コンマ（音楽）

音楽理論において、コンマとは、 1つの音を2つの異なる方法で調律した際に生じる非常に小さな音程のことです。 ^[1]厳密に言えば、コンマには2種類しかありません。シントニック・コンマ（「正確な長3度と4つの完全5度から2オクターブ少ない差」）とピタゴラス・コンマ（「12の5度と7オクターブの差」）です。^[2]修飾語なしで使用されているコンマという言葉は、シントニック・コンマを指し、^[3]たとえば、Dを基準としたピタゴラス音律システムを使用して調律されたF ♯と、Dを基準とした1/4コンマ・ミーントーン音律システムを使用して調律された別のF ♯との差として定義できます。81:80の比率で区切られた音程は、12音の西洋半音階ではピタゴラス音程と5限界音程を区別しないため、同じ音とみなされます。その他の音程は、調律システムの異名同音のためコンマとみなされます。たとえば、53TETでは、B ♭と A ♯ は、 7 音階離れていますが、どちらも同じ音程で近似されます。

この文脈で翻訳すると、「コンマ」は「髪の毛一本分」という意味になり、「髪の毛一本分だけ」という意味になります^[要出典]。「コンマ」という単語はラテン語を経由してギリシャ語の κόμμαから来ており、これはより古い * κοπ-μα 、「切断の結果または効果」から来ています。より完全な語源は、ウィクショナリーの κόμμα (古代ギリシャ語) の記事に記載されています。

同じ調律システム内で、異名同音の2 つの音 (G ♯と A ♭など) は周波数がわずかに異なる場合があり、それらの音程はコンマになります。たとえば、5 限界調律で作成された拡張音階では、 C _5より長 3 度下に調律されたA ♭_{と、 C 4}より長 3 度上に 2 つ調律されたG ♯ は、平均律の場合のようにまったく同じ音ではありません。これらの音の間隔、つまりディエシスは、簡単に聞き取れるコンマです (そのサイズは半音の 40% 以上です)。

コンマは、2 つの半音間のサイズの差として定義されることが多い。^[要出典]各平均音律の調律システムは、 2 種類の半音 (全音階と半音階) によって特徴付けられる12 音階を生成するため、コンマのサイズはそれぞれ異なります。ピタゴラス音律でも同様です。

純正律では、2 種類以上の半音が生成されます。したがって、単一の調律システムが複数の異なるコンマによって特徴付けられる場合があります。たとえば、一般的に使用される5 限界調律では、4 種類の半音と4 つのコンマを持つ 12 音階が生成されます。

カンマの大きさは、通常、セント（対数スケールで1オクターブの1 ⁄ 1200分数）で表現され、比較されます。

下の「半音間の差」という列では、 min 2は短2度（全音階半音）、^aug 1は増ユニゾン（半音階半音）、S ₁、S ₂、S ₃、S ₄はここで定義されている半音です。 「音程1」および「音程2」という列では、すべての音程が純正律 に調律されているものと想定されています。ピタゴラスコンマ（κ _𝜋）とシントニックコンマ（κ _S）は、他のコンマを定義する基準として使用できる基本的な音程であることに注意してください。 たとえば、それらの差は、schismaと呼ばれる小さなコンマです。分裂は、その大きさが音間の最小の可聴差（約 6 セント、JND とも呼ばれる）よりも狭いため、多くの状況では聞き取れません。

微分音学者によって、他にも多くのコンマが列挙され、命名されてきた。^[7]

シントニック・コンマは音楽の歴史において重要な役割を果たしている。これは、ピタゴラス音律で生成された音の一部をフラットまたはシャープにして、短三度と長三度を正確に生成する量である。ピタゴラス音律では、高度に協和的な音程は完全五度とその反転である完全四度だけであった。ピタゴラスの長三度 (81:64) と短三度 (32:27) は不協和であり、このため音楽家は三和音や和音を自由に使用できず、比較的単純なテクスチャの音楽を書かざるを得なかった。中世後期の音楽家は、一部の音のピッチをわずかに和らげることで、ピタゴラスの三度を協和にできることを認識していた。たとえば、E の周波数をシントニック・コンマ (81:80) だけ下げると、C–E (長三度) と E–G (短三度) は次のように正確になる。C–E は、次の正確な比率 でフラットになる。

${\displaystyle {\frac {\ 81\ }{64}}\cdot {\frac {\ 80\ }{81}}={\frac {\ 1\cdot 5\ }{4\cdot 1}}={\frac {\ 5\ }{4}}}$

そして同時にE-Gは、

${\displaystyle {\frac {32}{\ 27\ }}\cdot {\frac {81}{\ 80\ }}={\frac {2\cdot 3}{\ 1\cdot 5\ }}={\frac {6}{\ 5\ }}}$

これにより、クォーターコンマ・ミーントーンと呼ばれる新しい調律システムが誕生し、ポリフォニック音楽や伴奏付きのメロディーなど、複雑なテクスチャーを持つ音楽の完全な発展が可能になりました。それ以来、他の調律システムが開発され、シントニック・コンマはミーントーン音律を含むシントニック音律ファミリー全体で完全五度を調律するための基準値として使用されるようになりました。

1/4コンマ・ミーントーン、および5度を700セントより小さいサイズに調律するあらゆる種類のミーントーン音律システムでは、コンマは減2度であり、これは次の差として同等に定義できます。

• 短二度と増音ユニゾン（全音階と半音階とも呼ばれる）、または
• 長二度と減三度、または
• 短三度と増二度、または
• 長三度と減四度、または
• 完全4度と増3度、または
• 増四度と減五度、または
• 完全五度と減六度、または
• 短6度と増5度、または
• 長六度と減七度、または
• 短七度と増六度、または
• 長七度と減八度。

ピタゴラス音律、および5度を700セントより大きいサイズに調律するあらゆる種類の平均律調律システム（例： 1 /12⁠コンマミーントーン) では、コンマは減二度と反対であり、したがって上記の違いの反対です。より正確には、これらのチューニングシステムでは、減二度は下降する音程であり、コンマはその上昇する反対です。たとえば、ピタゴラスコンマ (531441:524288、または約 23.5 セント) は、半音と全音の半音の差として計算できますが、これはピタゴラス減二度 (524288:531441、または約 -23.5 セント) の反対です。

上記の各調律システムでは、上記の違いはすべて同じ大きさです。たとえば、ピタゴラス調律では、これらはすべてピタゴラスコンマの反対に等しく、4分音符コンマミーントーンでは、これらはすべてディエシスに等しくなります。

2000年から2004年にかけて、マルク・サバトとヴォルフガング・フォン・シュヴァイニッツはベルリンで協力し、五線譜で音高を正確に示す方法を開発しました。この方法は、拡張ヘルムホルツ・エリスJI音高記法と呼ばれました。^[8]サバトとシュヴァイニッツは、「従来の」フラット、ナチュラル、シャープをピタゴラスの完全五度数列と見なします。したがって、Fで始まる完全五度数列はCGDAEBF ♯と続きます。ミュージシャンにとっての利点は、基本的な4度と5度の従来の読み方が慣れていることです。このようなアプローチは、ダニエル・ジェームズ・ウルフとジョー・モンゾによっても提唱されており、モンゾはこれを頭字語HEWM (Helmholtz-Ellis-Wolf-Monzo) で呼んでいます。^[9]サバト＝シュヴァイニッツのデザインでは、シントニック・コンマはフラット、ナチュラル、シャープの記号に矢印を付けて示し、セプティマル・コンマはジュゼッペ・タルティーニの記号を使用し、小数点以下の四分音は一般的な四分音記号（単一の十字と逆フラット）を使用して示します。より高いプライムには、追加の記号が設計されています。音高を素早く推定できるように、セント表示を追加することができます（それぞれの臨時記号の下方への下方偏差と上方への上方偏差）。使用される慣例によれば、書かれたセントは、フラット、ナチュラル、シャープの記号と音名によって暗示される調律されたピッチを参照します。このような表記の大きな利点の1つは、自然倍音列を正確に表記できることです。表記の完全な凡例とフォント（サンプルを参照）はオープンソースであり、Plainsound Music Editionから入手できます。^{[全文引用が必要]}したがって、ピタゴラス音階はCDEFGABC、ジャスト音階はCDEです。ＦＧＡBC.​

作曲家のベン・ジョンストンは、シントニック・コンマで音符が下がることを示すために「−」を臨時記号として使用し、シントニック・コンマで音符が上がることを示すために「+」を使用しています。^[10]しかし、ジョンストンの「基本音階」（単純な音階ABCDEFG）は純正律に調律されているため、すでにシントニック・コンマが含まれています。したがって、ピタゴラス音階はCD E+ FG A+ B+ Cであり、純正音階はCDEFGABです。

コンマは音楽の音律を記述する際によく使用され、その調律システムによって除去される音程の区別を記述します。コンマは、2 つの音程の間の距離と見なすことができます。調律システムで特定のコンマが除去されると、その調律で 2 つの音程を区別できなくなります。たとえば、全音階の半音と半音階の半音の差は、ディエシスと呼ばれます。広く使用されている 12 音平均律では、ディエシスが 除去されるため、2 つの異なるタイプの半音は区別されません。一方、19 音平均律では、このコンマが除去されないため、2 つの半音が区別されます。

例:

• 12 TET は、ディエシスやその他のさまざまなコンマを和らげます。
• 19 TET は、七分音符のディエシスとシントニックコンマを和らげますが、ディエシスを和らげません。
• 22 TET はArchytasの7 部コンマを和らげますが、7 部ディエシスや同調コンマを和らげません。
• 31 TETは、シントニックコンマと、比率によって定義されるコンマを調整します。 99 /98⁠、しかし、Archytas の diesis、septimal diesis、または septimal comma は和らげません。

次の表は、さまざまなチューニング システムでさまざまな正確な音程に対応するステップ数を示しています。ゼロは、その特定の平均律では音程がコンマ (つまり、調整されている) であることを示します。^{[説明が必要]}最初の列の周波数比はすべて、Wikipedia の記事にリンクされています。

コンマは、選択された音程を「完全に一周」した後に残る分数音程と考えることもできます。繰り返される音程は相対的なピッチですべて同じサイズであり、生成されるすべての音は、開始音程の周囲のオクターブまで全オクターブ下げられたり上げられたりします。たとえば、ピタゴラスのコンマは、12 の正確な 5 度を一周した後に得られる A ♭ と G ♯ の差です 。A ♭ CEG ♯などの3つの正確な長 3 度を一周すると、小さなディエシス⁠が生成されます。  128 /125⁠ (41.1 セント) の G ♯と A ♭の間。G  ♯ BDFA ♭のような 4 つの短 3 度の円は、⁠の音程を生み出します。 648 /625⁠ A ♭とG♯の間など。音律の興味深い特性は、円を形成する音程の調律がどうであれ、この差が残ることです。^[11] この意味で、コンマや同様の微小な音程は、調律がどうであれ、完全に調律されることはありません。

コンマ列は、増加する素数限界でのコンマの一意の列を通じて音楽の音律を定義します。^[12] コンマ列の最初のコンマはq限界にあります。ここで、qはn番目の奇数素数（素数 2 はオクターブを表すため無視されます）、nは生成元の数です。後続のコンマは素数限界にあり、それぞれが最後のコンマの上にある 次の素数です。

また、コンマと呼ばれる間隔もいくつかありますが、これらは上記のような有理数分数ではなく、有理数の近似値であるため厳密にはコンマではありません。これには、ホルドリアンのコンマとメルカトルのコンマ^{[13] 、および}53 TET のピッチ間のステップサイズが含まれます。

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