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マーティン・デイヴィッド・クラスカル（/ˈkrʌskəl / 、1925年9月28日- 2006年12月26日）[ 1 ]は、アメリカの数学者、物理学者。プラズマ物理学から一般相対性理論、非線形解析から漸近解析まで、数学と科学の多くの分野で基礎的な貢献をした。彼の最も有名な貢献はソリトン理論である。[ 4 ]
彼はシカゴ大学とニューヨーク大学で学び、1952年にリチャード・クーラントの指導の下、ニューヨーク大学で博士号を取得した。キャリアの大部分をプリンストン大学で過ごし、1951年からプラズマ物理研究所の研究員として勤務した後、天文学教授（1961年）、応用計算数学プログラムの創設者兼議長（1968年）、数学教授（1979年）を務めた。 1989年にプリンストン大学を退職し、ラトガース大学の数学科に移り、デイヴィッド・ヒルベルト記念数学講座教授に就任した。
クルスカルは、真面目な数学研究の傍ら、数学的な遊びでも知られていた。例えば、彼はクルスカル・カウントというマジックを考案した。これは、手品ではなく数学的な現象に基づいているため、プロのマジシャンを困惑させることで知られている。
マーティン・デイビッド・クラスカルはニューヨーク市でユダヤ人の家庭に生まれ[ 5 ] 、ニューロシェルで育った。世間ではマーティン、家族からはデイビッドと呼ばれていた。父親のジョセフ・B・クラスカル・シニアは毛皮の卸売業者として成功していた。母親のリリアン・ローズ・ヴォルハウス・クラスカル・オッペンハイマーはテレビの黎明期に折り紙の普及に尽力し、ニューヨーク市にアメリカ折り紙センターを設立した。同センターは後にOrigamiUSAとなった[ 6 ] 。彼は5人兄弟の1人だった。2人の兄弟はともに著名な数学者で、ジョセフ・クラスカル（1928年～2010年、多次元尺度構成法、クラスカルの木の定理、クラスカルのアルゴリズムの発見者）とウィリアム・クラスカル（1919年～2005年、クラスカル・ウォリス検定の発見者）である。
マーティン・クルスカルの妻ローラ・クルスカルは折り紙の講師兼作家であり、多くの新しいモデルの考案者でした。[ 7 ]彼らは56年間結婚していました。マーティン・クルスカルは秘密のメッセージを送るための封筒など、いくつかの折り紙モデルも発明しました。その封筒は簡単に広げることができますが、その後簡単に折りたたんでその行為を隠すことはできませんでした。[ 8 ]彼らの3人の子供は、カレン（弁護士[ 9 ]）、ケリー（児童書の著者[ 10 ]）、そしてコンピューター科学者のクライドです。
マーティン・クルスカルの科学的関心は、純粋数学および数学の科学への応用における幅広い分野に及んだ。彼は偏微分方程式や非線形解析の多くの分野に生涯にわたって関心を持ち、漸近展開、断熱不変量、およびその他多くの関連トピックに関する基礎的な概念を発展させた。
初期の作品
彼がニューヨーク大学でリチャード・クーラントとバーナード・フリードマンの指導のもと執筆した博士論文のテーマは「極小曲面の橋の定理」であった。彼は1952年に博士号を取得した。
1950年代から1960年代初頭にかけて、彼は主にプラズマ物理学の研究に取り組み、現在ではこの分野の基礎となっている多くのアイデアを開発した。彼の断熱不変量の理論は核融合研究において重要であった。彼の名を冠するプラズマ物理学の重要な概念には、クルスカル・シャフラノフ不安定性やバーンスタイン・グリーン・クルスカル（BGK）モードなどがある。彼はIBバーンスタイン、EAフリーマン、RMクルスルードとともにMHD（または磁気流体力学[ 11 ]）エネルギー原理を開発した。彼の関心は実験室プラズマだけでなく、プラズマ天体物理学にも及んだ。
ブラックホール
1960年、クルスカルは一般相対性理論における最も単純なタイプのブラックホールの完全な古典的時空構造を発見した。球対称時空は、一般相対性理論の初期に発見されたシュワルツシルト解によって記述できる。しかし、この解は元の形ではブラックホールの事象の地平線の外側の領域しか記述しない。クルスカルは（ジョージ・セケレスと並行して）シュワルツシルト解の最大解析接続を発見し、現在クルスカル・セケレス座標と呼ばれるものを用いてそれを優雅に示した。
これによりクルスカルは、ブラックホールの内部が、漸近的に平坦な2つの同一の宇宙をつなぐ「ワームホール」のように見えるという驚くべき発見に至った。これは一般相対性理論におけるワームホール解の最初の実例であった。ワームホールは、観測者や信号が一方の宇宙から他方の宇宙へ移動する前に特異点に崩壊する。これは現在、一般相対性理論におけるワームホールの一般的な運命であると考えられている。1970年代にブラックホール物理学の熱的性質が発見されたとき、シュワルツシルト解のワームホール特性が重要な要素であることが判明した。今日では、量子重力を理解しようとする試みにおける基本的な手がかりと考えられている。
逆散乱法
クルスカルの最も広く知られた業績は、1960年代に、時間だけでなく空間変数の関数を含む特定の非線形偏微分方程式の積分可能性を発見したことである。この発展は、クルスカルとノーマン・ザブスキー（ハリー・ダイムの協力も得て）による、コルテヴェーク・ド・フリース方程式（KdV方程式）として知られる非線形方程式の先駆的なコンピュータシミュレーションから始まった。KdV方程式は、非線形分散波の伝播の漸近モデルである。しかし、クルスカルとザブスキーは、KdV方程式の「孤立波」解という驚くべき発見をした。この孤立波は非分散的に伝播し、他の孤立波との衝突後も元の形状に戻る。このような波の粒子のような性質から、彼らはそれを「ソリトン」と名付け、この用語はすぐに広く普及した。
この研究は、 1955年にロスアラモスでエンリコ・フェルミ、ジョン・パスタ、スタニスワフ・ウラム、メアリー・ツィンゴウが行った、ある非線形格子の初期のコンピュータシミュレーション[ 12 ]で観察された、ほぼ再帰的なパラドックスに部分的に触発されたものである。これらの著者は、予想されていた急速な熱平衡化とは対照的に、非調和振動子の1次元鎖の長時間にわたるほぼ再帰的な挙動を観察した。クルスカルとザブスキーは、クルスカルがその1次元鎖の連続体極限として得たKdV方程式をシミュレーションし、熱平衡化とは正反対のソリトン的な挙動を発見した。これが現象の核心であることが判明した。
孤立波現象は、1834 年に運河を伝播する現在ではソリトンと呼ばれる波を観察し、馬に乗ってそれを追いかけたジョン・スコット・ラッセルの研究に遡る 19 世紀の謎であった。 [ 13 ]波水槽実験でソリトンを観察したにもかかわらず、スコット・ラッセルは、最大振幅の孤立波である「大波動」に焦点を当てていたため、それらをソリトンとして認識することはなかった。1844 年に英国科学振興協会に提出された波に関する報告書で発表された彼の実験観察は、線形水波理論では説明できなかったため、 ジョージ・エアリーとジョージ・ストークスによって懐疑的に見られた。ジョセフ・ブシネスク(1871 年) とレイリー卿(1876 年) は、スコット・ラッセルの観察を正当化する数学理論を発表した。 1895年、ディーデリック・コルテヴェークとグスタフ・ド・フリースは、浅水波（ラッセルが観測した運河の波など）を記述するためにKdV方程式を定式化したが、この方程式の本質的な性質は、1960年代のクルスカルとその共同研究者たちの研究まで理解されていなかった。
ソリトン挙動は、KdV 方程式が質量、エネルギー、運動量の明らかな保存法則を超えた保存法則を持つ必要があることを示唆した。4 番目の保存法則はジェラルド・ウィザムによって、5 番目の保存法則はクラスカルとザブスキーによって発見された。ロバート・ミウラはいくつかの新しい保存法則を手作業で発見し、修正コルテヴェーク・ド・フリース (MKdV) 方程式として知られる関連方程式にも多くの保存法則が存在することを示した。[ 14 ]これらの保存法則により、ミウラは KdV 方程式と MKdV 方程式の解の間の関係 (ミウラ変換と呼ばれる) を示した。これは、クラスカルがクリフォード S. ガードナー、ジョン M. グリーン、ミウラ (GGKM) [ 15 ]とともに、KdV 方程式の厳密解法と保存法則の理解のための一般的な手法を発見することを可能にする手がかりとなった。これは逆散乱法と呼ばれるもので、KdV方程式が無限個のポアソン可換な保存量を許容し、完全に積分可能であることを示す、驚くべきかつ洗練された方法である。この発見は、ソリトン現象を理解するための現代的な基礎を与えた。すなわち、孤立波は、すべての保存則を満たす唯一の方法であるため、外向きの状態で再現されるのである。GGKMの直後、ピーター・ラックスは、等スペクトル変形とラックス対を用いて逆散乱法を解釈したことで有名である。
逆散乱法は、数学や物理学のさまざまな分野で驚くほど多様な一般化と応用がなされてきました。クルスカル自身も、サイン・ゴルドン方程式の保存量が無限に存在するなど、いくつかの一般化を先駆的に行いました。これが、MJアブロウィッツ、DJ カウプ、AC ニューウェル、H. セグール (AKNS)によるその方程式の逆散乱法の発見につながりました。[ 16 ]サイン・ゴルドン方程式は、1+1 次元の相対論的波動方程式であり、ソリトン現象も示し、可解な相対論的場の理論の重要なモデルとなりました。AKNS に先立つ先駆的な研究で、ザハロフとシャバットは非線形シュレディンガー方程式の逆散乱法を発見しました。
ソリトンは、物理学から生物学に至るまで、自然界に遍在することが現在では知られている。
その後の寄稿
1980年代、クルスカルはパンルヴェ方程式に強い関心を抱くようになった。パンルヴェ方程式はソリトン方程式の対称性による簡約として頻繁に現れるが、クルスカルはこれらの方程式を特徴づける性質と完全積分可能な系との間に存在すると思われる密接な関係に魅了された。その後の彼の研究の多くは、この関係を理解し、パンルヴェ方程式を研究するための新しい直接的かつ簡便な方法を開発したいという願望に突き動かされたものであった。クルスカルは、微分方程式に対する標準的なアプローチに満足することはほとんどなかった。
6つのパンルヴェ方程式は、パンルヴェ性と呼ばれる特徴的な性質を持ちます。すなわち、解は初期条件によって位置が決まるすべての特異点の周りで一価になります。クルスカルの考えでは、この性質がパンルヴェ方程式を定義するものであるため、余計な構造を加えることなく、この性質から始めて、解に関する必要な情報をすべて導き出すことができるはずです。最初の成果は、ナリニ・ジョシとのパンルヴェ方程式の漸近解析であり、当時としては珍しく、関連する線形問題を用いる必要がありませんでした。古典的な結果に対する彼の粘り強い疑問は、ジョシと共同で開発された、パンルヴェ方程式のパンルヴェ性を証明する直接的かつ単純な方法へとつながりました。
クルスカルのキャリア後半における主な関心事の一つは、超現実数の理論であった。構成的に定義される超現実数は、実数のすべての基本的な性質と演算を備えている。それらは、実数に加えて、多くの種類の無限大と無限小を含む。クルスカルは、この理論の基礎、超現実関数の定義、およびその構造の分析に貢献した。彼は、超現実数、漸近法、および指数漸近法の間の注目すべき関連性を発見した。1970年代後半にコンウェイ、クルスカル、ノートンによって提起され、クルスカルが粘り強く調査した主要な未解決問題は、十分に良好な振る舞いをする超現実関数が定積分を持つかどうかである。この問題は、コンウェイらが期待していた完全な一般性において、2015年にコスティン、フリードマン、エーリックによって否定的に回答された。[ 17 ]しかし、コスティンらの分析は、この研究は、クルスカルの漸近解析の概念（広義に解釈した場合）が成り立つ、十分に広いクラスの超現実関数に対して定積分が存在することを示している。クルスカルは亡くなる直前、O・コスティンと共に超現実解析に関する著書を執筆中であった。
クルスカルは、「応用数学体系を極限の場合に扱う技術」を説明するために漸近学という用語を作り出した。 [ 18 ]彼は漸近学の7つの原理を定式化した。1. 単純化の原理、2. 再帰の原理、3. 解釈の原理、4. ワイルドな振る舞いの原理、5. 消滅の原理、6. 最大バランスの原理、7. 数学的ナンセンスの原理。
漸近理論という用語は、ソリトンという用語ほど広く使われていません。さまざまなタイプの漸近法は、科学の誕生以来、ほぼ成功裏に使用されてきました。それにもかかわらず、クルスカルは、漸近理論は、ある意味で科学と芸術の中間にある特別な知識分野であることを示そうとしました。彼の提案は非常に実り多いことがわかりました。[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]
認識
クルスカルの功績は広く認められている。1986年、クルスカルとザブスキーは、フランクリン研究所からハワード・N・ポッツ金メダルを共同受賞した。「数理物理学への貢献、解析と計算の初期の独創的な組み合わせ、そして何よりもソリトンの性質に関する先駆的な研究」が評価された。2006年にガードナー、グリーン、クルスカル、三浦にスティール賞を授与した際、アメリカ数学会は、彼らの研究以前には「重要な非線形微分方程式の厳密解を求める一般理論は存在しなかった」と述べた。さらに同会は、「数学の応用において、ソリトンとその派生形（キンク、アンチキンク、インスタントン、ブリーザー）は、非線形光学、プラズマ物理学、海洋・大気・惑星科学といった多様な分野に進出し、変革をもたらしてきた。非線形性は、排除すべき厄介者から、活用すべき新たなツールへと、革命的な変化を遂げた」と付け加えた。
クルスカルは1993年に「20年以上にわたり非線形科学のリーダーとして、非線形発展方程式のソリトン解理論の主要な提唱者としての影響力」が認められ、国家科学勲章を授与された。
2000年代初頭の数学の現状を概観した論文[ 22 ]の中で、著名な数学者フィリップ・A・グリフィスは、KdV方程式の積分可能性の発見は「数学の統一性を最も美しい形で示した」と述べている。「それは計算と数学解析の発展を伴うものであり、数学解析は微分方程式を研究する伝統的な方法である。これらの微分方程式の解は、代数幾何学における非常に洗練された構成を通して理解できることが分かった。また、これらの方程式には無限個の隠れた対称性があることが判明したため、解は表現論とも密接に関係している。そして最後に、それらは初等幾何学の問題にもつながる。」
クルスカルの受賞歴には以下のものがある。