四分音符ミーントーン

四分音符ミーントーン、または⁠ 1 /4⁠ -コンマ・ミーントーンは、 16世紀と17世紀に最も一般的なミーントーン音律であり、その後も時々使用されました。このシステムでは、完全五度は、ピタゴラス音律（周波数比3：2）で使用される純正律に対して、シントニック・コンマの4分の1 （81：80）だけ平坦化されます。結果は、 ⁠  3 /2⁠ × [ ⁠ 80 /81⁠ ] ^{1 / 4} = ⁴ √ 5 ≈ 1.49535、セントの 5 度です 。 (その値の 12 乗は 125 ですが、7 オクターブは 128 なので、 41.059 セント不足します。) この 5 度は、次に全音階と音律の他の音を生成するために繰り返されます。目的は、正しく調律された長 3 度(周波数比が5 : 4に等しい) を得ることです。ピエトロ・アロンがトスカネッロ・デ・ラ・ムジカ』で、長 3 度は「響きがよく、正しく、可能な限り統一される」ように調律されるべきであると説明^[1]後の理論家ジョゼッフォ・ザルリーノとフランシスコ・デ・サリナスは、数学的な正確さをもって調律を説明しました。

ミーントーン調律では、半音階と全音階の異なる半音があります。半音階の半音は C と C ^♯の差で、全音階の半音は C と D ♭の差です。ピタゴラス調律では、全音階の半音はピタゴラスのリンマ、半音階の半音はピタゴラスのアポトメと呼ばれますが、ピタゴラス調律ではアポトメが大きく、⁠ 1 /4⁠コンマ・ミーントーンではリンマの方が大きい。言い換えれば、ピタゴラス音律ではC ^{♯がD ♭}よりも高いが、 ⁠ 1 /4⁠コンマ・ミーントーンでは、C ^{♯ は}D ^♭よりも低くなります。

あらゆるミーントーンやピタゴラス音律では、全音は各種の半音 1 つで構成され、長三度は全音 2 つで各種の半音 2 つで構成され、ミーントーンの完全五度には全音 4 つと半音 3 つが含まれ、1オクターブには全音 7 つと半音 5 つが含まれるため、次のようになります。

• 5 度下げて 3 オクターブ上げると全音階の半音となり、ピタゴラスのリンマは全音階の半音に調律されます。
• 2 つの 5 度上と 1 オクターブ下が、1 つの全音階半音と 1 つの半音階半音で構成される全音を構成します。
• 4 つの 5 度上と 2 オクターブ下が長 3 度を構成し、これは 2 つの全音階半音と 2 つの半音階半音、つまり 2 つの全音で構成されます。

したがって、ピタゴラス音律では、5度音程（周波数比3：2）とオクターブの連続を使用し て他の音程を生成するため、全音は

${\displaystyle {\frac {~\left({\frac {3}{\ 2\ }}\right)^{2}}{2}}={\frac {\ \left({\frac {9}{\ 4\ }}\right)\ }{2}}={\frac {9}{\ 8\ }}\ ,}$

そして長三度は

${\displaystyle {\frac {~\left({\frac {3}{\ 2\ }}\right)^{4}}{2^{2}}}={\frac {\ \left({\frac {81}{\ 16\ }}\right)\ }{4}}={\frac {81}{\ 64\ }}\approx {\frac {80}{\ 64\ }}={\frac {5}{\ 4\ }}\ ;}$

異なる値の比率は同調コンマであり、⁠  81 / 80 ⁠ .

17度の音程で、16の全音階と12の半音階の半音で構成され、例えばD ₄からFまでの音程など^♯6
_​は、どちらを使用しても同等に得られる。

• 4つの5度音符の積み重ね（例：D ₄ A ₄ E ₅ B ₅ F^♯6
  _​）、 または
• 2オクターブと1つの長3度の積み重ね（例：D ₄ D ₅ D ₆ F^♯6
  _​）。

この 17 度音程の大きな音程には、 5 + (5 − 1) + (5 − 1) + (5 − 1) = 20 − 3 = 17の 五線譜の位置が含まれます。ピタゴラス音律では、 17 度音程のサイズは、正確に調律された 4 つの 5 度音のスタック (周波数比 3 : 2) を使用して定義されます。

${\displaystyle \left({\frac {3}{\ 2\ }}\right)^{4}={\frac {81}{\ 16\ }}={\frac {80}{\ 16\ }}\cdot {\frac {81}{\ 80\ }}=5\cdot {\frac {81}{\ 80\ }}~.}$

正確な長三度（ 5 : 4 ）が求められる四分音符平均律では、2オクターブと長三度を重ねることで、わずかに狭い十七度が得られます。

${\displaystyle 2^{2}\cdot {\frac {5}{\ 4\ }}=5~.}$

しかし、定義により、4分の1コンマ・ミーントーンであっても、4つの5度音を積み重ねることで、同じ大きさの17度音（5：1）が得られる必要がある。ピタゴラス音律で使用されるような正しく調律された5度音は、わずかに広い17度音を生成するため、4分の1コンマ・ミーントーンでは、この要件を満たすために5度音をわずかにフラットにする必要がある。フラット化された5度の周波数比をxとすると、4つの5度の比率は5：1であることが望まれる。

${\displaystyle x^{4}=5\ ,}$

これは、5番目が

${\displaystyle x={\sqrt[{4}]{5\}}=5^{1/4}\ ,}$

全音は、2つの5度上と1オクターブ下に移動して作られ、

${\displaystyle {\frac {~x^{2}}{2}}={\frac {\ {\sqrt {5\ }}\ }{2}}\ ,}$

全音階の半音は3オクターブ上、5度下に移動して作られ、

${\displaystyle {\frac {\;2^{3}\ }{\ x^{5}}}={\frac {8}{~5^{5/4}}}~.}$

四分音階では、17番目は⁠ 81 / 80 ⁠ピタゴラス音律の5倍狭い。この差は 21.506セントに相当し、シントニックコンマと呼ばれる。これは、5 度がピタゴラス音律の 5 度よりも 4 分の 1 狭いことを意味します。つまり、このシステムでは 5 度を次の比率で調律します。

${\displaystyle 5^{1/4}\approx 1.495349\approx {\frac {\ 643\ }{430}}\ }$

これは対数セントスケールで次のように 表される。

${\displaystyle 1200\ \log _{2}{5^{1/4}}\ {\mathsf {セント}}\approx 696.578\ {\mathsf {セント}}\ ,}$

これは、正しく調律された5度音程の比率よりもわずかに小さい（または平坦）です。

${\displaystyle {\frac {3}{2}}=1.5}$

これは対数セントスケールで次のように表される。

${\displaystyle 1200\log _{2}{\left({\frac {3}{2}}\right)}{\text{ セント}}\approx 701.955{\text{ セント}}~.}$

これら 2 つのサイズの違いは、同調コンマの 4 分の 1 です。

${\displaystyle \approx 701.955-696.578\ {\mathsf {セント}}\approx 5.377\ {\mathsf {セント}}\approx {\frac {\ 21.506\ {\mathsf {セント}}\ }{4}}~.}$

要するに、このシステムは長三度を5:4の正確な比率に調整します（つまり、たとえば、A4_が440Hzに調整されている 場合、C^♯5
_​このシステムは、全音（すなわち長二度）のほとんどが√ 5 :2の比率で、半音（すなわち全音階の半音または短二度）のほとんどが( 8 : 5 ) ^{5 ⁄ 4 の}比率で調律されています。これは、第 17 シントニック コンマをピタゴラスの 17 度よりも低く調律することで実現されます。つまり、第 5 シントニック コンマの 4 分の 1 を、正確な比率 3 : 2 よりも低く調律することになります。このため、このシステムは4 分の 1 コンマ ミーントーンと呼ばれます。

半音階全体（そのサブセットは全音階）は、与えられた基本音から始めて、その周波数を 1 度またはそれ以上の 5 度ずつ増減することで構築できます。この方法は、上で説明したように調律される 5 度の大きさを除いて、ピタゴラス音律と同じです。ただし、ミーントーン音律（ 12 TETを除く）は 12 音のキーボードには収まりきらず、4 分音符ミーントーンと同様に、ほとんどは無限の数の音符を必要とします（ただし、1 オクターブあたり 31 個のキーを持つキーボードに収まる、4 分音符に非常に近い近似値があります）。 12 音のキーボードにチューニングすると、多くの音符を省略する必要があり、欠落した音符を覆い隠すためにチューニングを「調整」しない限り、キーボード奏者が、実際に適切な 4 分音符 (存在すれば協和音に聞こえる) を、利用可能な最も近いピッチの音符 (常に間違ったピッチ)に置き換えると、協和音の4 分音符 の代わりに不協和音が作成されます。

以下の構成表は、D ベースの音階で、 D (基本音)を基準として音のピッチがどのように得られるかを示しています(詳細な説明については、ピタゴラス音律を参照してください)。この表では、基本オクターブの各音について、D (基本音) からの音程の慣例名、その周波数比を計算する式、およびその周波数比とセント単位のサイズのおおよその値を示しています。

式では、x   =   ⁴ √ 5   = 5 ^{1 ⁄ 4 は}平均律完全五度の大きさであり、比率x  : 1または1 : x は上昇または下降平均律完全五度（つまり、周波数がxだけ増加または減少）を表し    、2 : 1または1 : 2 は上昇または下降オクターブを表します。      

ピタゴラス音律と同様に、この方法では 13 の音程が生成され、A ^♭と G ^♯はほぼ 1/4 音離れています。12 音階を構築するには、通常、A ^♭が任意に破棄されます。

上の表は、Dベースの5度スタック（つまり、すべての比率がDを基準にして表され、Dの比率が⁠1/1⁠）。ベースノートのDを中心としているので、このスタックはDベースの対称型と呼ぶことができます。

A ^♭ –E ^♭ –B ^♭ –F–C–G– D –A–E–B–F ^♯ –C ^♯ –G ^♯

完全五度を4√5とすると、^この音階の両端は周波数比で125離れており、ギャップが生じます。125/128⁠ (約 2/5 半音) の差は、同じオクターブに正規化されている場合に両端の間に生じます。最後のステップ (ここでは G ^{♯ ) を A ♭}のコピーに置き換えてG ^♯と同じオクターブにすると、 C ^♯ –G ^♯の音程がウルフ 5 度と呼ばれる不協和音に増加します。(ミーントーン システムでは、実際の正しい音が演奏されたときにウルフ 5 度音程は発生しないことに注意してください。ウルフ 5 度不協和音は常に、必要なシャープを上のフラットで単純に置き換えようとした結果、またはその逆の結果です。)

5 度音程の大きさを除けば、これはピタゴラス音律で伝統的に使用されているスタックと同一です。著者の中には、A ^♭からG ^♯までの範囲の C ベースの 5 度音程スタックを示すことを好んでいる人もいます。C が中心にないため、このスタックはC ベースの非対称と呼ばれます。

A ^♭ –E ^♭ –B ^♭ –F– C –G–D–A–E–B–F ^♯ –C ^♯ –G ^♯

このスタックの境界 (A ^♭と G ^♯ ) は D ベースの対称スタックの境界と同一なので、このスタックによって生成される 12 音階の音名も同一です。唯一の違いは、構築表には D ではなく C からの音程が示されていることです。12 音階からは 144 の音程を形成できることに注目してください (下の表を参照)。これには C、D、およびその他の音の音程が含まれます。ただし、構築表にはそのうちの 12 のみが表示され、この場合は C から始まる音程です。これは同時に、C ベースの非対称スタックの主な利点であり、主な欠点でもあります。C からの音程はよく使用されますが、C はこのスタックの中心ではないため、残念ながら短 6 度(C から A ^♭ )ではなく増 5 度(つまり、C から G ^♯までの音程) が含まれます。この増五度は、対応する純正な音程である8 : 5または 813.7 セントから 41.1 セント (比率 128 : 125 のディエシス、シントニック コンマの ほぼ 2 倍) ずれているため、極めて不協和なウルフ音程となります。

逆に、上の表に示されている D からの音程は、D がスタックの中央にあるため、ウルフ音程を含まず、不純な増五度ではなく、純粋な短六度 (D から B ^♭まで) を含みます。上記の 144 の音程セットでは、純粋な短六度が不純な増五度よりも頻繁に見られることに注意してください (下の表を参照)。これが、構築表で不純な増五度を示すことが望ましくない理由の 1 つです。上記の欠点を回避するために、 C ベースの対称スタックを使用することもできます。

G ^♭ –D ^♭ –A ^♭ –E ^♭ –B ^♭ –F– C –G–D–A–E–B–F ^♯

このスタックでは、 G ^♭と F ^{♯ は}同様の周波数を持ち、 G ♭は通常は破棄されます。また、 C と D の間の音はC ^♯ではなくD ^♭と呼ばれ、 G と A の間の音はG ^♯ではなくA ^♭と呼ばれます。 C ベースの対称スタックはほとんど使用されません。これは、以前使用されていたピタゴラス音律に慣れているミュージシャンが予想する G ^♯ –E ♭ではなく、 F ^♯ –D ^♭という珍しい位置でウルフ5度を生成するためと考えられます。

四分音階の純正律バージョンは、ヨハン・キルンベルガーの12-TETの有理バージョンと同じ方法で構築できます。5 ^{1 ⁄ 8}  · 35 ^{1 ⁄ 3}の値は4 に非常に近いため、7 限界音程 6144 : 6125 (5 限界ディエシス128 : 125 と7 限界ディエシス49 : 48 の差) は 5.362 セントに等しく、四分音階 ( ⁠81/80⁠） 5.377 セントの^{1 ⁄ 4}です。したがって、完全五度の比率は 6125 : 4096 で、これは 3 つの正確な長三度と 2 つの七分音符の長二度との差です。このような五度が 4 つあると、比率 5 : 1 をわずか 0.058 セント上回ります。ウルフ五度は 49 : 32 で、七分音符の短七度と七分音符の長二度との差です。

上で述べたように、四分音律では、

• 半音の比率はS = 8 : 5 ^{5 ⁄ 4}、
• 音の比率はT = √ 5  : 2です。

全音階の音は半音のペアに分けることができます。ただし、S ^{2 は}Tと等しくないため、各音は不等な半音のペアSとXで構成されている必要があります。

${\displaystyle S\cdot X=T.}$

したがって、

${\displaystyle X={\frac {T}{S}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}{\Bigg /}{\frac {8}{5^{5/4}}}={\frac {5^{1/2}\cdot 5^{5/4}}{8\cdot 2}}={\frac {5^{7/4}}{16}}.}$

Sは 117.1 セント、Xは 76.0 セントであることに注目してください。つまり、 Sは大きい半音、Xは小さい半音です。Sは一般に全音階半音(または短二度) と呼ばれ、X は半音階半音(または増ユニゾン)と呼ばれます。

SとXのサイズは、純正律の比率 18 : 17 の 99.0 セントと比較できます。S は+18.2 セント、X は-22.9 セントずれています。これら 2 つのずれは、シントニック コンマ (21.5 セント) に匹敵します。このシステムは、ピタゴラスの長 3 度からシントニック コンマを除外するように設計されています。ただし、純正律の比率 18 : 17 でも著しく不協和音に聞こえるため、これらのずれは半音単位で許容できるものと見なされます。

四分音符のミーントーンでは、短二度は許容されると考えられていますが、増一度は不協和音に聞こえるため避けるべきです。

上記の表には、D からの音程のみが表示されています。ただし、上記の 12 個の音符のそれぞれから音程を形成することもできます。したがって、各音程タイプに対して 12 個の音程を定義できます(12 個のユニゾン、12 個の半音、2 個の半音で構成される 12 個の音程、3 個の半音で構成される 12 個の音程など)。

上で説明したように、12 個の名目上の「五度」のうちの 1 つ (ウルフ五度) は、他の 11 個とはサイズが異なります。同様の理由で、他の音程タイプ (ユニゾンとオクターブを除く) は、12 個の音しか許さないオクターブに収まるように切り詰められた場合、四分音符平均律で 2 つの異なるサイズになります (実際の四分音符平均律では、オクターブあたり約 31 個の音が必要です)。これは、オクターブあたりの明瞭なピッチが十分でないキーボードに、多数の音符を含む音律を収めようとした場合に発生する代償です。その結果、「偽の」音符が生成されます。たとえば、いわゆる「五度」の 1 つは五度ではなく、実際には四分音符平均律の減六度であり、そのピッチは必要な五度の代わりとしては不適切です。

表は音符のおおよその大きさをセントで示しています。本物の音符は薄い灰色の背景に、調子外れの代用音符は赤またはオレンジの背景に表示されています。本物の音程の名前は、無地の灰色の背景の列の上部または下部に表示されています。調子の悪い代用音程の名前は、反対側の端に色付きの背景に印刷されています。音程の名前は、標準的な短縮形式で示されています。^[a]たとえば、D から A までの音程(完全五度、P5) の大きさは、 Dとラベル付けされた行の 7 番目の列にあります。厳密に正確な(または純粋な) 音程は太字で示されています。ウルフ音程は赤で強調表示されています。^[b]

驚くべきことに、このチューニング システムは純粋に協和な長 3 度を生成するように設計されていますが、12 TETの 3 度音程のうち、表に示されている切り捨てられた 4 分音符に純粋に一致するのは 8 つだけです(5 : 4または約 386.3 セント)。つまり、3 度の音程を開始または終了するために必要な実際の 4 分音符が、使用可能な 12 のピッチの中になく、近くにある使用可能な間違った音符で置き換えると、不協和な 3 度になります。

音階全体で音程のサイズが異なる理由は、目的の音程の本物の 4 分音符の代わりに、音階の別の用途に合わせてピッチが正しく調整された代替音符を使用すると、音程がずれてしまうためです。完全に実装された 4 分音符スケール (1 オクターブあたり 12 個ではなく約31 個のキーが必要) の実際の音符は、すべての色付けされていない音程と同様に協和音になります。不協和音は、正しい 4 分音符を、12 音キーボードの同じキーにたまたま割り当てられた間違った音符に置き換えた結果です。前述のように、12 音の構成によって定義された周波数によって、2 種類の半音 (隣接する音符間の音程) が決定されます。

• 短2度（m2）は、全音階の半音とも呼ばれ、大きさは

${\displaystyle S\ ({\mathsf {\ or\ }}S_{1})={\frac {\ 8\ }{~5^{5/4}}}\approx \ }$117.1セント。

（例えば、DとE ♭の間）

• 増音ユニゾン（A1）は半音とも呼ばれ、大きさは

${\displaystyle X\ ({\mathsf {\ or\ }}S_{2})={\frac {~5^{7/4}}{\ 16\ }}\approx \ }$76.0セント。

（例えばCとC ♯の間）

逆に、平均律の半音階では、定義により12の音程は等間隔で、すべての半音の大きさは正確に

${\displaystyle S_{\mathsf {ET}}={\sqrt[{12}]{2\ }}=100{\mathsf {\ cents.}}}$

その結果、任意のタイプのすべての音程は同じサイズになります (たとえば、すべての長 3 度は同じサイズ、すべての 5 度は同じサイズなど)。この場合、当然ユニゾンとオクターブを除いて、どれも正しく調律されておらず、完全に協和音になっていません。

他のチューニング システムとの比較については、この表も参照してください。

定義により、四分音符法では、いわゆる「完全」五度（表の P5）の大きさは約 696.6 セント（700 − εセント、ε ≈ 3.422 セント）です。12の五度の平均の大きさは正確に 700 セント（平均律の場合）に等しくなければならないため、もう 1 つは 700 + 11 ε セント、つまり約 737.6 セント（ウルフ五度の 1 つ）の大きさにならなければなりません。表に示されているように、後者の音程は五度の代用として使用されていますが、実際の音程は実際には減六度（d6）であり、当然、それが置き換える近くの異なる五度とは調子が合いません。同様に、

• 10 長二度( M2 ) は約 193.2 セント( 200 − 2 ε )、 2 短三度( d3 ) は約 234.2 セント( 200 + 10 ε ) で、平均は 200 セントです。
• 9つ の短3度 （m3）は≈ 310.3セント（300 + 3 ε）、 3つ の増2度（A2）は≈ 269.2セント（300 − 9 ε）であり、平均は300セントです。
• 8つ の長3度 （M3）は≈ 386.3セント（400 − 4 ε）、 4つの 短4度（d4）は≈ 427.4セント（400 + 8 ε）で、平均は400セントです。
• 7つの全音階半音（m2）は約117.1セント（100 + 5 ε）、 5つの半音階半音（A1）は約76.0セント（100 − 7 ε）であり、その平均は100セントです。

つまり、ユニゾンとオクターブを除くすべての音程タイプで同様の幅の違いが見られ、幅の過剰と不足はすべて、5度螺旋を円に閉じるために必要な四分音符中全音の5度と平均5度との差である εの倍数です。

明らかな結果として、各増音程または減音程は、その異名同音の音程より正確に12 εセント(≈ 41.1 セント) 広いか狭いことに注意してください。たとえば、減六度 (またはウルフ五度) は各完全五度より12 εセント広く、各増二度は各短三度より12 εセント狭いです。この12 εセントの大きさの音程は、ディエシス、または減二度として知られています。これは、 ε がディエシスの 12 分の 1 としても定義できること を意味します。

長三和音は、ルート音からの 2 つの音程、つまり長三度(4 つの半音にわたる音程) と完全五度(7 つの半音) によって定義できます。短三和音も同様に、短三度(3 つの半音) と完全五度 (7 つの半音) によって定義できます。

上に示したように、半音階には 7 つの半音にまたがる 12 の音程があります。このうち 11 は完全五度で、12 番目は減六度です。これらは同じ数の半音にまたがるため、完全五度と減六度は異名同音であると見なされます。均等に調律された半音階では、完全五度と減六度はまったく同じサイズになります。4 つの半音 (長三度と減四度)、または 3 つの半音 (短三度と増二度) にまたがる異名同音のすべての音程についても同じことが言えます。ただし、中全音律ではこれは当てはまりません。この調律システムでは、異名同音の音程は異なるサイズになる場合があり、一部の音程は正しく調律された理想的な比率から著しく逸脱する場合があります。前のセクションで説明したように、逸脱が大きすぎる場合、指定された音程は単独でもコードでも使用できません。

次の表は、長三和音と短三和音を形成するために使用される、上記の 3 つの音程タイプのみに焦点を当てています。各行には、同じルート音を持つ異なるタイプの 3 つの音程が表示されます。各音程は、一対の音符で指定されます。各音程の右側には、音程比の式が示されています。減四度、減六度、増二度の音程はウルフ音程と見なすことができ、背景は淡い赤に設定されています。SとXは、上記の 2 種類の半音 (短二度と増一音) の比を示します。

まず、右の最後の2列を見てください。1つを除く7つの半音間隔の比率は

${\displaystyle S^{4}\cdot X^{3}\approx 1.4953\approx 696.6{\text{ cents}}}$

これはちょうど3:2の702.0セントから-5.4セントずれている。5セントは小さく許容範囲である 。一方、G ^♯からE ^{♭への減6度は}

${\displaystyle S^{5}\cdot X^{2}\approx 1.5312\approx 737.6{\text{ cents}}}$

これは完全五度から +35.7 セント離れています。35 セントは許容範囲を超えています。

真ん中の2つの列を見てください。12の4半音間隔のうち8つは、

${\displaystyle S^{2}\cdot X^{2}=1.25\approx 386.3{\text{ cents}}}$

これはちょうど5:4です。一方、C ♯、F ♯、G ♯、Bをルートとする4つの減4度音の比率は

${\displaystyle S^{3}\cdot X=1.28\approx 427.4{\text{ cents}}}$

これは、正確な長三度から +41.1 セントずれています。これもまた、ひどく調子が狂って聞こえます。

長三和音は、長三度と完全五度の両方から構成されます。2 つの音程のいずれかがウルフ音程 (P5 の代わりに d6、または M3 の代わりに d4) に置き換えられた場合、その三和音は受け入れられません。したがって、C ♯、F ♯、G ♯、B をルート音とする長三和音は、基本音が C であるミーントーン音階では使用されません。

左の最初の2列を見てください。12の3半音間隔のうち9つは、

${\displaystyle S^{2}\cdot X\approx 1.1963\approx 310.3{\text{ cents}}}$

これは、ちょうど6:5の315.6セントから-5.4セントずれている。5セントは許容範囲である。一方、E ^♭、F、B ^♭のルート音を持つ3つの増2度音の比率は

${\displaystyle S\cdot X^{2}\approx 1.1682\approx 269.2{\text{ cents}}}$

これは、正確な短三度から -46.4 セントずれています。しかし、7 : 6 の七分音符の短三度266.9 セントとほぼ一致しており、+2.3 セントずれています。これらの増二度は、それ自体では十分に協和的ですが、完全五度と一緒に演奏すると「エキゾチック」または非典型的な音になります。

短三和音は短三度と短五度の両方から構成されます。2 つの音程のいずれかが異名同音の音程 (P5 の代わりに d6、または m3 の代わりに A2) に置き換えられると、三和音はうまく聞こえなくなります。したがって、ルート音が E ^♭、F、G ^♯、B ^♭の短三和音は、上記で定義したミーントーン スケールでは使用されません。

どのような三和音を実現できるかという制限は、標準的なピアノの鍵盤に合わせるために、1オクターブあたり12音しか許さないという選択によって決まることに注意すべきである。これはミーントーン調律自体の制限ではなく、シャープがそれより上の音のフラットと異なるという事実によるものであり、標準的な12音の鍵盤は、それらが同じであるべきだという誤った仮定に基づいて構築されている。上で述べたように、G ^{♯はA ♭}とは異なるピッチであり、四分音符ミーントーンの他のすべての「異名同音」のシャープとフラットのペアも同様である。それぞれがキーボード上の別のキーを必要とし、どちらも他方の代わりにはならない。これは、実際には、12音平均律（すべての平均律の中で唯一）とすべてのタイプのウェル音律を除く、他のすべての調律システムの特性である。限られた和音オプションはミーントーン調律の欠点ではなく、一部の現代の平均律楽器で利用できるよりも多くの音をオクターブで必要とする結果である。^[d]

上で述べたように、12音に短縮された四分音律では、

• より大きな（全音階の）半音の比率はS = 8 : 5 ^{5 ⁄ 4}であり、
• 半音の比率はX = 5 ^{7 ⁄ 4}  : 16 です。
• ほとんどの全音の比はT = √ 5  : 2であり、
• ほとんどの五度音の比はP = ⁴ √ 5です。

計算により、ほとんどの全音（つまり長二度音）は 1 つの大きい半音と 1 つの小さい半音で構成されていることが確認できます。

${\displaystyle T=S\cdot X={\frac {8}{5^{5/4}}}\cdot {\frac {5^{7/4}}{16}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}.}$

同様に、5度音は通常、3つの音と1つの大きい半音で構成されます。

${\displaystyle P=T^{3}\cdot S={\frac {5^{3/2}}{2^{3}}}\cdot {\frac {8}{5^{5/4}}}={\sqrt[{4}]{5}},}$

これは 4 つの大きい半音と 3 つの小さい半音に相当します。

${\displaystyle P=T^{3}\cdot S=S^{4}\cdot X^{3}.}$

全音階は、基本音から始めて、中音T を掛けて1 つの大きなステップで上昇するか、半音Sを掛けて小さなステップで上昇することで構築できます。

CDEFGABC′ D′
‖----|----|----|----‖----|----|----‖----|
  T     T     S     T     T T     S     T    

基本音 C に対する結果として得られる音程のサイズは、次の表に示されています。繰り返しパターンを強調するために、式では記号P ≡ T ³ S を 使用して完全五度(ペンタ)を表します。

トニックメジャーコードを弾く^ⓘ 長三度を弾く^ⓘ 完全五度を弾く^ⓘ

四分音階のミーントーン半音階の構築は、12 個の半音のシーケンスを積み重ねることによって進めることができます。各半音は、より長い全音階( S )またはより短い半音階( Χ ) のいずれかになります。

CC ♯    DE ♭    EFF ♯    GG ♯    AB ♭    B C’ C’ ♯
‖----|----|----|----|----|----|----‖----|----|---- |----|----‖----|
  Χ     S     S     Χ     S     Χ     S     Χ     S     S     Χ     S     Χ

このスケールは、前の表に示した全音階の拡張であることに注意してください。追加されているのは、C ♯、E ♭、F ♯、G ♯、B ♭（ペンタトニック スケール）の 5 つの音だけです。

上で説明したように、同一の音階は元々、半音のシーケンスではなく、E ♭（Dの5度下）からG♯ （Dの6度上）までの調律された5度シーケンスを使用して定義および作成されました。このより一般的なアプローチは、 Dベースの ピタゴラス音律システムに似ており、 ΧとSの半音が上記の特定の、一見恣意的なシーケンスで配置されている理由を 説明しています。

ベース音 C に対する音程の大きさは、次の表に示されています。周波数比は、式で示されているように計算されます。デルタは、ミーントーンと12 TETのセントの差です。「⁠1/ 4 ⁠ -c"は、ミーントーンとピタゴラス音律の 四分音符の差です。Χ ≡ ⁠に注意してください。 T/ S ⁠ 、 したがって Χ S = Tとなります 。上の表に現れるΧのほとんどは、STになる。

1/4コンマ・ミーントーンの完全5度をオクターブの分数で表すと、⁠1/4⁠  log _{2 5。log 2 5 は}無理数 な ので、ミーントーンの5度音程の連鎖は決して閉じません（つまり、オクターブの連鎖と等しくなりません）。ただし、この無理分数の連分数近似により、閉じるオクターブの等分割を見つけることができます。これらの分母は、1、2、5、7、12、19、31、174、205、789、...です。このことから、31 個の 4 分音符ミーントーン 5 度音程が閉じることに近く、逆に 31 個の平均律が4 分音符ミーントーンの良い近似値を表すことがわかります。

• Xenharmonic Wikiの「1/4コンマ・ミーントーン」。