平均律

平均律は、オクターブ（またはその他の音程）をステップに分割して、隣接する音符の周波数の比率が同じになるようにすることで、正確な音程を近似する音楽の音律または調律システムです。このシステムでは、ピッチ周波数の対数変化により、ピッチステップのサイズが等しいと認識されます。^[2]

クラシック音楽や西洋音楽全般において、18世紀以来最も一般的な調律法は12平均律（ 12音平均律、12 TET、12 ETとも呼ばれ、非公式には12イコールと略される）であり、これはオクターブを12の部分に分割し、そのすべてが対数スケール上で等しく、その比率は2の12乗根（≈ 1.05946）に等しい。その結果得られる最小の音程、⁠${\textstyle {\sqrt[{12}]{2}}}$1/12⁠ 1オクターブの幅は半音または半音と呼ばれます。西洋諸国では、平均律という用語は、特に限定されず、通常12TETを意味します。

現代では、12 TETは通常、 A 440と呼ばれる 440 Hz の標準ピッチを基準に調整されます。つまり、1 つの音Aが 440ヘルツに調整され 、他のすべての音はそこから半音の倍数だけ離れた周波数で、より高いか低いものとして定義されます。標準ピッチは常に 440 Hz だったわけではなく、過去数百年の間に大幅に変化し、一般的に上昇しています。^[3]

他の平均律ではオクターブの分割方法が異なります。たとえば、一部の音楽は19 TETと31 TETで書かれていますが、アラブの音律システムでは24 TETが使用されています。

平均律では、オクターブを分割する代わりに、異なる音程を分割することもできます。たとえば、ボーレン＝ピアース音階の平均律バージョンでは、オクターブと5度（比率 3:1）の正確な音程（このシステムでは「三度音程」または「疑似オクターブ」と呼ばれます）を 13 の等しい部分に分割します。

オクターブを均等に分割するが、単なる音程の近似ではないチューニング システムの場合は、オクターブの均等分割、またはEDO という用語を使用できます。

開放弦を除くすべての音の調律が可能なアンフレット弦楽アンサンブルや、機械的な調律の制限がないボーカルグループでは、音響上の理由から純正律にかなり近い調律を使用することがある。その他の楽器、例えば一部の管楽器、鍵盤楽器、フレット楽器などは、技術的な制限により正確な調律ができない場合、平均律に近似するだけの場合が多い。^[4] 簡単に自発的に音程を変えることができる管楽器、最も有名なのはトロンボーンだが、これらは弦楽アンサンブルやボーカルグループと同様の調律を使用する。

平均律では、音階の 2 つの隣接するステップ間の距離は同じ音程です。音程の認識される同一性はその比率によって決まるため、この音階の偶数ステップは乗算の等比数列です。(等比数列の音程は等間隔に聞こえず、異なるキーへの転置は許可されません。) 具体的には、平均律音階の 最小音程は比率です。

${\displaystyle \r^{n}=p\}$

${\displaystyle \r={\sqrt[{n}]{p\}}\}$

ここで、比率r は比率p (通常はオクターブ、つまり 2:1) をn等分します。 (下記の 12 音平均律を参照してください。 )

音階はセントで測定されることが多く、セントはオクターブを 1200 の等間隔 (それぞれをセントと呼ぶ) に分割します。この対数スケールは、異なる調律システムの比較を比率の比較よりも簡単にし、民族音楽学でかなり使用されています。平均律のセントでの基本ステップは、上記のセントpの幅(通常は 1200 セント幅のオクターブ) (以下w と呼ぶ) を取り、それをn個の部分に分割することで求められます。

${\displaystyle \ c={\frac {\ w\ }{n}}\ }$

音楽分析では、平均律に属する素材には整数表記が用いられることが多い。つまり、各ピッチを表すのに単一の整数が用いられる。これにより、乗算の対数が加算に還元されるのと同じように、平均律内のピッチ素材の議論が簡略化され一般化される。さらに、モジュラー演算（モジュラスはオクターブの分割数（通常は12））を適用することで、これらの整数をピッチクラスに還元することができ、これにより、同じ名前のピッチ間の区別がなくなる（または類似性が認められる）（たとえば、オクターブレジスタに関係なくcは0になる）。MIDIエンコード規格では、整数による音符指定が用いられる。

1オクターブを12の等しい大きさの音程に分割する12平均律は、今日、特に西洋音楽で最も広く使用されている音楽システムです。

平均律の正確な計算を成し遂げた人物としてよく知られているのは、1584年の朱載堉（Chu-Tsaiyuとも表記される。中国語:朱載堉）と1585年のシモン・ステヴィンである。朱の功績を認める批評家FAクットナーによると、^[5]朱は「1584年に平均律の単和音の算術計算のための非常に正確で単純かつ独創的な方法を提示」し、ステヴィンは「1585年以降に平均律の数学的定義と、それに対応する数値の計算をやや不正確ながら提示」したことが知られている。

これらの展開は独立して起こった。^{[6] (p200)}

ケネス・ロビンソンは平均律の発明を朱子学に帰し^{[7] [b]} 、証拠としてテキストの引用を挙げている^[8] 。 1584年に朱子学は次のように書いている。

私は新しいシステムを確立しました。私は1フィートを他のフィートを抜き出すための数字として設定し、比率を使用してそれらを抜き出します。合計で12の演算でピッチパイパーの正確な数字を見つけなければなりません。^{[9] [8]}

クトナーはこれに反対し、彼の主張は「大きな制限なしには正しいとは考えられない」と述べている。^[5]クトナーは、チューもステヴィンも平均律を達成しておらず、どちらも平均律の発明者とは見なされないと主張している。^[10]

中国の理論家たちはそれ以前にも12平均律の近似値を考案していたが、朱は12音平均律を数学的に解いた最初の人物であり^{[11] 、1580年[12]}と1584年[ ⁹ ]に出版された2冊の本でそれを説明した。 ^[13]ニーダムも拡張した説明をしている。^[14]

朱は弦とパイプの長さを順に≈1.059463で割り、パイプの長さを≈1.029302で割ることで結果を得ました。^[15]つまり、12回（1オクターブ）割ると長さが半分になります。 ${\textstyle {\sqrt[{12}]{2}}}$${\displaystyle {\sqrt[{24}]{2}}}$

朱は竹管を含むいくつかの楽器を彼のシステムに合わせて作った。^[16]

平均律を提唱した最初のヨーロッパ人にはリュート奏者のヴィンチェンツォ・ガリレイ、ジャコモ・ゴルザーニス、フランチェスコ・スピナーチーノなどがおり、彼らは皆平均律で音楽を作曲した。^{[17] [18] [19] [20]}

シモン・ステヴィンは、 2の12乗根に基づいて12TETを初めて開発し 、それを彼の死後の1884年に出版されたvan de Spiegheling der singconst（ 1605年頃）で説明しました。 ^[21]

撥弦楽器奏者（リュート奏者とギタリスト）は一般的に平均律を好みましたが、^[22]他の奏者は意見が分かれました。^[23]最終的には、12音平均律が勝利しました。これにより、異名同音の変調、新しいスタイルの対称調性調性および多調性、12音技法やセリアリズムで書かれた無調音楽、そしてジャズ（少なくともピアノ部分）が発展し、繁栄しました。

1オクターブを12等分する12音平均律では、半音の幅、つまり隣接する2つの音の間隔の周波数比は、 2の12乗根になります。

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2\}}=2^{\tfrac {1}{12}}\approx 1.059463}$

この間隔は 100 セントに分割されます。

12 TET内の音符の 周波数P _{n を}求めるには、次の式を使用します。

${\displaystyle \ P_{n}=P_{a}\ \cdot \ {\Bigl (}\ {\sqrt[{12}]{2\ }}\ {\Bigr )}^{na}\ }$

この式で、P _{n は}、探しているピッチまたは周波数 (通常はヘルツ単位) を表します。 P _aは基準ピッチの周波数です。インデックス番号nとa は、目的のピッチ ( n ) と基準ピッチ ( a )に割り当てられたラベルです。これら 2 つの数値は、連続する半音に割り当てられた連続する整数のリストから取られます。たとえば、 A ₄ (基準ピッチ) はピアノの左端から 49 番目のキー ( 440 Hzに調律) であり、 C ₄ (中央の C ) と F ♯ _{4はそれぞれ 40 番目と 46 番目のキーです。これらの数値を使用して、 C 4}と F ♯ ₄の周波数を見つけることができます。

${\displaystyle P_{40}=440\ {\text{Hz}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(40-49)}\approx 261.626\ {\text{Hz}}\ }$

${\displaystyle P_{46}=440\ {\text{Hz}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(46-49)}\approx 369.994\ {\text{Hz}}\ }$

周波数 (Hz) をそれと等しい 12  TETに変換するには、次の式を使用できます。

${\displaystyle \ E_{n}=E_{a}\ \cdot \ 2^{\ x}\ \quad }$一般的に${\displaystyle \quad \ x\ \equiv \ {\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ n\ }{a}}\right){\Biggr )}~.}$

E _{n は}平均律における音程の周波数、 E _{a は}基準音程の周波数です。例えば、基準音程を 440 Hz とすると、 E ₅とC ♯ _{5 の}周波数はそれぞれ次のようになります。

${\displaystyle E_{660}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {7}{\ 12\ }}\right)}\ \approx \ 659.255\ {\mathsf {Hz}}\ \quad }$この場合${\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}\ 12\log _{2}\left({\frac {\ 660\ }{440}}\right)\ {\Biggr )}={\frac {7}{\ 12\ }}~.}$

${\displaystyle E_{550}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {1}{\ 3\ }}\right)}\ \approx \ 554.365\ {\mathsf {Hz}}\ \quad }$ この場合${\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ 550\ }{440}}\right){\Biggr )}={\frac {4}{\ 12\ }}={\frac {1}{\ 3\ }}~.}$

12TETの音程は 純正律の音程に非常に近い。^[24] 5度と4度は純正律とほとんど区別がつかないほど近いが、3度と6度はさらに離れている。

次の表では、さまざまな純正音程のサイズが平均律の音程と比較され、比率とセントで示されています。

ヴァイオリン、ビオラ、チェロは完全五度（ヴァイオリンの場合はGDAE 、ビオラとチェロの場合はCGDA）に調律されており、これはその半音比が従来の12平均律よりもわずかに高いことを示唆している。完全五度は基音と3:2の関係にあり、この音程は7つのステップで構成されるため、各音は次の音（100.28セント）との比率になり、これにより比率が3:2の完全五度となるが、12の完全五度が7オクターブに等しくないため、通常の2:1ではなく≈517:258または≈2.00388:1のわずかに広いオクターブとなる。 ^[25]しかし、実際の演奏中、ヴァイオリン奏者は耳で音程を選択し、弦の4つの非停止音だけがこの3:2の比率を示すことが保証されている。 ${\textstyle {\sqrt[{7}]{3/2}}}$

それぞれ240 セントPlay ^ⓘと 171 セントPlay ^ⓘステップを持つ5 音平均律と 7 音平均律 ( 5 TET Play ^ⓘと{{7 TET }} Play ^ⓘ )はかなり一般的です。

5 TETと7 TET は、図 1 に示すように、シントニック音律の有効なチューニング範囲 の終点を示します。

• 5 TETでは、平均律完全五度は 720 セント幅 (調律連続体の頂点) であり、調律連続体上で短二度の幅が 0 セント幅に縮小する終点を示します。
• 7 TETでは、平均律完全五度は 686 セント幅 (調律連続体の一番下) で、調律連続体の終点を示します。この終点で短二度は長二度と同じ幅 (それぞれ 171 セント) に広がります。

Kunst (1949)によれば、インドネシアのガムランは5 TETに調律されているが、Hood (1966) とMcPhee (1966)によればその調律は大きく異なり、Tenzer (2000)によればオクターブが延長されている。 ガムラン音楽の 2 つの主要な調律システムであるスレンドロとペログのうち、スレンドロだけが 5 音平均律に多少似ており、ペログは非常に不均等であることが現在認められている。しかし、1972 年に Surjodiningrat、Sudarjana、Susanto はペログを9 TET (133 セント ステップPlay ^ⓘ )に相当すると分析している。^[26]

1974年にモートンが測定したタイの木琴は、 7TETから「プラスマイナス5セントしか変わらなかった」。^[27]モートンによれば、

「タイの固定ピッチの楽器は、1オクターブあたり7つのピッチの等間隔システムに調律されています...しかし、西洋の伝統音楽と同様に、調律システムのすべてのピッチが1つのモード（多くの場合「スケール」と呼ばれます）で使用されるわけではありません。タイのシステムでは、7つのうち5つがどのモードの主要なピッチで使用されるため、モードの非等間隔の間隔のパターンが確立されます。」^[28] 再生^ⓘ

1969年にボイルズが測定した楽器以前の文化の南米インディアンの音階は、175セントの7音平均律を特徴としており、器楽ガムラン音楽と同様にオクターブがわずかに伸びている。^[29]

中国の音楽では伝統的に7 TETが使われてきました。^{[c] [d]}

19 エド

多くの楽器は19 EDOチューニングを使用して作られています。⁠ 1 /3⁠コンマ・ミーントーンでは、完全五度はわずかに低く（695セント）、短三度と長六度は純正律から5分の1セント未満しか離れておらず、19 EDOよりも良い短三度と長六度を生み出す最低のEDOは232 EDOです。完全四度（505セント）は純正律よりも7セントシャープで、12 EDOよりも5セントシャープです。

22 エド

22 EDOは、スーパーパイソン音律 (7:4 と 16:9 が同じ音程) を表す最も正確な EDO の 1 つであり、ポーキュパイン音律の最適な生成器に近いものです。5 度が非常にシャープなので、5 度を積み重ねて得られる長 3 度と短 3 度は、スーパー長 3 度 (9/7) とサブ短 3 度 (7/6) になります。互いに 1 歩近づくのは、古典的な長 3 度と短 3 度 (5/4 と 6/5) です。

23 エド

23 EDOは、第 3、第 5、第 7、および第 11 倍音 (3:2、5:4、7:4、11:8) を 20 セント以内に近似できない最大の EDO ですが、それらの間のいくつかの比率 (6:5 の短 3 度など) を非常によく近似するため、珍しい倍音領域を求める微分音奏者にとって魅力的です。

24 エド

24 EDO、すなわち四分音階は、標準的な西洋の 12 EDO ピッチと記譜法に慣れていて、微分音にも興味がある作曲家にとって便利なアクセス ポイントとなるため、特に人気があります。24 EDO には 12 EDO のすべてのピッチが含まれているため、ミュージシャンは 12 音ハーモニーで利用できる戦術を失うことなく、追加の色彩を使用できます。24 は 12 の倍数であるため、2 台のピアノなど、四分音離れて調律された 2 台の従来の 12 EDO 楽器を使用することで、24 EDO を楽器で簡単に実現できます。これにより、各演奏者 (または 1 人の演奏者がそれぞれの手で別のピアノを演奏する) が、使い慣れた 12 音記譜法を読むこともできます。チャールズ アイヴズを含むさまざまな作曲家が、四分音ピアノの音楽を実験しました。24 EDO は、12 EDO とは異なり、11 番目と 13 番目の倍音に非常によく近似します。

26 エド

_{26 は log 2} (7)に収束する分母で、第 7 倍音 (7:4) を 0.5 セント未満の誤差で調律します。これはミーントーン音律ですが、非常にフラットな音律で、完全五度のうち 4 つは長三度を 17 セントフラットにします (11:9 の中立三度に相当)。26 EDO には 2 つの短三度と 2 つの短六度があり、理髪店のハーモニーの代替音律として使用できます。

27 エド

27 は、最初の 8 つの倍音を含むすべての音程を一意に表すオクターブの最小の均等分割数です。これは、7 度コンマを和らげますが、同調コンマを和らげません。

29 エド

29 は、オクターブを均等に分割する最小の数であり、完全五度は 12 EDO よりも正確に近い。12 EDO では、完全五度は 2 セントフラットではなく 1.5 セントシャープである。29 の典型的な長三度は 12 EDO とほぼ同じくらい不正確だが、14 セントシャープではなく 14 セントフラットに調律されている。また、7 番目、11 番目、13 番目の倍音もほぼ同じ量だけフラットに調律されるため、29 EDO は 7:5、11:7、13:11 などの音程に非常に正確に一致させることができる。29 の音程すべてを半分にカットすると58 EDOになり、一部の正確音の誤差が低くなる。

31 エド

31 EDO は、クリスティアーン・ホイヘンスとアドリアン・フォッカーによって提唱され、 1/4 コンマ平均律を平均律に修正したものです。31 EDO は、12 EDO (19 EDO など) ほど正確な完全 5 度ではありませんが、長 3 度と短 6 度は 1 セント未満しかずれていません。また、11 までの倍音の一致も良好で、そのうち 7 番目の倍音は特に正確です。

34 エド

34 EDO は、5:4 の適合精度がやや劣るにもかかわらず、3:2、5:4、6:5、およびそれらの反転に対する近似の総合誤差が 31 EDO よりわずかに低くなっています。34 EDO は、7 を含む第 7 倍音または比率を正確に近似せず、5 度がフラットではなくシャープであるため平均全音ではありません。34 は偶数であるため、600 セントのトライトーンが可能になります。

41 エド

41 は、 29 EDO や 12 EDO よりも完全五度が優れている次の EDO です。その古典的な長三度も、わずか 6 セント フラットでより正確です。これはミーントーン音律ではないため、31 EDO とは異なり、10:9 と 9:8、および古典的な長三度とピタゴラス長三度を区別します。13 の制限では、31 EDO よりも正確です。

46 エド

46 EDO は、わずかにシャープな長三度と完全五度を提供し、多くの人^{[誰? ] は}、これが長三和音に特徴的な明るい音を与えると言います。17 までの主要倍音はすべて 6 セント以内の精度で、10:9 と 9:5 は純粋な倍音から 5 分の 1 セント離れています。これはミーントーン システムではないため、10:9 と 9:8 を区別します。

53 エド

53 EDO はたまにしか使われていませんが、12、19、31 EDO よりも伝統的な純正協和音に近似する点で優れています。その極めて正確な完全五度は、 53 が log ₂への収束の分母であるため、拡張ピタゴラス音律と同等です(3)。正確な五度循環と多目的コンマ ステップにより、53 EDO はトルコの音楽理論で使用されてきました。これは、五度を積み重ねることで良好な三度に簡単に到達できるミーントーン音律ではありません。代わりに、すべての分離音律と同様に、協和三度は、8 つの完全四度を積み重ねることによって到達するピタゴラス減四度 (CF ♭ ) で表されます。また、クライスマを調整し、その五度に 6 つの短三度 (6:5) を積み重ねることで到達できるようにします。

58 エド

58 平均律は 29 EDO の複製であり、埋め込み平均律として含まれています。29 EDO と同様に、7:4、7:5、11:7、13:11 などの音程を非常に正確に一致させることができるほか、3 度と 6 度をより正確に近似することができます。

72 エド

72 EDO は、多くの純正律音程によく近似しており、第 3、第 5、第 7、および第 11 倍音にほぼ同等の音を提供します。72 EDO は、ジョー・マネリとその生徒 (彼らの無調性傾向により、純正律への言及をまったく避ける傾向がある) によって指導、作成、および実践されています。72 EDO は 12 の倍数であるため、12 EDO の拡張と見なすことができ、異なるピッチで始まる 12 EDO のコピーが 6 つ、24 EDO のコピーが 3 つ、および 36 EDO のコピーが 2 つ含まれています。

96 エド

96 EDOは、ほとんど区別がつかない6.25セント以内のすべての音程を近似します。12の8倍なので、一般的な12 EDOと同じように使用できます。これは、ジュリアン・カリロを中心に、多くの作曲家によって提唱されています。^[34]

時々使用されるオクターブのその他の均等分割には、13 EDO、15 EDO、17 EDO、および 55 EDO があります。

2、5、12、41、53、306、665、15601は_log2 (3)の第一収束値の分母なので、2、5、12、41、53、306、665、15601の12分音符（および5分音符）は、対応する平均律でオクターブの整数倍に等しいため、より少ない音数の平均律の場合よりも、2、5、12、41、53、306、665、15601の12分音符/5分音符のより良い近似値となります。^{[35] [36]}

1、2、3、5、7、12、29、41、53、200、...（OEISのシーケンスA060528）は、完全五度にますます近似するオクターブ分割のシーケンスです。他の正確な音程を近似する分割を含む関連シーケンスは、脚注に記載されています。^[e]

ボーレン＝ピアース音階の平均律バージョンは、3:1（1902 セント）の比率で構成され、これは慣例的に完全五度とオクターブ（つまり完全十二度）を足したもので、この理論では三度音（^ⓘで演奏）と呼ばれ、13 の均等な部分に分割されます。これは、奇数のみで構成される正しく調律された比率に非常に近い一致を提供します。各ステップは 146.3 セント（^ⓘで演奏）です。 ${\textstyle {\sqrt[{13}]{3}}}$

ウェンディ・カルロスは、 30セントから120セントまでの音律の特性を徹底的に研究した後、3つの珍しい平均律を考案しました。これらはアルファ、ベータ、ガンマと呼ばれていました。これらは完全五度を均等に分割したものと考えることができます。それぞれがいくつかの正確な音程の非常に良い近似値を提供します。^[37]音律のステップサイズは以下のとおりです。

• アルファ: (78.0セント)再生^ⓘ${\textstyle {\sqrt[{9}]{\frac {3}{2}}}}$
• ベータ版: (63.8セント)再生^ⓘ${\textstyle {\sqrt[{11}]{\frac {3}{2}}}}$
• ガンマ: (35.1セント)再生^ⓘ${\textstyle {\sqrt[{20}]{\frac {3}{2}}}}$

「アルファ」と「ベータ」は、カルロスの 1986 年のアルバム「Beauty in the Beast」のタイトル曲で聞くことができます。

このセクションでは、半音と全音は、通常の 12 EDO の意味を持たない場合があります。これは、半音と全音を、正しいバージョンとは異なる方法で調律して、望ましい関係を生み出す方法について説明しているためです。半音のステップ数をs、全音のステップ数をtとします。

半音を全音の任意の固有分数に固定し、音符の順序を正しい状態に保つ平均律の族は 1 つだけ存在します (つまり、たとえば、 C、D、E、F、F ♯は、 Cとの通常の関係が維持されている場合は昇順になります)。つまり、qt = s の関係でq を固有分数に固定すると、この関係を満たす 1 つの平均律とその倍数の固有の族も定義されます。

例えば、kが整数の場合、12 k EDOは q = ⁠を設定します。1/2⁠、 19 k EDO セットq = ⁠1/3⁠、31 k EDO セットq = ⁠​ 2 /5⁠ 。これらのファミリーの最小の倍数（上記の 12、19、31 など）には、五度圏の。（これは一般には当てはまりません。24  EDOでは、ハーフシャープとハーフフラットは、 Cから生成される五度圏にありません。）極端な例は、 q = 0で半音がユニゾンになる5 k EDOと、 q = 1で半音と全音が同じ音程になる7 k EDOです。

この平均律で半音と全音に何段階あるかがわかれば、オクターブ内の段階数がわかります。上記の性質を持つ平均律（五度圏外に音がないことも含む）では、オクターブは7 t − 2 s段階に、完全五度は4 t − s 段階に分割されます。五度圏外に音がある場合は、これらの結果に、すべての音を生成するために必要な重複しない五度圏の数 nを掛ける必要があります（たとえば、 24 EDOでは 2 つ、 72  EDOでは 6 つ）。（この目的のためには小さな半音を取る必要があります。19  EDOには2 つの半音があり、そのうち 1 つは⁠ 1 /3⁠トーンと他の存在⁠ 2 /3同様に、31  EDO には 2 つの半音があり、1 つは⁠ 2 /5⁠トーンと他の存在⁠ 3 /5⁠）。

これらのファミリーの中で最も小さいのは12 k EDOで、特に 12  EDO は上記の特性を持つ最小の平均律です。さらに、半音は全音のちょうど半分になり、関係は最も単純です。これらは、12  EDOが最も一般的に使用される平均律となった理由の一部です。(もう 1 つの理由は、12 EDO が 5 の限界ハーモニーに非常に近い最小の平均律であり、次に小さいのは 19 EDO であるということです。)

関係式の 各分数qの選択は、正確に1つの平均律族をもたらしますが、その逆は真ではありません。47EDOには2つの異なる半音があり、1つは⁠ 1 /7⁠トーンともう一つは⁠ 8 /9⁠ 、これらは 19 EDO ( ⁠のように互いに補完関係にはありません 。 1 /3⁠と⁠ 2 /3⁠）。半音ごとに完全五度が異なります。

平均律は、純正律に見られる3つの音程の間隔で考えることができ、そのほとんどの和音は調和的に完全に調和している。これは、ほぼすべての平均律のほぼすべての音程間では達成されていない優れた特性である。ほとんどの純正和音は驚くほど協和音に聞こえ、ほとんどの平均律和音は少なくともわずかに不協和音に聞こえる。ハ長調では、これらの3つの音程は次のようになる。^[38]

• 大きい 音T  = ⁠  9 /8⁠  = C:D、F:G、A:B の音程。
• 低い 音t  = ⁠  10 /9⁠  = D:E と G:A の音程。
• 全音階の 半音s  = ⁠  16 /15⁠  = E:F と B:C の間隔。

平均律がこれら3つの音程をどのように修正または適応させるかという観点から平均律を分析すると、これらの音程がどれだけ歪んでいるかに基づいて、その平均律でさまざまなコードがどれだけ調和的であるかを素早く評価する方法が得られます。^{[38] [f]}

12 平均律 (12 TET )の全音階調律は、オクターブをT ts T t T s (またはその円シフトまたは「回転」) の一連のステップとして分割する任意の通常の全音階調律に一般化できます。通常の全音階調律と呼ばれるためには、2 つの半音 (  s  ) のそれぞれが、どちらの音 (大きい音、 T 、および小さい音、 t  ) よりも小さくなければなりません。コンマκ は、大きい音と小さい音の間のサイズ比として暗黙的に使用されます。周波数として表されるκ = ⁠   T / t ⁠、またはセント としてκ = T − t。   

通常のダイアトニックチューニングの音符は、「5度螺旋」でつながっていますが、これは閉じません（ 12 TETの5度圏とは異なります）。サブドミナントのF（C のキー）から始まり、 F – C、C – G、G – Dの3つの完全5度が連続しており、それぞれが小さな音程TT tsの順列の合成です 。3つの調和した5度の間には、 D – A = T tts （ grave は「コンマでフラット」を意味する）の減5度が中断され、別の完全5度E – B、別の減5度 B – F ♯ が続き、その後シャープでF ♯ – C ♯ と再開します。同じパターンがシャープ音、次にダブルシャープ、というように無限に繰り返されます。しかし、すべてナチュラル、すべてシャープ、またはすべてダブルシャープの音符の各オクターブは、ナチュラルからシャープへ、またはシングルシャープからダブルシャープへなど、あらゆる遷移で 2 つのコンマずつフラットになります。 このパターンはフラットでも逆対称です。パターンは4 度ずつ下降し、ナチュラル音符からフラット音符へ、またはフラットからダブルフラットへなど、あらゆる遷移で、2 つのコンマずつ音符を相互にシャープにします。 変更しない場合、すべてナチュラル音符、すべてシャープ、またはすべてフラット音符の各ブロックの 2 つの重五度は「ウルフ」音程になります。 重五度のそれぞれは、全音階コンマずつ音程がずれています。     

コンマκは、小さい方の音 t = scを大きい方の音T = sc κに拡張するので、正確なオクターブT ts T t T s は、 7 つの全音階半音s、 5 つの半音階半音c、および 3 つ のコンマκのシーケンスsc κ sc s sc κ sc sc κ s (またはその循環シフト) に分割できます。さまざまな平均律では、音程のサイズが変更されますが、通常は 3 つのコンマを分解し、その部分を 7 つの全音階半音s、または 5 つの半音階半音c 、またはsとc の両方に再分配し、各タイプの半音に対して一定の比率を保ちます。        

s、c、κの音程のシーケンスは、 12 の 5 度からなる大きな螺旋に繰り返し追加することができ、1 つまたは複数の音程のサイズをわずかに調整することでその遠端で接続することも、コンマでフラットにした完全ではない 5 度を時々追加して変更せずにそのままにしておくこともできます。

さまざまな平均律は、 3 つの音程 T 、 t 、 s 、またはより細かく言えば、それらの構成要素 s 、 c 、 κ の大きさを調整し、細分化したものであると理解および分析できます。平均律は、長音と短音( T、t )の大きさを同じにし (たとえば、κ = 0に設定し、他の音はオクターブを埋めるために拡張する)、両方の半音 ( sとc ) を同じにすることで作成できます。その結果、1 つの音につき 2 つずつ、合計12個の等しい半音が生成されます。12 TETでは、半音sは、同じ大きさの全音T = tの大きさのちょうど半分になります。

平均律システムでは、コンマと半音のサイズを変更することで、中間のサイズの音と半音を生成することもできます。オクターブを固定したまま、 cとκのサイズが 0 に近づくと、極限で7 TETが得られ、 sとκ のサイズが 0 に近づくと、極限で5 TETが得られます。もちろん、 s = cかつκ = 0の場合は12 TETになります。たとえば、 次のようになります。   

5 TETと7 TET

この枠組みを挟む 2 つの極端なケースがあります。sとκ がオクターブ サイズを固定したまま 0 に減少すると、結果はttttt、つまり 5 音平均律になります。s が大きくなると (そして、以前はコンマκに使用されていたスペースを吸収すると)、最終的にステップはすべて同じサイズ、tttttttになり、結果は 7 音平均律になります。 これら 2 つの極端なケースは、「通常の」全音階チューニングには含まれません。

19テト

全音階の半音が半音階の半音の2倍の大きさ、つまりs = 2 c (セント) かつκ = 0に設定されている場合、結果は19 TETとなり、半音階の半音cに1ステップ、全音階の半音sに2ステップ、音階T = tに3ステップ、合計ステップ数は 3 T + 2 t + 2 s = 9 + 6 + 4 =  19 ステップとなります。埋め込まれた12音階のサブシステムは、歴史的に重要な⁠    1 /3⁠コンマ・ ミーントーン方式。

31テト

半音階の半音が全音階の半音の3分の2の大きさの場合、つまりc = ⁠ 2 /3⁠ s、 κ = 0の場合、結果は31 TETとなり、半音階の半音に 2 ステップ、全音階の半音に 3 ステップ、全音階に 5 ステップとなり、  3 T + 2 t + 2 s = 15 + 10 + 6 =  31 ステップとなります。埋め込まれた 12 音サブシステムは、歴史的に重要な⁠ 1 /4⁠コンマミーントーン。

43 テト

半音階の半音が全音階の半音の4分の3の大きさの場合、つまりc = ⁠ 3 /4⁠ s、 κ = 0の場合、結果は 43 TET となり、半音階の半音に 3 ステップ、全音階の半音に 4 ステップ、全音階に 7 ステップとなり、  3 T + 2 t + 2 s = 21 + 14 + 8 = 43 となります。埋め込まれた 12 音サブシステムは、 ⁠ 1 /5⁠カンマ・ミーントーン。

53テト

半音階の半音を 3 つのコンマと同じサイズにするとc = 3 κ (セント単位、周波数c = κ ³ )、全音階を 5 つのコンマと同じサイズにするとs = 5 κとなり、小さい方の音は 8 つのコンマt = s + c = 8 κ、大きい方の音は 9 つのコンマT = s + c + κ = 9 κになります。したがって、 3 T + 2 t + 2 s = 27 κ + 16 κ + 10 κ = 53 κとなり、それぞれ 1 つのコンマの53 ステップになります。コンマのサイズ / ステップのサイズはκ = ⁠        1 200 /53⁠  ¢ちょうど、またはκ = 22.642 ¢ ≈ 21.506 ¢ 、シントニックコンマ純正律に非常に近いものであり、トルコの音楽理論。   

• ヘルムホルツ、H. (2005) [1877 (第 4 版ドイツ語版)、1885 (第 2 版英語版)]. 音楽理論の生理学的基礎としての音感について。エリス、AJ (再版) 訳。ホワイトフィッシュ、MT: ケリンガー出版。ISBN 978-1-41917893-1OCLC  71425252 –インターネットアーカイブ(archive.org)経由。
  — 音響学と音の知覚に関する基礎的な著作。特に、付録 XX: 翻訳者による追加、430～556 ページ、(pdf では 451～577 ページ) の内容 (ウィキペディアの記事「音の感覚について」も参照)

• カイル・ガンによる歴史的調律入門
• EDO と平均律に関する Xenharmonic wiki
• ホイヘンス・フォッカー財団微分音音楽センター
• A.オルランディーニ: 音楽音響
• 「気質」チェンバース氏の百科事典の補遺（1753年）より
• バルビエリ、パトリツィオ。調和のとれた楽器と音楽、1470 ～ 1900 年。 (2008) ラティーナ、イル レヴァンテ リブレリア エディトリス
• フラクタル微分音音楽、ジム・ククラ。
• JSバッハと音律に関する18世紀のすべての引用
• ドミニク・エッカーズリー：「ロゼッタ再考：バッハの非常に平凡な音律」
• ヴェルクマイスターの定義に基づくウェル調律
• スケールの好ましい基数 P ETER B UCH著