量子ハイゼンベルクモデル

量子ハイゼンベルクモデルは、ヴェルナー・ハイゼンベルクによって開発された統計力学 モデルであり、磁気システムの臨界点と相転移の研究に使用され、磁気システムのスピンが量子力学的に扱われます。これは、格子の各サイトでスピンが微視的な磁気双極子を表し、磁気モーメントが上向きまたは下向きになるプロトタイプのイジングモデルに関連しています。磁気双極子モーメント間の結合以外に、多極交換相互作用と呼ばれるハイゼンベルクモデルの多極バージョンもあります。 ${\displaystyle \sigma _{i}\in \{\pm 1\}}$

量子力学的な理由（交換相互作用または磁性 § 磁性の量子力学的起源を参照）により、2つの双極子間の支配的な結合により、最も近い双極子が一列に並んだときにエネルギーが最も低くなる可能性があります。この仮定（磁気相互作用は隣接する双極子間でのみ発生する）と1次元周期格子の下では、ハミルトニアンは次のように表すことができます。

${\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}}$、

ここで、 は結合定数であり、双極子は周期境界条件 に従う古典ベクトル（または「スピン」） σ _jによって表される。ハイゼンベルクモデルは、スピンを次元のテンソル積に作用する量子演算子に置き換えることで、スピンを量子力学的に扱うという点で、より現実的なモデルである。これを定義するには、パウリのスピン1/2行列を思い出してください。${\displaystyle J}$${\displaystyle \sigma _{N+1}=\sigma _{1}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}}$${\displaystyle 2^{N}}$

${\displaystyle \sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$、

${\displaystyle \sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$、

${\displaystyle \sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$、

および については とと表され、 は単位行列である。実数値の結合定数 および を選択すると、ハミルトニアンは次のように与えられる。 ${\displaystyle 1\leq j\leq N}$${\displaystyle a\in \{x,y,z\}}$${\displaystyle \sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes Nj}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle J_{x},J_{y},}$${\displaystyle J_{z}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}(J_{x}\sigma _{j}^{x}\sigma _{j+1}^{x}+J_{y}\sigma _{j}^{y}\sigma _{j+1}^{y}+J_{z}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}+h\sigma _{j}^{z})}$

ここで、右側の は外部磁場 を示し、周期境界条件が与えられます。目的は、ハミルトニアンのスペクトルを決定することです。このスペクトルから、分配関数を計算し、システムの 熱力学を研究することができます。${\displaystyle h}$

モデルは、、およびの値に応じて名前が付けられるのが一般的です。 の場合、モデルはハイゼンベルク XYZ モデルと呼ばれます。 の場合、モデルはハイゼンベルク XXZ モデル、 の場合、モデルはハイゼンベルク XXX モデルと呼ばれます。 1 次元のスピン 1/2 ハイゼンベルク モデルは、ベーテ仮説 を使って正確に解くことができます。^{[1]代数的定式化では、これらはそれぞれ XXZ および XYZ の場合の特定の}量子アフィン代数と楕円量子群に関連しています。 ^[2]他のアプローチでは、ベーテ仮説なしでこれを行います。^[3]${\displaystyle J_{x}}$${\displaystyle J_{y}}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle J_{x}\neq J_{y}\neq J_{z}}$${\displaystyle J=J_{x}=J_{y}\neq J_{z}=\Delta }$${\displaystyle J_{x}=J_{y}=J_{z}=J}$

ハイゼンベルクXXXモデルの物理は、結合定数の符号 と空間の次元に大きく依存する。正の場合、基底状態は常に強磁性である。負の場合、基底状態は2次元および3次元で反強磁性である。 ^[4] 1次元では、反強磁性ハイゼンベルクモデルにおける相関の性質は、磁気双極子のスピンに依存する。スピンが整数の場合、短距離秩序のみが現れる。半整数スピンのシステムは、準長距離秩序を示す。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$

ハイゼンベルク模型の簡略版は 1 次元イジング模型であり、横磁場はx方向で、相互作用はz方向のみである。

${\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}-gJ\合計 _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{x}}$。

g が小さい場合とg が大きい場合では基底状態の縮退が異なり、これはその間に量子相転移があるはずであることを意味する。これは双対性解析を用いて臨界点について正確に解くことができる。 ^[5]パウリ行列の双対性遷移はおよびであり、ここで、およびもパウリ行列代数に従うパウリ行列である。周期境界条件下では、変換されたハミルトニアンは、非常によく似た形式であることが示される。 ${\textstyle \sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}}$${\displaystyle \sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}}$${\displaystyle S^{x}}$${\displaystyle S^{z}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-gJ\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{z}S_{j+1}^{z}-J\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{x}}$

ただし、スピン相互作用項に付随する については です。臨界点が 1 つしかないと仮定すると、相転移は で起こると結論付けることができます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g=1}$

Ludwig Faddeev (1996)のアプローチに従うと 、XXX モデルのハミルトニアンのスペクトルは、 ベーテ仮説によって決定できます。この文脈では、各 で全ヒルベルト空間に作用するスペクトルパラメータに依存する適切に定義された演算子のファミリに対して、ベーテベクトルは の形式のベクトルです 。 がベーテ方程式を満たす場合、ベーテベクトルは固有値 を持つ の固有ベクトルです。 $${\displaystyle H={\frac {1}{4}}\sum _{\alpha ,n}(\sigma _{n}^{\alpha }\sigma _{n+1}^{\alpha }-1)}$$${\displaystyle B(\lambda )}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigotimes _{n=1}^{N}h_{n}}$${\displaystyle h_{n}\cong \mathbb {C} ^{2}}$$${\displaystyle \Phi (\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{m})=B(\lambda _{1})\cdots B(\lambda _{m})v_{0}}$$${\displaystyle v_{0}=\bigotimes _{n=1}^{N}|\uparrow \,\rangle }$${\displaystyle \lambda _{k}}$ $${\displaystyle \left({\frac {\lambda _{k}+i/2}{\lambda _{k}-i/2}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}},}$$${\displaystyle H}$${\displaystyle -\sum _{k}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\lambda _{k}^{2}+1/4}}}$

族と他の 3 つの族は、補助空間 とともに に作用する転送行列( Lax 行列を使用して定義される) から生じ、の要素を持つブロック行列として記述でき、 ベーテ方程式を導出するために使用されるヤン・バクスター方程式と形式が類似した 基本交換関係(FCR)を満たします。FCR はまた、生成関数によって として与えられる大きな可換部分代数が存在することを示しています。そのため、が の多項式として記述される場合、係数はすべて可換であり、の元である可換部分代数を張ります。ベーテ ベクトルは、実際には部分代数全体の同時固有ベクトルです。 ${\displaystyle B(\lambda )}$ ${\displaystyle T(\lambda )}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle h_{a}\cong \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \mathrm {End} ({\mathcal {H}})}$$${\displaystyle T(\lambda )={\begin{pmatrix}A(\lambda )&B(\lambda )\\C(\lambda )&D(\lambda )\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle F(\lambda )=\mathrm {tr} _{a}(T(\lambda ))=A(\lambda )+D(\lambda )}$${\displaystyle [F(\lambda ),F(\mu )]=0}$${\displaystyle F(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle H}$

高次のスピン、例えばスピン については、を で置き換えます。これは、次元のリー代数のリー代数表現から来ています。XXX_のハミルトニアンは 、ベーテ方程式を持つベーテ仮説によって解くことができます 。${\displaystyle s}$${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$${\displaystyle S^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle 2s+1}$$${\displaystyle H=\sum _{\alpha ,n}(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha }-(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha })^{2})}$$$${\displaystyle \left({\frac {\lambda _{k}+is}{\lambda _{k}-is}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}}.}$$

スピンとXXXモデルからの変形パラメータに対して、BAE（ベーテ仮説方程式）は、 である。 特に、は6頂点モデルの異方性パラメータである と特定した後、これらはまさに6頂点モデル のBAEである。^{[6] [7]}これは当初は偶然だと思われていたが、バクスターがXXZハミルトニアンが転送行列 によって生成される代数に含まれていることを示し、^{[8] は}正確に次のように与えられる。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle \left({\frac {\sinh(\lambda _{k}+is\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-is\gamma )}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}+i\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}-i\gamma )}}.}$$${\displaystyle s={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \gamma =2\eta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle T(\nu )}$$${\displaystyle H_{XXZ_{1/2}}=-i\sin 2\eta {\frac {d}{d\nu }}\log T(\nu ){\Big |}_{\nu =-i\eta }-{\frac {1}{2}}\cos 2\eta 1^{\otimes N}.}$$

• もう一つの重要な対象はエンタングルメントエントロピーです。これを説明する一つの方法は、固有の基底状態をブロック（いくつかの連続したスピン）と環境（基底状態の残り）に分割することです。ブロックのエントロピーはエンタングルメントエントロピーと考えることができます。臨界領域（熱力学的限界）のゼロ温度では、ブロックのサイズに比例して増加します。温度が上昇すると、対数依存性は線形関数に変わります。^[9]温度が高い場合、線形依存性は熱力学の第二法則に従います。
• ハイゼンベルク模型は、密度行列の繰り込みを適用するための重要かつ扱いやすい理論的例を提供します。
• 6 頂点モデルは、ハイゼンベルクスピン鎖の代数ベーテ仮説を使用して解くことができます (Baxter 1982)。
• 強い反発相互作用の限界における半分満たされたハバード模型は、超交換相互作用の強さを表すハイゼンベルク模型にマッピングできます。${\displaystyle J<0}$
• 格子間隔がゼロに送られたときのモデルの限界（そして理論に現れる変数に対して様々な限界が取られる）は、非線形シュレーディンガー方程式などの非相対論的理論と、シグマモデル、シグマモデル（これも主要なカイラルモデルである）、およびサインゴードンモデルなどの相対論的理論の両方の積分可能な場の理論を記述します。${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$
• N = 4超対称ヤン・ミルズ理論の平面極限または大極限における特定の相関関数の計算^[10]${\displaystyle N}$

積分可能性は、異なるモデルに対する大規模な対称代数の存在によって支えられています。XXX の場合、これはヤンジアン であり、XXZ の場合、これは量子群、つまり のアフィン リー代数のq 変形であり、Faddeev (1996) の注釈で説明されています。 ${\displaystyle Y({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle {\hat {{\mathfrak {sl}}_{q}(2)}}}$${\displaystyle {\hat {{\mathfrak {sl}}_{2}}}}$

これらは転送行列を通じて現れ、ベーテベクトルが満たす状態から生成されるという条件は、拡張対称代数の 最高重み表現の一部である解に対応します。${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle C(\lambda )\cdot \Omega =0}$

• 古典ハイゼンベルクモデル
• ハイゼンベルクモデルのDMRG
• 量子回転子モデル
• tJモデル
• J1 J2モデル
• マジュムダール・ゴーシュモデル
• AKLTモデル
• 多極交換相互作用

• RJ バクスター、統計力学における正確に解かれたモデル、ロンドン、アカデミック プレス、1982 年
• ハイゼンベルク、W. (1928 年 9 月 1 日)。 「Zur Theorie des Ferromagnetismus」[強磁性の理論について]。Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。49 (9): 619–636。Bibcode :1928ZPhy...49..619H。土井：10.1007/BF01328601。S2CID  122524239。
• ベーテ、H. (1931 年 3 月 1 日)。 「Zur Theorie der Metalle」[金属の理論について]。Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。71 (3): 205–226。Bibcode :1931ZPhy...71..205B。土井：10.1007/BF01341708。S2CID  124225487。