤーにラベルを付け、基本ルールを使用してラベルを動的に伝播させます。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}}$

マックス・グリックはクラスター代数形式を用いて、交互符号行列の観点から五芒星マップの反復の公式を見つけました。^{[11]これらの公式は}、デイビッド・P・ロビンズとハロルド・ラムゼイが八面体再帰の反復のために 見つけた公式と精神的に似ています。

あるいは、次の構成は、八面体回帰を五芒星マップに直接関連付けます。^{[5] を}八面体タイリングとします。を、の各八面体を最初の図に示す 6 つの点の配置にマップする線形投影とします。 の適応ラベル付けは、 の任意の点の (無限)逆像のすべての点が同じ数値ラベルを取得するようなラベル付けであるとします。適応ラベル付けに適用された八面体回帰は、 における回帰と同じです。この場合、八面体回帰と同じ規則が、最初の図の配置と同値の点のすべての配置に適用されます。これを平面八面体回帰と呼びます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \pi :T\to R^{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle G=\pi (T)}$${\displaystyle G}$

のラベル付けが平面八面体回帰に従うとすると、次の規則を適用することで の辺のラベル付けを作成することができる。${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle v=AD/BC}$

すべての辺にこの規則が適用されます。この規則は右の図を参照しており、示されている 2 つの構成に一致するすべての構成に適用されます。このラベル付けを行うと、G の辺ラベル付けは五芒星マップの関係を満たします。

凸多角形の連続極限は、平面上のパラメータ化された凸曲線である。時間パラメータが適切に選択されると、五芒星マップの連続極限は古典的なブシネスク方程式である。^{[5] [6]この方程式は、}積分可能な 偏微分方程式の古典的な例である。

ブシネスク方程式の幾何学的作用について記述する。局所的に凸な曲線、および実数 x と t が与えられたとき、に接続する弦を考える。これらすべての弦の包絡線は新しい曲線 である。t が非常に小さいとき、曲線 はブシネスク方程式のもとでの元の曲線の時間 t 発展のよいモデルとなる。この幾何学的記述から、B 方程式が五芒星マップの連続極限であることがかなり明らかになる。同時に、五芒星不変括弧はブシネスク方程式に関連するよく知られた不変ポアソン括弧の離散化である。^[6]${\displaystyle C:R\to R^{2}}$${\displaystyle C(x-t)}$${\displaystyle C(x+t)}$${\displaystyle C_{t}(x)}$${\displaystyle C_{t}(x)}$${\displaystyle C_{0}(x)}$

最近、五芒星マップの高次元一般化とブシネスク型偏微分方程式との関連に関する研究がいくつか行われている^[12]

五芒星マップとブシネスク方程式は射影的に自然な幾何学的発展方程式の例である。このような方程式は射影幾何学やコンピュータービジョンなど数学のさまざまな分野で登場する。^{[13] [14]}

2010年の論文^{[11]でマックス・グリックは五芒星マップを}クラスター代数の特殊なケースとして特定した。

• 組合せ論
• 形状の周期表

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