三波方程式

非線形システムにおいて、三波方程式（三波共鳴相互作用方程式または三重共鳴とも呼ばれる）は、浅水域の水波、毛細管波、沿岸域における音波の結合、プラズマ中の音波、電気回路および非線形光学における振動など、さまざまな非線形媒体における小振幅波を記述する。これらは、完全に積分可能な3つの非線形偏微分方程式の集合である。

3波方程式は、波動乱流理論の基礎となる決定論的モデルであり、分散媒質における共鳴相互作用の典型的な例となる。これらは、波数ベクトルを持つ3つの波が${\displaystyle {\vec {k}}_{1}}$、${\displaystyle {\vec {k}}_{2}}$、 そして${\displaystyle {\vec {k}}_{3}}$共振条件（一般的に次のように表現される）の両方を満たす${\displaystyle {\vec {k}}_{1}={\vec {k}}_{2}+{\vec {k}}_{3}}$）および周波数整合条件${\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}+\omega _{3}}$、 どこ$\displaystyle \omega _{i}}$は各波動成分の角周波数を表します。これらの共鳴三重項相互作用により、3つの波動モード間で効率的なエネルギー伝達が可能になります。

3 波方程式は、共鳴波の相互作用の直接的かつ扱いやすい例を提供し、物理科学全体に広く適用可能であり、完全積分可能性という注目すべき性質を持つため、1970 年代から広く研究されてきました。 ^{[ 1 ]}積分可能性により、逆散乱変換などの方法を介して正確な解析解が得られるため、積分可能なシステムの数学理論やソリトンのような現象の研究の基礎となっています。これらの方程式は、波動力学のハミルトニアン形式の発展や、弱非線形波動システムにおけるエネルギーカスケードの理解の進展においても重要な役割を果たしてきました。

3波方程式は、考えられる最も単純な非線形システムのいくつかを考察することによって得られる。線形微分システムは、一般的に次の形式をとる。

${\displaystyle D\psi =\lambda \psi }$

ある微分演算子に対して${\displaystyle D}$この最も単純な非線形拡張は次のように書く。

${\displaystyle D\psi -\lambda \psi =\varepsilon \psi ^{2}.}$

これをどう解決すればよいでしょうか？いくつかの方法があります。ごくまれな例外的なケースでは、この形式の方程式の正確な解が知られている場合があります。一般に、これらは何らかの仮定を適用した後、アドホックな方法で見つかります。2番目の方法は、${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$そして、 摂動理論を用いて線形化理論への「補正」を求める。3つ目のアプローチは、散乱行列（S行列）理論の手法を適用することである。

S行列アプローチでは、無限遠から入射し、相互作用し、無限遠へ移動する粒子または平面波を考えます。ゼロから数えると、ゼロ粒子の場合、背景のみで構成される真空に対応します。1粒子の場合、波は遠い過去から入射し、その後、空気中に消えます。これは、背景が吸収性、減衰性、または散逸性である場合に起こり得ます。あるいは、波が空気中から現れて遠ざかります。これは、背景が不安定で波を生成する場合に起こります。このシステムは「放射する」と言います。2粒子の場合、粒子が入射し、その後、出ていきます。これは、背景が不均一な場合に適切です。たとえば、音響平面波が入射し、敵の潜水艦から散乱され、その後、無限遠へ移動します。出ていく波を注意深く分析することで、空間的不均一性の特性を推測できます。さらに2つの可能性があります。ペア生成とペア消滅です。この場合、一対の波が「何もないところから」（何らかの背景との相互作用によって）生成されるか、あるいは何もないところから消滅する。

次に、3粒子相互作用について見ていきましょう。これは、相互作用する背景や真空を必要としないという点で独特であり、また、均質な背景における非相互作用平面波という意味での「退屈」でもありません。${\displaystyle \psi _{1}、\psi _{2}、\psi _{3}}$無限遠から/無限遠へ移動するこれら３つの波の場合、この最も単純な二次相互作用は次の形式をとります。

${\displaystyle (D-\lambda )\psi _{1}=\varepsilon \psi _{2}\psi _{3}}$

およびそれらの巡回置換。この一般的な形式は三波方程式と呼ばれ、具体的な形式は以下に示す。重要な点は、すべての二次共鳴相互作用は（適切な仮定の下で）この形式で記述できるということである。時間変動システムの場合、${\displaystyle \lambda }$エネルギーと解釈できる、と書くことができる

${\displaystyle (Di\partial /\partial t)\psi _{1}=\varepsilon \psi _{2}\psi _{3}}$

時間依存バージョンの場合。

形式的には、3波方程式は次のようになる。

$\displaystyle {\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+v_{j}\cdot \nabla B_{j}=\eta _{j}B_{\ell }^{*}B_{m}^{*}}$

どこ${\displaystyle j,\ell ,m=1,2,3}$周期的、${\displaystyle v_{j}}$波の群速度は${\displaystyle {\vec {k}}_{j},\omega _{j}}$波数ベクトルと角周波数として、${\displaystyle \nabla }$n次元の平坦なユークリッド空間で取得した勾配。$\displaystyle \eta _{j}}$は相互作用係数であり、波をリスケールすることで、${\displaystyle \eta _{j}=\pm 1}$巡回置換により、4つの解のクラスが存在する。${\displaystyle \eta =\eta _{1}\eta _{2}\eta _{3}}$1つは${\displaystyle \eta =\pm 1}$.${\displaystyle \eta =-1}$これらはすべて置換の下で同等です。1+1次元では、3つの異なる${\displaystyle \eta =+1}$解決策:${\displaystyle +++}$爆発性と呼ばれる溶液。${\displaystyle --+}$刺激後方散乱と呼ばれるケース、および${\displaystyle -+-}$ソリトン交換と呼ばれるケース。これらは非常に異なる物理プロセスに対応します。^{[ 2 ] [ 3 ]}興味深い解の1つはシムルトンと呼ばれ、 3つのグループ速度のいずれとも異なる速度vで移動する3つの共動ソリトンから構成されます。${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}$この解決策は、深海では3つの波の共鳴相互作用は起こらないものの、異常波で観測される「3姉妹」と何らかの関係がある可能性がある。

ハーヴェイ・セガーの講義ノートは入門編として役立つ。^{[ 4 ]}

これらの方程式はラックス対を持ち、したがって完全に積分可能である。^{[ 1 ] [ 5 ]}ラックス対は3×3行列対であり、フォカスの手法を用いて逆散乱法を適用することができる。^{[ 6 ] [ 7 ]}空間的に均一な解のクラスは既知であり、これらはワイエルシュトラスの楕円型℘関数によって与えられる。^{[ 8 ]}この場合、共鳴相互作用関係はマンリー・ロウ関係と呼ばれ、それらが記述する不変量はモジュラー不変量と容易に関連付けられる。${\displaystyle g_{2}}$そして${\displaystyle g_{3}.}$^{[ 9 ]} これらが現れることは、おそらく全く驚くべきことではない。単純な直感的な議論があるからだ。 2 つの波数ベクトルから 1 つの波数ベクトルを引くと、周期格子j 不変量によって与えられるので、解はこれによって特徴付けられると予想される。

さまざまな境界条件に対するさまざまな厳密解が知られています。^{[ 10 ]} 3波方程式の完全な非線形偏微分方程式の「ほぼ一般的な解」が最近与えられました。これは、自由に選択できる5つの関数と、6番目のパラメータのローラン級数で表されます。 ^{[ 8 ] [ 9 ]}

三波方程式の代表的な応用例としては、以下のようなものがある。

• 非線形光学では、二次（$\displaystyle \chi ^{(2)}}$）非線形結晶。^{[ 11 ]}
• 表面弾性波と電子パラメトリック増幅器。
• 深海波自体は3つの波の相互作用を起こさないが、いくつかのシナリオではこれが回避される。
  • 深海毛細管波は3波方程式で記述される。^{[ 4 ]}
  • 音波は深水波と三波相互作用で結合する^{[ 12 ]}
  • 渦度波は三つ組で結合する。
  • 一様な流れ（必然的に深さ方向の空間的不均一性を持つ）は、三つ組の相互作用を持つ。

これらの事例はすべて、三波方程式によって自然に記述される。

• プラズマ物理学では、3波方程式はプラズマ内の結合を記述する。^{[ 13 ]}