ボルテラ格子

数学において、ボルテラ格子は、離散 KdV 方程式、カツ・ファン・ムルベケ格子、ラングミュア格子とも呼ばれ、1 次元格子のいくつかの点でインデックス付けされた変数を持つ常微分方程式のシステムです。これは、マーク・カツとピエール・ファン・ムルベケ (1975 年)、およびユルゲン・モーザー(1975 年)によって導入され、ヴィトー・ボルテラ にちなんで名付けられました。ボルテラ格子は、一連の種に対して、それぞれの種が次の種を捕食するという捕食者と被捕食者の相互作用を記述する一般化ロトカ・ボルテラ方程式の特殊なケースです。ボルテラ格子は、 KdV 方程式の離散バージョンのようにも動作します。ボルテラ格子は積分可能なシステムであり、戸田格子に関連しています。これはプラズマ中の ラングミュア波のモデルとしても使用されます。

ボルテラ格子は関数a _nに対する常微分方程式の集合である。

${\displaystyle a_{n}'=a_{n}(a_{n+1}-a_{n-1})}$

ここでnは整数です。通常は境界条件を追加します。たとえば、関数a _{n は}周期的になる可能性があり、あるNに対してa _n = a _{n + N}となります。また、n  ≤ 0 およびn  ≥  Nに対してはゼロになる可能性があります。

ボルテラ格子はもともと変数R _n = -log a _nで表現されており、その場合の方程式は

${\displaystyle R_{n}'=e^{R_{n-1}}-e^{R_{n+1}}}$

• Kac, M. ; van Moerbeke, P. (1975)、「散乱理論のいくつかの確率的側面」、Arthurs, AM (ed.)、機能積分とその応用 (Proc. Internat. Conf.、ロンドン、1974)、オックスフォード: Clarendon Press、pp. 87–96、ISBN 978-0198533467、MR  0481238
• Kac, M.; van Moerbeke, Pierre (1975)、「特定のToda格子に関連する非線形微分方程式の明示的に解けるシステムについて」、Advances in Mathematics、16 (2): 160–169、doi : 10.1016/0001-8708(75)90148-6、MR  0369953
• モーザー、ユルゲン(1975)、「指数ポテンシャルの影響下にある線上の有限個の質点 - 積分可能なシステム」、動的システム、理論および応用 (Rencontres、Battelle Res. Inst.、シアトル、ワシントン、1974)、Lecture Notes in Phys.、vol. 38、ベルリン: Springer、pp. 467–497、doi : 10.1007/3-540-07171-7_12、ISBN 978-3-540-07171-6、MR  0455038