ボーレン・ピアーススケール

ボーレン・ピアース音階（BP音階）は、1970年代に初めて説明された音楽の調律と音階であり、西洋音楽やその他の音楽で一般的なオクターブを繰り返す音階、^[1]具体的には平均律の全音階に代わるものです。

3:1 の音程 (しばしば三分音階という新しい名前で呼ばれる) は、基本的な倍音比として機能し、全音階の 2:1 (オクターブ) を完全 12 度 (完全 5 度より 1 オクターブ高い) に置き換えます。BP スケールの一部であるすべてのピッチでは、1 つ以上の三分音階高いまたは低いすべてのピッチもシステムの一部であり、同等であると見なされます。

BP スケールは、平均律(最も一般的な形式) または正確に調律されたバージョンの 13 のステップに三重音を分割します。オクターブを繰り返すスケールと比較すると、BP スケールの音程は特定の種類の音響スペクトルとより調和します。^[^{引用が必要}^]

この音階はハインツ・ボーレン^[2] 、キース・ファン・プロイエン^[3]、ジョン・R・ピアースによって独立して記述された。マックス・マシューズらとともに1984年に発見を発表したピアース^{[4]は、ボーレンの以前の発表を知った後、}ピアース3579b音階とその半音階変種をボーレン・ピアース音階と改名した。ボーレンは、音程と和音のゲシュタルト印象に対する組み合わせ音の影響を考慮して、同じ音階を提案していた。^[5]

BP スケールのピッチクラス間の音程は奇数の整数周波数比に基づいていますが、これは倍音列に見られる奇数と偶数の両方の比率を採用する全音階の音程とは対照的です。具体的には、BP スケールのステップは、3、5、7 を因数とする整数の比率に基づいています。したがって、スケールには、奇数倍音 3:5:7: 9 (演奏^ⓘ ) に基づく協和音ハーモニーが含まれます。比率 3:5:7 (演奏^ⓘ⁾によって形成されるコードは、全音階 (3:5:7 = 1: ⁠1+2/3⁠ : ⁠2+1/3⁠そして 4:5:6 = 2: ⁠2+1/2⁠ :3 = 1: ⁠1+1/4⁠ : ⁠1+1/2⁠）。

コードと変調

3:5:7のイントネーション感度パターンは4:5:6（純粋な長音）に似ており、短音よりも類似しています。^[6]この類似性は、私たちの耳が3:5:7を子音として認識することを示唆しています。

3:5:7 のコードは BP スケールの長三和音と考えることができる。これは、下側に6 つの平均律 BP半音( 1 つの半音を演奏^ⓘ )、上に 4 つの平均律半音(半音 0、6、10、 ^ⓘを演奏) の音程で近似される。短三和音は、これに対応して上に 6 つの半音、下に 4 つの半音(0、4、10、 ^{ⓘ を}演奏) である。5:7:9 は長三和音の最初の転回形(0、4、7、ⓘ を ^演奏)である。^[7]

12人の音楽家と12人の訓練を受けていない聴衆を対象に、半音階の13音を任意に組み合わせて作られた半音三和音を調べたところ、半音0、1、2が最も不協和な和音（^ⓘで演奏）であることが判明したが、訓練を受けた被験者は0、11、13（^ⓘで演奏）が最も協和的であると判断し（オクターブ下がった長三和音のように聞こえるため）、訓練を受けていない被験者は0、7、10（^ⓘで演奏）が最も協和的であると判断された。^[8]

ピアス3579b音階の音は、音階IIを除いてすべて長三和音と短三和音である。可能なキーは13個ある。単一の音を変えることで転調が可能。音IIを半音上げると、トニックは音III（半音3）まで上がるため、ドミナントとみなすことができる。VIII （半音10）はサブドミナントの類似物と考えることができる。^[7]

音色と三重奏

3:1 は、全音階の 2:1 (オクターブ)に代わる基本的な倍音比として機能します。 (再生^ⓘ ) この音程は、全音階の命名法では完全 12 度(オクターブ下げると完全 5 度) ですが、この用語はBP スケールでは使用されないステップサイズと機能に基づいているため、BP のコンテキストでは、疑似オクターブとしての役割を指し、オクターブと区別するために接頭辞 "tri-" (3) を使用する、新しい名前tritave (再生^ⓘ ) で呼ばれることがよくあります。従来のスケールでは、特定のピッチがシステムの一部である場合、1 オクターブ以上高いまたは低いすべてのピッチもシステムの一部であり、さらに、同等であると見なされます。 BP スケールでは、特定のピッチが存在する場合、それより1 オクターブ以上高いまたは低いピッチは存在しませんが、1オクターブ以上高いまたは低いすべてのピッチがシステムの一部であり、同等であると見なされます。

BP スケールの奇数整数比の使用は、奇数倍音のみを含む音色に適しています。クラリネットのスペクトル (シャリュモー音域)は主に奇数倍音で構成されており、他のほとんどの木管楽器のようにオクターブではなく 12 度 (または三度) でオーバーブローするため、ボーレン・ピアススケールとクラリネットの間には自然な親和性があります。作曲家ゲオルク・ハイドゥの提案により、クラリネット製作者のスティーブン・フォックスは最初のボーレン・ピアース・ソプラノクラリネットを開発し、2006年初頭に販売を開始しました。彼は2010年に最初のBPテナークラリネット（ソプラノの6音下）、2011年に最初のイプシロンクラリネット（ソプラノの4音上）を製作しました。コントラクラリネット（ソプラノより1音低い）は現在（2020年）、ドイツのリューベックのノラ・ミューラーによって演奏されています。

チューニングだけ

全音階のボーレン・ピアス音階は、次の正確な比率で構成できます (表は「ラムダ」(λ) 音階を示しています)。

ボーレン・ピアースの「ラムダ」スケールのみを演奏する^ⓘ メジャー・ダイアトニック・スケールのみと対比する^ⓘ

正確なBPスケールは、例えばV、II、VI、IVのような4つの重なり合う3:5:7コードから構成されますが、同様のスケールを生成するために異なるコードが選択されることもあります。^[9]

(5:3)(7:5)
8 9 3
        |
       III 7 1
               |
            VI 1 IV 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 2010年
                 |
                 IV 8 II

ボーレン・ピアース気質

ボーレンはもともと BP 音階を純正律と平均律の両方で表現していました。三重音を 13 の均等なステップに分割する平均律形式が、最も一般的な形式になりました。各ステップは次のステップより¹³ √ 3 = 3 ^{1 ⁄ 13} = 1.08818… 高く、つまり 1 ステップあたり 1200 log ₂ (3 ¹^⁄¹³ ) = 146.3…セントです。オクターブは分数のステップに分割されています。12 四重音では、1 オクターブあたり 12 の均等な平均律ステップが使用されます。ボーレン - ピアス音階は 8.202087 四重音と表現できます。これは、1 オクターブ (1200 セント) を 1 ステップあたり 146.3… セントで割ると、1 オクターブあたり 8.202087 ステップになるからです。

三拍子を 13 の均等なステップに分割すると、245:243 (約 14 セント、ボーレン＝ピアスディエシスと呼ばれることもある) と 3125:3087 (約 21 セント、ボーレン＝ピアスディエシスと呼ばれることもある) の両方の音程が調律されるかユニゾンになります。これは、オクターブを 12 の均等なステップに分割すると、81:80 (シントニックコンマ) と 128:125 ( 5 限界リンマ) の両方がユニゾンになるのと同じです。7限界の線形音律は、これらの両方の音程を調律します。結果として得られるボーレン＝ピアス音律は、三拍子相当音階や非オクターブスケールの使用に適しているという点を除けば、もはやそれらとは関係がありません。この音律では、 1 オクターブに 41 の均等ステップ( 1 ステップあたり1200 ⁄ 41 = 29.27 セント)の調律が極めて理にかなっています。このような調律では、平均律の完全 12 度 (1902.4 セント、純正 12 度より約 0.5 セント大きい) が 65 の均等ステップに分割されるため、一見矛盾が生じます。このオクターブベースの音階の 5 度ごとに音を採ると、オクターブベースではない均等平均律の BP 音階に非常に近似した音が得られます。さらに、このような 5 つのステップの間隔は、8、9、または 17 の音符を持つ (オクターブベースの) MOS (対称モーメント) を生成し、8 音スケール (41 均等スケールの 0、5、10、15、20、25、30、および 35 の度数で構成) は、ボーレン - ピアーススケールのオクターブ相当バージョンと見なすことができます。

音程とスケール図

この音階の 13 個の音符は次のとおりです (セントは最も近い整数に丸められています)。

正しく調整

平均律

平均律ボーレン＝ピアース音階を演奏する^ⓘ

音楽と作曲

ボーレン＝ピアース音階を使った音楽は、美的にはどのように聞こえるだろうか？デイブ・ベンソンは、クラリネットや合成音など、奇数倍音のみの音だけを使うのが効果的だと示唆しているが、「いくつかの音程は、より馴染みのある十二音音階の音程に少し似ているが、ひどく調子が狂っている」ため、平均的なリスナーは、社会的条件付けにより、常に「何かがおかしい」と感じるだろうと主張している。^[10]

マシューズとピアスは、明瞭で記憶に残るメロディーはBPスケールで作曲でき、「対位法は問題なく聞こえる」、「和音のパッセージはハーモニーのように聞こえる」、つまり進行を意味していると思われるが、「大きな緊張感や解決感はない」と結論付けている。^[11] 1989年の協和音判断の研究では、訓練を受けたミュージシャンが最も協和的であると評価した5つのコードの両方の音程は、ほぼ全音階の音程であり、訓練が選択に影響を与え、BPスケールでの同様の経験も同様に選択に影響を与えたことを示唆している。^[8]

ボーレン＝ピアース音階を使用した作品には、カーティス・ローズの『Clang-Tint』の第1楽章「Purity」がある。^[12] BP音階を使用した他のコンピュータ作曲家には、ジョン・アップルトン、リチャード・ブーランジェ（『Solemn Song for Evening』（1990年））、ゲオルグ・ハイドゥ、フアン・レイエスの『ppP』（1999年 - 2000年）、^[13] アミ・ラドゥンスカヤの『A Wild and Reckless Place』（1990年）、^[14]チャールズ・カーペンター（『Frog à la Pêche』（1994年）および『Splat』）、^[15]^[16]エレイン・ウォーカー（『Stick Men』（1991年）、『Love Song』、『Greater Good』（2011年））がある。^[17]

トロント大学の建築学准教授であるデイビッド・リーバーマンは、ボーレン・ピアース音階に調弦された弦楽器「ストレディチ」の開発を指揮した。長さ5メートルのこの楽器は、2012年にボストンで行われたコンサートで使用された。^[18]

シンポジウム

第1回ボーレン・ピアースシンポジウムは、作曲家ゲオルク・ハイドゥ（ハンブルク音楽演劇大学）とボストン微分音協会の主催により、2010年3月7日から9日までボストンで開催されました。ボストン・ゲーテ・インスティテュート、バークリー音楽大学、ノースイースタン大学、ニューイングランド音楽院が共催しました。シンポジウムの参加者には、ハインツ・ボーレン、マックス・マシューズ、クラレンス・バーロウ、カーティス・ローズ、デイヴィッド・ヴェッセル、プシュケ・ルイ、リチャード・ブーランジェ、ゲオルク・ハイドゥ、ポール・エルリッヒ、ロン・ソード、ジュリア・ウェルンツ、ラリー・ポランスキー、マンフレッド・スタンケ、スティーブン・フォックス、エレイン・ウォーカー、トッド・ハロップ、ゲイル・ヤング、ヨハネス・クレッツ、アルトゥーロ・グロリムンド、ケビン・フォスターが含まれ、ボーレン・ピアース音階の歴史と特性に関する20の論文を発表し、この新しいシステムで40曲以上の作品を演奏し、いくつかの新しい楽器を紹介しました。出演者には、ボーレン＝ピアス・クラリネット奏者のドイツ人ミュージシャン、ノラ＝ルイーズ・ミュラーとアコス・ホフマン、ボーレン＝ピアス・パンフルート奏者のアルトゥーロ・グロリムンド、カナダのアンサンブル、トランスペクトラ、エレイン・ウォーカー率いる米国の異音協奏曲バンド、ZIAなどが参加した。

その他の珍しい調律や音階

^{ボーレン[19]が研究し}^たその他の非オクターブ調律には、エンリケ・モレノ^[20]がA12と名付け、4:7:10のコードPlayⓘに基づく12ステップのトリターブ、7ステップのオクターブ（7-tet）または同様の11ステップのトリターブ、5:7:9 Playⓘに基づく8ステップの^{オクターブ}があり、その正確なバージョンのみが使用されます。さらに、ペンターブは8ステップに分割でき、5:9:13:17:21:25の形式のコードに近似します。^[21]ボーレンの833セントスケールはフィボナッチ数列に基づいていますが、組み合わせ音から作成され、積み重ねられた833セント間隔の一致する倍音が含まれているため、複雑な倍音関係のネットワークが含まれています。例えば、「ステップ10はベーストーンのオクターブ（1200セント）と同一であると同時に、ステップ3の黄金比を特徴としている」 ^{[22] 。}

代替音階は、平均律のステップの大きさを示すことによって指定される。例えば、ウェンディ・カルロスの78セントアルファ音階と63.8セントベータ音階、ゲイリー・モリソンの88セント音階（1オクターブあたり13.64ステップ、または1232セント伸長オクターブあたり14ステップ）などである。^[23]これにより、アルファ音階は1オクターブあたり15.39ステップ、ベータ音階は1オクターブあたり18.75ステップとなる。^[24]

拡張

39音均等分割三分音階

ポール・エルリッヒは、ボーレン＝ピアス音階の各ステップを 3 つに分割して、三分音階を 13 の均等ステップではなく 39 の均等ステップに分割することを提案しました。この音階は、3 つのボーレン＝ピアス音階を均等にずらしたものと見なすことができ、奇数倍音が追加されます。13 ステップの音階は、3:1、5:3、7:3、7:5、9:5、9:7、および 15:7 の奇数倍音に達します。 39 段階の音階には、これらすべてとさらに多くの音 (11:5、13:5、11:7、13:7、11:9、13:9、13:11、15:11、21:11、25:11、27:11、15:13、21:13、25:13、27:13、33:13、35:13) が含まれますが、偶数倍音のほとんどがまだ含まれていません (2:1、3:2、5:2、4:3、8:3、6:5、8:5、9:8、11:8、13:8、15:8 を含む)。この音階の大きさは、1オクターブよりわずかに大きい比率で約25の等音階であり、39の等音階のそれぞれは、標準音階の12の等音階の半分よりわずかに小さくなります。^[25]

65音均等分割三分音階

ボーレン・ピアス音階の各ステップを 5 度に分割すると (三重音階は 65 ステップに分割されます)、非常に正確なオクターブ (41 ステップ) と完全 5 度 (24 ステップ) が得られ、他の正確な音程の近似値も得られます。この音階は、各ステップがわずかに小さい (ステップごとに 100 分の 1 セント未満) 点を除けば、オクターブの 41 音均等分割と実質的に同一です。

参照

ダブルリード
矩形波
その他の非オクターブ繰り返し音階:
- デルタスケール
- ガンマスケール

参考文献

^ ab ピアス、ジョン R. (2001)。「協和音と音階」。クック、ペリー R (編)。音楽、認知、コンピューター化されたサウンド: 心理音響学入門。MIT プレス。p. 183。ISBN 978-0-262-53190-0。
^ ボーレン、ハインツ (1978)。「13 トンシュトゥフェン・イン・デア・ドゥオデジム」。アコースティック（ドイツ語）。39 (2)。シュトゥットガルト： S. ヒルツェル・フェルラーク： 76–86 。2012 年11 月 27 日に取得。
^ プロイジェン、キース・ヴァン (1978)。「平均律の理論」。インターフェース。7：45～56。土井：10.1080/09298217808570248 。2012 年11 月 27 日に取得。
^ Mathews, MV; Roberts, LA; Pierce, JR (1984). 「非連続整数比和音に基づく4つの新しいスケール」J. Acoust. Soc. Am. 75, S10(A) (S1): S10. Bibcode :1984ASAJ...75...10M. doi : 10.1121/1.2021272 .
^ Mathews, Max V.; Pierce, John R. (1989)。「ボーレン・ピアススケール」。Mathews, Max V.、Pierce, John R. (編)。Current Directions in Computer Music Research。MIT Press。p. 167。ISBN 9780262631396。
^ マシューズ＆ピアース（1989）、165-166ページ
^ マシューズ＆ピアース（1989）、169ページ
^ マシューズ＆ピアース（1989）、171ページ
^ マシューズ、ピアース（1989年）。170ページ。
^ ベンソン、デイブ。「ミュージカルスケールとベイカーズダズン」。音楽と数学。2006年6月28日：16。
^ マシューズ、ピアース（1989年）。172ページ。
^ Thrall, Michael Voyne (1997年夏)。「Synthèse 96: 第26回国際エレクトロアコースティック音楽フェスティバル」。コンピュータミュージックジャーナル。21 (2): 90–92 [91]。doi : 10.2307/3681110。JSTOR 3681110。
^ 「ジョン・ピアース（1910-2002）」。コンピュータミュージックジャーナル。26、第4号（コンピュータミュージックの言語と環境）：6-7。2002年冬。
^ マイクロトナルCDのディスコグラフィー、ホイヘンス・フォッカー財団、 2016年12月13日閲覧。
^ d'Escrivan, Julio (2007). Collins, Nick (編). The Cambridge Companion to Electronic Music . Cambridge Companions to Music . p. 229. ISBN 9780521868617。
^ ベンソン、デイブ (2006)。音楽：数学的な提供。p. 237。ISBN 9780521853873。
^ 「コンサート」Bohlen-Pierce-Conference.org . 2012年11月27日閲覧。
^ 「David LiebermanがElectric Fields and Mini-Maker Faireに参加 | Daniels」www.daniels.utoronto.ca . 2023年1月4日閲覧。
^ ボーレン (1978)。脚注 26、84 ページ。
^ 「その他の珍しいスケール」。ボーレン・ピアース・サイト。 2012年11月27日閲覧。引用元: Moreno, Enrique Ignacio (1995 年 12 月)。「等ピッチ空間の埋め込みと拡張クロマの問題: 実験的アプローチ」。博士論文。スタンフォード大学: 12–22。
^ 「その他の珍しいスケール」、The Bohlen–Pierce Site。2012年11月27日閲覧。引用元: Bohlen (1978)。pp. 76–86。
^ ボーレン、ハインツ。「833セントのスケール」。ボーレン・ピアース・サイト。2012 年11 月 27 日に取得。
^ セサレス、ウィリアム(2004)。チューニング、音色、スペクトル、スケール。p . 60。ISBN 1-85233-797-4。
^ カルロス、ウェンディ(2000) [1986]。「ライナーノーツ」。ビューティー・イン・ザ・ビースト(CD)。ウェンディ・カルロス。ESD。81552。
^ 「BPスケール構造」。ボーレン・ピアースサイト。 2012年11月27日閲覧。

外部リンク

「ボーレン・ピアススケール」研究、ZiaSpace.com。
「Stephen Fox Clarinets」、Bohlen-Pierce クラリネットおよびその他の楽器、SFoxClarinets.com。
「ボーレン・ピアースサイト: 代替調和音階の Web サイト」、Huygens-Fokker.org。
「Kees van Prooijen: 3 次高調波の 13 音」、Kees.cc。
ボーレン・ピアス・スケールの曲: 「17tppp4 Walker Love Song」、Xenharmonic.Wikispaces.com。
「ボーレン・ピアース・シンポジウム」、Bohlen-Pierce-Conference.org。
「ボーレン・ピアススケールシンポジウム、ボストン 2010」[再生リスト]、YouTube.com。

[Cognition-1] ピアス、ジョン R. (2001)。「協和音と音階」。クック、ペリー R (編)。音楽、認知、コンピューター化されたサウンド: 心理音響学入門。MIT プレス。p. 183。ISBN 978-0-262-53190-0。

[2] ボーレン、ハインツ (1978)。「13 トンシュトゥフェン・イン・デア・ドゥオデジム」。アコースティック（ドイツ語）。39 (2)。シュトゥットガルト： S. ヒルツェル・フェルラーク： 76–86 。2012 年11 月 27 日に取得。

[3] プロイジェン、キース・ヴァン (1978)。「平均律の理論」。インターフェース。7：45～56。土井：10.1080/09298217808570248 。2012 年11 月 27 日に取得。

[4] Mathews, MV; Roberts, LA; Pierce, JR (1984). 「非連続整数比和音に基づく4つの新しいスケール」J. Acoust. Soc. Am. 75, S10(A) (S1): S10. Bibcode :1984ASAJ...75...10M. doi : 10.1121/1.2021272 .

[Current_Directions,_p.167-5] Mathews, Max V.; Pierce, John R. (1989)。「ボーレン・ピアススケール」。Mathews, Max V.、Pierce, John R. (編)。Current Directions in Computer Music Research。MIT Press。p. 167。ISBN 9780262631396。

[Current_Directions,_p.165-66-6] マシューズ＆ピアース（1989）、165-166ページ

[Current_Directions,_p.169-7] マシューズ＆ピアース（1989）、169ページ

[Current_Directions,_p.171-8] マシューズ＆ピアース（1989）、171ページ

[Current_Directions,_p.170-9] マシューズ、ピアース（1989年）。170ページ。

[10] ベンソン、デイブ。「ミュージカルスケールとベイカーズダズン」。音楽と数学。2006年6月28日：16。

[Current_Directions,_p.172-11] マシューズ、ピアース（1989年）。172ページ。

[12] Thrall, Michael Voyne (1997年夏)。「Synthèse 96: 第26回国際エレクトロアコースティック音楽フェスティバル」。コンピュータミュージックジャーナル。21 (2): 90–92 [91]。doi : 10.2307/3681110。JSTOR 3681110。

[13] 「ジョン・ピアース（1910-2002）」。コンピュータミュージックジャーナル。26、第4号（コンピュータミュージックの言語と環境）：6-7。2002年冬。

[14] マイクロトナルCDのディスコグラフィー、ホイヘンス・フォッカー財団、 2016年12月13日閲覧。

[15] 'Escrivan, Julio (2007). Collins, Nick (編). The Cambridge Companion to Electronic Music . Cambridge Companions to Music . p. 229. ISBN 9780521868617。

[16] ベンソン、デイブ (2006)。音楽：数学的な提供。p. 237。ISBN 9780521853873。

[17] 「コンサート」Bohlen-Pierce-Conference.org . 2012年11月27日閲覧。

[18] 「David LiebermanがElectric Fields and Mini-Maker Faireに参加 | Daniels」www.daniels.utoronto.ca . 2023年1月4日閲覧。

[19] ボーレン (1978)。脚注 26、84 ページ。

[20] 「その他の珍しいスケール」。ボーレン・ピアース・サイト。 2012年11月27日閲覧。引用元: Moreno, Enrique Ignacio (1995 年 12 月)。「等ピッチ空間の埋め込みと拡張クロマの問題: 実験的アプローチ」。博士論文。スタンフォード大学: 12–22。

[21] 「その他の珍しいスケール」、The Bohlen–Pierce Site。2012年11月27日閲覧。引用元: Bohlen (1978)。pp. 76–86。

[22] ボーレン、ハインツ。「833セントのスケール」。ボーレン・ピアース・サイト。2012 年11 月 27 日に取得。

[23] セサレス、ウィリアム(2004)。チューニング、音色、スペクトル、スケール。p . 60。ISBN 1-85233-797-4。

[24] カルロス、ウェンディ(2000) [1986]。「ライナーノーツ」。ビューティー・イン・ザ・ビースト(CD)。ウェンディ・カルロス。ESD。81552。

[25] 「BPスケール構造」。ボーレン・ピアースサイト。 2012年11月27日閲覧。