デガスペリス-プロセシ方程式

数理物理学では、デガスペリス・プロチェシ方程式

${\displaystyle \displaystyle u_{t}-u_{xxt}+2\kappa u_{x}+4uu_{x}=3u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}}$

これは、以下の3階非線形分散型偏微分方程式の族の中で、厳密に解ける2つの方程式のうちの1つです。

${\displaystyle \displaystyle u_{t}-u_{xxt}+2\kappa u_{x}+(b+1)uu_{x}=bu_{x}u_{xx}+uu_{xxx},}$

どこ${\displaystyle \kappa }$およびbは実数パラメータです (デガスペリス-プロチェージ方程式の場合はb = 3)。これは、アントニオ・デガスペリスとミケーラ・プロチェージが、このファミリーのもう 1 つの可積分方程式 ( b = 2 に対応) であるカマッサ-ホルム方程式と形式が類似した可積分方程式を探索する中で発見しました。これら 2 つの方程式が唯一の可積分ケースであることは、さまざまな可積分性テストを使用して検証されています。^{[ 1 ]}数学的性質のみによって発見されたデガスペリス-プロチェージ方程式 (${\displaystyle \kappa >0}$後に、水波理論においてカマッサ・ホルム方程式と同様の役割を果たすことがわかった。 ^{[ 2 ]}

Degasperis–Procesi方程式の解の中で（特殊な場合）${\displaystyle \kappa =0}$）は、いわゆるマルチピークオン解であり、次の形式の関数である。

${\displaystyle \displaystyle u(x,t)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(t)e^{-|x-x_{i}(t)|}}$

関数${\displaystyle m_{i}}$そして${\displaystyle x_{i}}$満たす^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}m_{j}e^{-|x_{i}-x_{j}|},\qquad {\dot {m}}_{i}=2m_{i}\sum _{j=1}^{n}m_{j}\,\operatorname {sgn} {(x_{i}-x_{j})}e^{-|x_{i}-x_{j}|}.}$

これらの常微分方程式は、逆スペクトル法を用いて初等関数で明示的に解くことができる。^{[ 4 ]}

いつ${\displaystyle \kappa >0}$Degasperis–Procesi方程式のソリトン解は滑らかであり、極限においてピークオンに収束する。${\displaystyle \kappa }$ゼロに近づく。^{[ 5 ]}

デガスペリス・プロセシ方程式（${\displaystyle \kappa =0}$）は、（非局所的な）双曲型保存則と形式的に同等である。

${\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left[{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {G}{2}}*{\frac {3u^{2}}{2}}\right]=0,}$

どこ${\displaystyle G(x)=\exp(-|x|)}$ここで、星印はxに関する畳み込みを表す。この定式化では、非常に低い正則性を持つ弱解、さらには不連続な解（衝撃波）も許容する。^{[ 6 ]}対照的に、カマッサ・ホルム方程式の対応する定式化には、両方を含む畳み込みが含まれる。$u²$そして$u_x²$これは、 uがソボレフ空間にある場合にのみ意味を持つ。${\displaystyle H^{1}=W^{1,2}}$xに関して。ソボレフ埋め込み定理によれば、これは特に、カマッサ・ホルム方程式の弱解がxに関して連続でなければならないことを意味します。