ラグランジュ、オイラー、コワレフスカヤトップ

古典力学では、重力の影響下にあるコマなどの剛体の回転は、一般に積分可能な問題ではありません。しかし、オイラー、ラグランジュ、コワレフスカヤのコマという3つの有名な積分可能なケースがあり、これらは実際にはシステムがホロノミック制約を受ける唯一の積分可能なケースです。^{[1] [2] [3]} エネルギーに加えて、これらのコマにはそれぞれ、積分可能性を生み出す2つの追加の運動定数が含まれます。

オイラートップは、外部トルクが全くない状態で動く、特に対称性のない自由トップを表し、その固定点は重心です。ラグランジュトップは対称トップで、2つの慣性モーメントが同じで、重心が対称軸上にあります。コヴァレフスカヤトップ^{[4] [5]は、}慣性モーメントの比が一意で、次の関係を満たす 特殊な対称トップです。

${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I_{3},}$

つまり、2 つの慣性モーメントは等しく、3 つ目は半分の大きさで、重心は対称軸に垂直な平面(2 つの退化した主軸の平面に平行) 内にあります。

古典的なトップ^[6]の構成は、時間に依存する3つの主軸、 3つの直交ベクトル、および 対応する慣性モーメント、およびそれらの軸の周りの角速度によって定義されます。古典的なトップのハミルトン定式化では、共役な動的変数は、主軸に沿った 角運動量ベクトルの成分です。${\displaystyle t}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{2}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{3}}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$${\displaystyle {\bf {L}}}$

${\displaystyle (\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})=(\mathbf {L} \cdot {\hat {\bf {e}}}^{1}, {\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3}) }}}}}$

そして3つの主軸の z成分、

${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})=(\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{1},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3 })}$

これらの変数のポアソン括弧関係は次のように表さ れる。

${\displaystyle \{\ell _{a},\ell _{b}\}=\varepsilon _{abc}\ell _{c},\ \{\ell _{a},n_{b}\}=\varepsilon _{abc}n_{c},\ \{n_{a},n_{b}\}=0}$

重心の位置が で与えられる場合、コマのハミルトニアンは で与えられる。 ${\displaystyle {\vec {R}}_{cm}=(a\mathbf {\hat {e}} ^{1}+b\mathbf {\hat {e}} ^{2}+c\mathbf { \hat {e}} ^{3})}$

${\displaystyle H={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{ 2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg(an_{1}+bn_{2}+cn_{3})={\ frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\ frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg{\vec {R}}_{cm}\cdot \mathbf {\hat {z}} ,}$

運動方程式は次のように決定される。

${\displaystyle {\dot {\ell }}_{a}=\{H,\ell _{a}\},{\dot {n}}_{a}=\{H,n_{a}\}.}$

明示的には、これらは インデックスの巡回順列です。 $${\displaystyle {\dot {\ell }}_{1}=\left({\frac {1}{I_{3}}}-{\frac {1}{I_{2}}}\right)\ell _{2}\ell _{3}+mg(cn_{2}-bn_{3})}$$ $${\displaystyle {\dot {n}}_{1}={\frac {\ell _{3}}{I_{3}}}n_{2}-{\frac {\ell _{2}}{I_{2}}}n_{3}}$$

数学的に言えば、物体の空間配置は、実験フレームから物体フレームへの回転行列である3次元回転群であるリー群 上の点で記述されます。完全な配置空間または位相空間は、空間配置 での角運動量をパラメーター化するファイバーを持つ余接バンドルです。ハミルトニアンは、この位相空間上の関数です。 ${\displaystyle SO(3)}$ ${\displaystyle T^{*}SO(3)}$${\displaystyle T_{R}^{*}SO(3)}$${\displaystyle R}$

オイラートップは、レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられた、トルクのないトップ（例えば、自由落下中のトップ）であり、ハミルトニアン

${\displaystyle H_{\rm {E}}={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^ {2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}},}$

運動の4つの定数は、実験フレームにおける エネルギーと角運動量の3つの成分である。${\displaystyle H_{\rm {E}}}$

${\displaystyle (L_{1},L_{2},L_{3})=\ell _{1}\mathbf {\hat {e}} ^{1}+\ell _{2}\mathbf {\ hat {e}} ^{2}+\ell _{3}\mathbf {\hat {e}} ^{3}.}$

ラグランジュトップ^[7]は、ジョセフ＝ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられ、対称軸に沿った重心が位置にある対称トップであり、ハミルトニアン ${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{3}}$

${\displaystyle H_{\rm {L}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}}{2I}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mghn_{3}.}$

運動の4つの定数は、エネルギー、対称軸に沿った角運動量成分、z方向の角運動量である。 ${\displaystyle H_{\rm {L}}}$${\displaystyle \ell_{3}}$

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

そしてnベクトル の大きさ

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}$

コヴァレフスカヤトップ^{[4] [5]}は対称トップであり、質量の中心は対称軸に垂直な平面にある。これは1888年にソフィア・コヴァレフスカヤによって発見され、1888年にフランス科学アカデミーからボルダン賞を受賞した論文「固体体の回転問題について」で発表された。ハミルトニアンは ${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I}$${\displaystyle I_{3}=I}$${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{1}}$

${\displaystyle H_{\rm {K}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}+2(\ell _{3})^{2}}{2I}}+mghn_{1}.}$

運動の4つの定数はエネルギー、コワレフスカヤ不変量 である。${\displaystyle H_{\rm {K}}}$

${\displaystyle K=\xi _{+}\xi _{-}}$

ここで変数は次のように定義される。 ${\displaystyle \xi _{\pm }}$

${\displaystyle \xi _{\pm }=(\ell _{1}\pm i\ell _{2})^{2}-2mghI(n_{1}\pm in_{2}),}$

z方向の角運動量成分、

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

そしてnベクトル の大きさ

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}.}$

制約条件を緩和して非ホロノミック制約を許容すると、よく知られている3つの場合以外にも、積分可能なコマが考えられます。非ホロノミックなゴリヤチェフ・チャプリギンコマ（1900年にD.ゴリヤチェフによって導入され^[8]、1948年にセルゲイ・チャプリギンによって積分されました^{[9] [10]}）も積分可能です（）。その重心は赤道面にあります。^[11]${\displaystyle I_{1}=I_{2}=4I_{3}}$

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