弱非線形かつかなり長い波に対して有効な近似
ブシネスク型モデルによる水中 浅瀬 上の周期波のシミュレーション。波は、平らなビーチ上の楕円形の水中浅瀬を伝搬します。この例では、 屈折 、 回折 、浅瀬化、弱い 非線形性 など、 波と浅瀬 のいくつかの効果を組み合わせています。 流体力学 において 、 水波 の ブシネスク近似は 、弱 非線形 でかなり長い波に有効な 近似 である。この近似は、 ジョン・スコット・ラッセル による並進 波 （ 孤立波 または ソリトン とも呼ばれる）の観察に応じて最初にこの近似を導出した ジョセフ・ブシネスクにちなんで名付けられた。1872年のブシネスクの論文では、現在 ブシネスク方程式 として知られる方程式が紹介されている 。 [1]
水波 のブシネスク近似では、水平方向と垂直方向の 流速 の鉛直構造を考慮に入れます 。この結果、 ブシネスク型方程式 と呼ばれる 非線形 偏微分方程式が生成されます。この方程式には 周波数分散 が組み込まれています( 周波数分散のない 浅水方程式 とは対照的です)。 沿岸工学 では、ブシネスク型方程式は、 浅い 海 や 港湾 の 水波 を シミュレーションする ための コンピュータ モデル で頻繁に使用されます。
ブシネスク近似は、かなり長い波、つまり 水深に比べて 波長が大きい場合に適用できますが、 ストークス展開は 、短い波（波長が水深と同じかそれより短い場合）に適しています。
ブシネスク近似 ブシネスク近似における周期波。 波の伝播 方向の垂直 断面 で示されています。波の非線形性により、平らな 谷 と鋭い 山 が見られます。このケース ( スケール に描かれています)は、 波長 が 39.1 m 、波高が 1.8 m ( つまり、 山と谷の標高の差)、平均水深が 5 m、 重力加速度 が 9.81 m/s 2 である波を示しています。 ブシネスク近似の基本的な考え方は、 水波 下の流れの鉛直構造の影響の一部を保持しながら、流れ方程式から鉛直 座標 を除去することです。これは、波が水平面で伝播し、垂直方向に異なる（波のような）動作をするため便利です。多くの場合、ブシネスクの場合のように、関心は主に波の伝播にあります。
この垂直座標の除去は 、孤立波（または 並進波）の近似解を構築するために、1871 年に ジョセフ・ブシネスク によって初めて行われました。その後、1872 年にブシネスクは、今日ではブシネスク方程式として知られる方程式を導きました。
ブシネスク近似の手順は次のとおりです。
その後、残りの流れ方程式にブシネスク近似を適用して、垂直座標への依存性を排除します。その結果、得られる 偏微分方程式は、水平 座標 （および 時間 ）の 関数 になります 。
例として、 水平座標 と 垂直 座標 を持つ平面 上の水平河床上の ポテンシャル流 を考える。河床は に位置し 、 は 平均 水深 である。 河床面付近の 速度ポテンシャルの テイラー展開は 次のようになる 。 [2]
（ x 、 ず ）
{\displaystyle (x,z)}
x
{\displaystyle x}
ず
{\displaystyle z}
ず = − h
{\displaystyle z=-h}
h
{\displaystyle h}
φ （ x 、 ず 、 t ）
{\displaystyle \varphi (x,z,t)}
ず = − h
{\displaystyle z=-h}
φ =
φ
b
+ （ ず + h ）
[
∂ φ
∂ ず
]
ず = − h
+
1 2
（ ず + h
）
2
[
∂
2
φ
∂
ず
2
]
ず = − h
+
1 6
（ ず + h
）
3
[
∂
3
φ
∂
ず
3
]
ず = − h
+
1 24
（ ず + h
）
4
[
∂
4
φ
∂
ず
4
]
ず = − h
+ ⋯ 、
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\varphi _{b}\,+\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right]_{z=-h}\,\\&+\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,\left[{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial z^{3}}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,\left[{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial z^{4}}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots ,\end{aligned}}}
ここで、 は 河床における速度ポテンシャルです。 に対する ラプラス方程式を 非圧縮性流れ に有効なものとして適用すると 、次の式が得られます。
φ
b
（ x 、 t ）
{\displaystyle \varphi_{b}(x,t)}
φ
{\displaystyle \varphi}
φ =
{
φ
b
−
1 2
（ ず + h
）
2
∂
2
φ
b
∂
x
2
+
1 24
（ ず + h
）
4
∂
4
φ
b
∂
x
4
+ ⋯
}
+
{
（ ず + h ）
[
∂ φ
∂ ず
]
ず = − h
−
1 6
（ ず + h
）
3
∂
2
∂
x
2
[
∂ φ
∂ ず
]
ず = − h
+ ⋯
}
=
{
φ
b
−
1 2
（ ず + h
）
2
∂
2
φ
b
∂
x
2
+
1 24
（ ず + h
）
4
∂
4
φ
b
∂
x
4
+ ⋯
}
、
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\}\,\\&+\,\left\{\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,-\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots \,\right\}\\=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\},\end{aligned}}}
なぜなら、不浸透性の水平河床では 垂直速度がゼロになるからです 。この級数は、その後、有限個の項に切り捨てられることがあります。
∂
φ
/
∂
z
{\displaystyle \partial \varphi /\partial z}
z
=
−
h
{\displaystyle z=-h}
オリジナルのブシネスク方程式
導出 非圧縮流体 上の 水波 と平面 内の 非回転流 の場合 、 自由表面 標高 における 境界条件は 次のようになる。 [3]
(
x
,
z
)
{\displaystyle (x,z)}
z
=
η
(
x
,
t
)
{\displaystyle z=\eta (x,t)}
∂
η
∂
t
+
u
∂
η
∂
x
−
w
=
0
∂
φ
∂
t
+
1
2
(
u
2
+
w
2
)
+
g
η
=
0
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,u\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,-\,w\,=\,0\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&+\,{\frac {1}{2}}\,\left(u^{2}+w^{2}\right)\,+\,g\,\eta \,=\,0,\end{aligned}}}
どこ：
u
{\displaystyle u}
は水平方向の 流速 成分である： 、
u
=
∂
φ
/
∂
x
{\displaystyle u=\partial \varphi /\partial x}
w
{\displaystyle w}
は垂直方向の 流速 成分である： 、
w
=
∂
φ
/
∂
z
{\displaystyle w=\partial \varphi /\partial z}
g
{\displaystyle g}
重力 による 加速度 です 。 ここで、上で示した速度ポテンシャル のブシネスク近似が 、これらの 境界条件 に適用されます。さらに、結果として得られる方程式では、 および に関する線形項と二次項のみ が 保持 さ れ ます ( 河床での水平速度 )。 三次項 および高次項は無視できるものと仮定します。すると、次の 偏微分方程式 が得られます。
φ
{\displaystyle \varphi }
η
{\displaystyle \eta }
u
b
{\displaystyle u_{b}}
u
b
=
∂
φ
b
/
∂
x
{\displaystyle u_{b}=\partial \varphi _{b}/\partial x}
z
=
−
h
{\displaystyle z=-h}
集合 A – Boussinesq (1872)、方程式 (25)
∂
η
∂
t
+
∂
∂
x
[
(
h
+
η
)
u
b
]
=
1
6
h
3
∂
3
u
b
∂
x
3
,
∂
u
b
∂
t
+
u
b
∂
u
b
∂
x
+
g
∂
η
∂
x
=
1
2
h
2
∂
3
u
b
∂
t
∂
x
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,{\frac {\partial }{\partial x}}\,\left[\left(h+\eta \right)\,u_{b}\right]\,=\,{\frac {1}{6}}\,h^{3}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial x^{3}}},\\{\frac {\partial u_{b}}{\partial t}}\,&+\,u_{b}\,{\frac {\partial u_{b}}{\partial x}}\,+\,g\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,=\,{\frac {1}{2}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial t\,\partial x^{2}}}.\end{aligned}}}
この方程式は、平らな水平な床、 つまり 平均深度が 位置に依存しない定数であるために導出されたものです 。上記の方程式の右辺をゼロに設定すると、 浅水方程式 になります。
h
{\displaystyle h}
x
{\displaystyle x}
いくつかの追加近似ではあるが、同じ精度のオーダーで、上記の集合 A は 自由表面 標高 の単一 の偏微分方程式 に簡約できます 。
η
{\displaystyle \eta }
集合B – ブシネスク（1872）、方程式（26）
∂
2
η
∂
t
2
−
g
h
∂
2
η
∂
x
2
−
g
h
∂
2
∂
x
2
(
3
2
η
2
h
+
1
3
h
2
∂
2
η
∂
x
2
)
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\,-\,gh\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left({\frac {3}{2}}\,{\frac {\eta ^{2}}{h}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}\right)\,=\,0.}
括弧内の項から、方程式の非線形性の重要性はウルセル数 で表現できます 。 無次元量 では、水深 と重力加速度を使用して 無次元化すると、 正規化 後のこの方程式は次のように表されます。 [4]
h
{\displaystyle h}
g
{\displaystyle g}
∂
2
ψ
∂
τ
2
−
∂
2
ψ
∂
ξ
2
−
∂
2
∂
ξ
2
(
3
ψ
2
+
∂
2
ψ
∂
ξ
2
)
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \tau ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,-\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{2}}}\left(\,3\,\psi ^{2}\,+\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \xi ^{2}}}\,\right)\,=\,0,}
と：
線形位相速度の2乗を相対波数の関数として表したもの 。A = ブシネスク（1872）、式（25）、B = ブシネスク （ 1872 ）、式（26）、 C = 完全線形波理論、 分散（水波）を参照
c
2
/
(
g
h
)
{\displaystyle c^{2}/(gh)}
k
h
{\displaystyle kh}
線形周波数分散 異なる 波長の 水波は 異なる 位相速度で伝わります。これは 周波数分散 と呼ばれる現象です。 波の 振幅が 微小な 場合 、用語は 線形周波数分散です。ブシネスク型の方程式の周波数分散特性を使用して、それが有効な 近似値 である波長の範囲を決定できます 。
上記の方程式 A の線形 周波数分散 特性は次の通りである: [5]
c
2
=
g
h
1
+
1
6
k
2
h
2
1
+
1
2
k
2
h
2
,
{\displaystyle c^{2}\,=\;gh\,{\frac {1\,+\,{\frac {1}{6}}\,k^{2}h^{2}}{1\,+\,{\frac {1}{2}}\,k^{2}h^{2}}},}
と：
c
{\displaystyle c}
位相 速度 、
k
{\displaystyle k}
波数 （ 、 波長 ） 。
k
=
2
π
/
λ
{\displaystyle k=2\pi /\lambda }
λ
{\displaystyle \lambda }
セット A の位相速度の 相対 誤差は、 水波の線形理論 と比較すると 、相対波数に対して 4% 未満です 。そのため、 工学的 応用では、セット A は 水深の 4 倍よりも大きい 波長に対して有効です 。
c
{\displaystyle c}
k
h
<
π
/
2
{\displaystyle kh<\pi /2}
λ
{\displaystyle \lambda }
h
{\displaystyle h}
式B の 線形 周波数分散 特性は次の通りである: [5]
c
2
=
g
h
(
1
−
1
3
k
2
h
2
)
.
{\displaystyle c^{2}\,=\,gh\,\left(1\,-\,{\frac {1}{3}}\,k^{2}h^{2}\right).}
式B の位相速度の相対誤差は 4%未満であり、これは 水深の7倍よりも長い 波長に相当し 、 かなり長波 と呼ばれます。 [6]
k
h
<
2
π
/
7
{\displaystyle kh<2\pi /7}
λ
{\displaystyle \lambda }
h
{\displaystyle h}
短波の場合、 方程式 B は物理的に意味をなさなくなります。 位相速度 の 実数値 解が存在しなくなるためです。元の 2 つ の偏微分方程式 のセット (Boussinesq、1872、方程式 25、上記のセット A を参照) にはこの欠点はありません。
k
2
h
2
>
3
{\displaystyle k^{2}h^{2}>3}
浅水方程式では、 水深 の13倍を超える 波長に対して位相速度の相対誤差が4%未満になります 。
λ
{\displaystyle \lambda }
h
{\displaystyle h}
ブシネスク型方程式と拡張 ブシネスク方程式と呼ばれる 数学モデルは 、非常に多く存在します。これらはしばしば ブシネスク方程式として漠然と参照されますが、実際にはブシネスク方程式の変形が考慮されているため、混乱を招く可能性があります。したがって、 ブシネスク型方程式 と呼ぶ方が適切です 。厳密に言えば、 ブシネスク 方程式は上記のセット B であり、1872 年の論文の残りの部分の分析で使用されているためです。
ブシネスク方程式が拡張されたいくつかの方向は次のとおりです。
一方向波動伝播のさらなる近似 ブシネスク方程式では、同時に反対方向に移動する波も考慮しますが、一方向に移動する波のみを考慮する方が有利な場合がよくあります。追加の仮定を少し加えると、ブシネスク方程式は次のように簡略化されます。
孤立波解の他に、コルテヴェク・ド・フリース方程式には、 クノイダル波 と呼ばれる周期的かつ正確な解もあります。これらはブシネスク方程式の近似解です。
数値モデル 港湾入口に向かって移動する沿岸波のブシネスク型波動モデルによるシミュレーション。シミュレーションは SMS の BOUSS-2D モジュールを使用して行われます。 Celeris の Boussinesq モジュールを使用したリアルタイム シミュレーションよりも高速で、海岸付近の波の砕波と屈折を表示します。このモデルはインタラクティブな環境を提供します。 海岸や港湾付近の波動のシミュレーションには、ブシネスク型方程式を採用した数値モデル（商用および学術用）が存在します。商用の例として、 MIKE 21 および SMS のブシネスク型波動モジュールがあります。無料のブシネスクモデルには、Celeris、 [7]、 COULWAVE、 [8] 、FUNWAVE などがあります。 [9] ほとんどの数値モデルでは、モデル方程式の 離散化 に 有限差分法 、 有限体積法 、または 有限要素 法が採用されています。いくつかのブシネスク型方程式、それらの数値近似とパフォーマンスに関する科学的なレビューと相互比較は、例えば Kirby (2003)、Dingemans (1997、パート 2、第 5 章)、Hamm、Madsen、Peregrine (1993) にあります。
注記
^ この論文 (Boussinesq、1872 年) は次のように始まる: "Tous les ingénieurs connaissent les belles expériences de J. Scott Russell et M. Basin sur laproduction et la propagation des ondes ondes solitaires" ( "すべての技術者は J. Scott の美しい実験を知っています。孤立波の生成と伝播に関するラッセルと M. ベイシン」 ）。 ^ ディンゲマンス（1997）、477ページ。 ^ ディンゲマンス（1997）、475ページ。 ^ ジョンソン（1997）、219ページ ^ ab ディンジマンズ (1997)、p. 521. ^ ディンジマンズ (1997)、p. 473と516。 ^ "Celeria.org - Celeris Boussinesq 波モデル". Celeria.org - Celeris Boussinesq 波モデル 。 ^ "ISEC - モデル". isec.nacse.org 。 ^ 「James T. Kirby、Funwave プログラム」 。www1.udel.edu 。
参考文献 ブシネスク、J. (1871)。 「液体の液体、翻訳によるソリティアのリンゴ、運河の長方形による宣伝活動」。 科学アカデミーのコンテス 。 72 : 755–759。 ブシネスク、J. (1872)。 「Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal Rectangulari horizontal、en communication contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au folk」。 Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 。ドゥーズィエム・シリーズ。 17 ：55-108。 Dingemans, MW (1997)。不均一な海底での波の伝播。海洋工学上級シリーズ 13。World Scientific、シンガポール 。ISBN 978-981-02-0427-3 . 2012年2月8日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2008年1月21日 閲覧。 パート2、第5章を参照してください 。 Hamm, L.; Madsen, PA; Peregrine, DH (1993). 「沿岸域における波の変形: レビュー」. Coastal Engineering . 21 (1–3): 5–39. doi :10.1016/0378-3839(93)90044-9. ジョンソン、RS（1997）。 水波の数学的理論への現代的入門 。ケンブリッジ応用数学テキスト。第19巻。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 0-521-59832-X 。 Kirby, JT (2003)。「ブシネスク モデルと沿岸波の伝播、砕波帯プロセス、波による流れへの応用」。Lakhan, VC (編)。 沿岸モデリングの進歩 。Elsevier 海洋学シリーズ。第 67 巻。Elsevier。pp. 1–41。ISBN 0-444-51149-0 。 Peregrine, DH (1967). 「海岸の長波」. 流体力学ジャーナル . 27 (4): 815–827. Bibcode :1967JFM....27..815P. doi :10.1017/S0022112067002605. S2CID 119385147. Peregrine, DH (1972)。「水波の方程式とその近似値」。Meyer, RE (編)。 海岸の波とそれに伴う堆積物の輸送 。Academic Press。95～122 ページ 。ISBN 0-12-493250-9 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\varphi _{b}\,+\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right]_{z=-h}\,\\&+\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,\left[{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial z^{3}}}\right]_{z=-h}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,\left[{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial z^{4}}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ce5262a8da4c2226faf63b75ae0507ec6cc4da)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \,=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\}\,\\&+\,\left\{\,(z+h)\,\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,-\,{\frac {1}{6}}\,(z+h)^{3}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right]_{z=-h}\,+\,\cdots \,\right\}\\=\,&\left\{\,\varphi _{b}\,-\,{\frac {1}{2}}\,(z+h)^{2}\,{\frac {\partial ^{2}\varphi _{b}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {1}{24}}\,(z+h)^{4}\,{\frac {\partial ^{4}\varphi _{b}}{\partial x^{4}}}\,+\,\cdots \,\right\},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d3dbd1e212c6a649a17b5c4485db3070d25f3f7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&+\,{\frac {\partial }{\partial x}}\,\left[\left(h+\eta \right)\,u_{b}\right]\,=\,{\frac {1}{6}}\,h^{3}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial x^{3}}},\\{\frac {\partial u_{b}}{\partial t}}\,&+\,u_{b}\,{\frac {\partial u_{b}}{\partial x}}\,+\,g\,{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\,=\,{\frac {1}{2}}\,h^{2}\,{\frac {\partial ^{3}u_{b}}{\partial t\,\partial x^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c972763732eca1b9166d94f9cb0a7e2eba2e0066)
