ヒッチンシステム

数学において、ヒッチン可積分系は、1987年にナイジェル・ヒッチンによって導入された、複素簡約群とコンパクトなリーマン面の選択に依存する可積分系である。これは、代数幾何学、リー代数理論、および可積分系理論の交差点に位置する。また、共形体理論を通じて複素数体上の幾何学的ラングランズ対応においても重要な役割を果たす。

ヒッチン系の種数ゼロ類似体であるガルニエ系は、シュレジンジャー方程式の特定の極限として、それより少し前にルネ・ガルニエによって発見され、ガルニエはスペクトル曲線を定義することでこの系を解きました。(ガルニエ系は、ゴーダンモデルの古典的な極限です。同様に、シュレジンジャー方程式は、クニジニク-ザモロドチコフ方程式の古典的な極限です)。

古典力学のほぼすべての可積分系は、1994 年にボッタシンとマークマンによって定義されたヒッチン系の特殊なケース、またはその一般的な一般化として得ることができます。

代数幾何学の言語を用いると、システムの位相空間は、ある簡約群Gの安定Gバンドルのモジュライ空間へのコタンジェントバンドルの部分コンパクト化であり、あるコンパクトな代数曲線上にあります。この空間は、標準シンプレクティック形式を備えています。簡単にするために、一般線型群と仮定すると、ハミルトニアンは次のように記述できます。バンドルFにおけるGバンドルのモジュライ空間への接空間は、 ${\displaystyle G=\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle H^{1}(\operatorname {End} (F)),}$

セールの双対性によれ ば、これは

${\displaystyle \Phi \in H^{0}(\operatorname {End} (F)\otimes K),}$

標準バンドルはどこにあるか、つまりペア ${\displaystyle K}$

${\displaystyle (F,\Phi )}$

ヒッチン対またはヒッグス束と呼ばれるものは、余接束内の点を定義します。

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\Phi ^{k}),\qquad k=1,\ldots ,\operatorname {rank} (G)}$

要素を取得する

${\displaystyle H^{0}(K^{\otimes k}),}$

これは に依存しないベクトル空間です。したがって、これらのベクトル空間の任意の基底をとると、関数H _{i が}得られます。これはヒッチンのハミルトニアンです。一般の簡約群の構成も同様で、 Gの リー代数上の不変多項式を使用します。 ${\displaystyle (F,\Phi )}$

自明な理由により、これらの関数は代数的に独立しており、いくつかの計算により、それらの数は位相空間の次元のちょうど半分であることが示されています。自明でない部分は、これらの関数のポアソン可換性の証明です。したがって、これらはシンプレクティックまたはアルノルト・リウヴィルの意味で積分可能なシステムを定義します。

ヒッチンファイバは、ヒッチン対のモジュライ空間から特性多項式への写像であり、ガルニエがスペクトル曲線を定義するために使用した写像の高種数類似体である。Ngô (2006, 2010) は、基本補題の証明において有限体上のヒッチンファイバを使用した。

より正確に言うと、Ngô が使用するヒッチン ファイバ化のバージョンでは、モジュライ空間の代わりに、ヒッチン ペアのモジュライ スタックがソースになっています。を簡約代数群 のリー代数とします。への の随伴作用があります。すると、スタック商とGIT 商を取ることができ、自然な射 が存在します。への乗法群の自然なスケーリング作用もあり、これはスタック商 と GIT 商 に降りてきます。さらに、射は-作用に関して同変です。したがって、曲線 上の任意の線束が与えられた場合、 -トルソーによって射をねじって、上のスタックの射を得ることができます。最後に、 -ねじれたヒッグス バンドルのモジュライ スタックは、セクション スタック として復元されます。対応するヒッチン ベースは として復元され、ベクトル空間によって表されます。スタック レベルでの Hitchin 射は、単に上記の射によって誘導される射です。この定義は半安定性とは関係ないことに注意してください。上記の Hitchin ファイバ化を得るには、 を標準バンドルとし、 の半安定部分に制限し、モジュライ空間上の誘導射を取る必要があります。さらに正確に言うと、Ngô によって使用される のバージョンは、 という制限を持つことが多いため、標準バンドルにはなり得ません。この条件は、Hitchin 射のトポロジーが、正確な意味で、滑らかな部分への制限によって決定されることを保証するために追加されています。ベクトル バンドルの場合については、(Chaudouard & Laumon 2016) を参照してください。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\!/G}$${\displaystyle \chi :{\mathfrak {g}}/G\to {\mathfrak {g}}/\!/G}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \chi}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \chi}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \chi _{L}:({\mathfrak {g}}/G)_{L}\to ({\mathfrak {g}}/\!/G)_{L}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle L}$${\displaystyle ヒッグス=Sect(C,({\mathfrak {g}}/G)_{L})}$${\displaystyle A(C,L):=Sect(C,({\mathfrak {g}}/\!/G)_{L})}$${\displaystyle h:ヒッグス\to A(C,L)}$${\displaystyle \chi_{L}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle ヒッグス}$${\displaystyle ヒッグス}$${\displaystyle \deg(L)\geq 2g}$

• ヤン・ミルズ方程式
• ヒッグス束
• 非可換ホッジ対応
• キャラクターの多様性
• ヒッチンの方程式

• Chudnovsky、DV (1979)、「Simplified Schlesinger Systems」、Lettere al Nuovo Cimento、26 (14): 423–427、doi :10.1007/BF02817023、S2CID  122196561
• Garnier、René (1919)、「Sur une classe de systemes différentiels abéliens déduits de la théorie des équations linéaires」、Rend。円マット。パレルモ、43 : 155–191、土井:10.1007/BF03014668、S2CID  120557738
• ヒッチン、ナイジェル（1987）、「安定バンドルと積分可能システム」、デューク数学ジャーナル、54（1）：91–114、doi：10.1215 / S0012-7094-87-05408-1
• Ngô, Bao Châu (2006)、「ヒッチンの繊維化と痕跡の内視鏡構造」(PDF)、国際数学者会議。 Vol. II、ユーロ。数学。 Soc.、チューリッヒ、pp. 1213–1225、MR  2275642
• Ngô, Bao Châu (2010)、「Fibration de Hitchin et endoscopie」、Inventiones Mathematicae、164 (2): 399–453、arXiv : math/0406599、Bibcode :2006InMat.164..399N、doi :10.1007/s00222-005-0483-7、ISSN  0020-9910、MR  2218781、S2CID  52064585
• ショードゥアール、ピエール＝アンリ。ローモン、ジェラール (2016)、「ヒッチンの繊維化をサポートする技術」、フーリエ研究所、第 1 巻。 66、いいえ。 2、711–727ページ