古典的な中心力問題の厳密解

古典力学の古典的な中心力問題では、いくつかのポテンシャルエネルギー関数が${\displaystyle V(r)}$運動や軌道は、三角関数や楕円関数といったよく知られた関数で表現できる。本稿では、これらの関数と、軌道に対応する解について解説する。

させて${\displaystyle r=1/u}$すると、ビネの式は次のようになります。${\displaystyle u(\varphi )}$ほぼあらゆる中心力に対して数値的に解くことができる${\displaystyle F(1/u)}$しかし、式が成り立つ力はごくわずかです。${\displaystyle u}$既知の関数の観点から。${\displaystyle \varphi }$積分として表現できる${\displaystyle u}$

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-V(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}}$

中心力問題は、その積分が既知の関数を用いて解ける場合、「積分可能」であると言われる。

力がべき乗則である場合、つまり、${\displaystyle F(r)=ar^{n}}$、 それから${\displaystyle u}$円関数および/または楕円関数で表現できる場合${\displaystyle n}$1、-2、-3（円関数）および-7、-5、-4、0、3、5、-3/2、-5/2、-1/3、-5/3、-7/3（楕円関数）に等しい。^{[ 1 ]}

力が逆二次法則と線形項の和である場合、つまり、${\displaystyle F(r)={\frac {a}{r^{2}}}+cr}$また、この問題はワイエルシュトラス楕円関数を用いて明示的に解かれる。^{[ 2 ]}

• Whittaker ET (1937).粒子と剛体の解析力学に関する論文、および三体問題への序論（第4 版）。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-521-35883-5。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
• Izzo,D. および Biscani, F. (2014).一定の半径方向加速度問題の厳密解. Journal of Guidance Control and Dynamic.{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)