ウルフ間隔

音楽理論において、ウルフ五度（プロクルステス五度、不完全五度とも呼ばれる）^{[1] [2]は、7つの}半音にわたる 特に不協和な音程である。厳密に言えば、この用語は、16世紀と17世紀に広く使用された特定の調律システム、すなわち四分音階ミーントーンによって生成される音程を指す。^{[3]より広義には、ピタゴラス音律やほとんどの}ミーントーン音律を含む他の調律システムによって生成される類似の音程（近いが、大きさが変化する）を指す場合にも使用される。

半音階のオクターブ内にある 12 の音を四分音階のミーントーン調律法で調律すると、一見 7 つの半音にまたがる 12 の音程のうちの 1 つは実は減六度であり、調律された純正五度よりもはるかに広いことがわかります。^[a] ミーントーン調律法では、この音程は通常 C ♯から A ♭まで、または G ♯から E ♭までですが、特定のキー グループを優先するためにどちらの方向にも移動できます。^[4] 11 の完全五度はほぼ完全に協和に聞こえます。逆に、代用として使用される減六度はひどく不協和です。それは、ビーティングと呼ばれる現象のために、オオカミの遠吠えのように聞こえます。減六度は名目上は完全五度と異名同音ですが、ミーントーン調律では、異名同音の音は近くにあるだけです (約⁠ 1/4⁠シャープまたは⁠1/4⁠フラット); 代替音程の不協和音は「ウルフ5度」と呼ばれます。

前述の四分音符平均律以外にも、他の調律法では極度に不協和な減六度が生成される場合があります。逆に、現在最も一般的に使用されている調律法である12平均律（12-TET）では、減六度はウルフ五度ではなく、完全五度とまったく同じ大きさです。

拡張すると、ひどく不協和であると知覚され、「狼のように遠吠えしている」と見なされる音程はすべて、ウルフ音程と呼ばれます。たとえば、四分音符ミーントーンでは、増二度、増三度、増五度、減四度、減七度は、その周波数比が、対応する正しく調律された音程の比から大幅に逸脱するため、ウルフ音程と呼ばれることがあります(四分音符ミーントーン音程のサイズを参照)。

中全音とウルフ五度

四分音階の五度音階に続く狼五度音階

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ミーントーン調律で「ウルフ」トーンが生じる理由は、演奏者がキーボードで調律されていない音の代わりに異名同音のキーを押すという悪しき慣習によるものです。たとえば、音楽で A ♭が指示されているのに、 G ♯に調律されている黒鍵を押すなどです。すべてのミーントーン調律システムでは、シャープとフラットは同等ではありません。現代の音楽実践にも残っているその名残は、平均律( 「異名同音」 )で同じピッチであり、平均律キーボードの同じキーで演奏される 2 つの音 ( C ♯と D ♭、または E ♯と F ♮など) の音楽記譜を厳密に区別することです。ただし、理論上以外は同じです。

12音階で五度圏を閉じるには、12の五度を平均して700 セントにする必要があります。 ^[b] 最初の11の五度（主音の下の五度、つまり下属音：各黒鍵がミーントーンシャープ/フラットなしに調律されている場合のハ調のFから始まる）は、それぞれ700 − εセントの値を持ちます。ここで、εはすべての五度がデチューンされる小さなセント数です。^[c]ミーントーン音律の調律システム では、12番目と最後の五度はキーボードの12音オクターブに存在しません。実際に使用できる音は実際には減六度です。音程は700 + 11 εセントであり、正しいミーントーン五度（ 700 − εセント）ではありません。使用可能なピッチと意図したピッチの12 εセントの差が「ウルフ」の原因です。「ウルフ」効果は、12 εセントの値が20 ～ 25セントに近づくと特に耳障りになります^[d] この問題に対する単純な反応は、「もちろんひどい音です。間違った音を弾いているのですから」というものです。

通常のキーボードのオクターブには12音しかなく、ミーントーン調律では常に省略された音符が必要です 。たとえば、 C ♮のキーで音楽を演奏するために楽器をミーントーン調律する1つの選択肢は、

選択された音符のセットは太字で表示され、省略された音符の一部は灰色で表示されます。^[e]

キーボードで一度に調律できるミーントーンの音符とそのシャープとフラットの数に制限があったため、バロック時代のキーボード奏者やオーケストラのハープ奏者は、次の曲に必要な臨時記号をすべて利用できるように、演奏の合間に楽器の調律をし直さなければならなかった。 ^{[f] [g]} キー間の転調が遠すぎる曲は、どのように調律しても、1台のキーボードや1台のハープでは演奏できない。上記の調律例では、ハ長調からイ長調（ 7番目の音符にG ♯が必要）とハ短調（ 6番目の音符にA ♭が必要）の両方に転調する曲は不可能である。なぜなら、2つのミーントーン G ♯と A ♭ はどちらも、楽器の各オクターブで同じ弦を異なるピッチに調律する必要があるからである。

便宜上、鍵盤楽器奏者は間違った減六度音程を本物のミーントーン五度音程に代用する（あるいは楽器の再調律を怠る）。本物のミーントーン五度音程は存在しないが協和音であるが、ミーントーン調律システム（ εがゼロでない）では、どの音のシャープもその上の音のフラットとは常に異なる。無制限の変調を可能にするミーントーン鍵盤は、理論的には無限の数のシャープとフラットのキー、さらにダブルシャープやダブルフラットなどを必要とする。1オクターブに12音しかない標準鍵盤では、必然的に音程が欠けてしまう。ε の値は調律システムによって変わる。他の調律システム（ピタゴラス調律や十二コンマミーントーンなど）では、11の五度音程のそれぞれが700 + εセントの大きさになることがある。したがって、減六度は700 − 11 εセントとなる。それらの差12 εが非常に大きい場合、たとえば 4 分音符平均律システムでは、減 6 度が 5 度の代わりに使用され、「ウルフ 5 度」と呼ばれます。

周波数 比で言えば、五度圏を閉じるためには、五度比の積が 128 でなければなりません( 12の五度を円で閉じると、ちょうど 7 オクターブに及ぶため、1 オクターブは2:1で、2 ⁷ = 128です)。また、f が五度の大きさであれば、128 : f  ¹¹、つまりf  ¹¹  : 128がオオカミの大きさになります。

同様に、3度にもさまざまな調律があります。長3度は平均400セントで、400 ∓ 4 εセントの大きさの3度の各ペアには、 400 ± 8 εセントの3度（または減4度）があり、平均より4 εセント狭いまたは広い3度が8つ、 8 εセント広いまたは狭い4度の減4度が4つあります。これらの減4度のうち3つは完全5度を含む長三和音を形成しますが、そのうちの1つは、減6度を実5度に置き換えた長三和音を形成します。減6度がウルフ音程である場合、この三和音はウルフ長三和音と呼ばれます。

同様に、300 ± 3 εセントの短 3 度音程が 9 つと、 300 ∓ 9 εセントの短 3 度音程 (または増二度音程) が 3 つ得られます。

四分音符ミーントーンでは、5度音の周波数比は⁴ √ 5  で、平均律の700セントよりも約3.42157セント低く (またはディエシスのちょうど 12 分の 1 )、したがってウルフは約737.637セントで、比率がちょうど3:2の完全5度よりも35.682セント高く、これが本来の「ハウリング」ウルフ5度です。

フラットな短三度は、比率が7:6の短三度以下よりも約2.335セントだけ高く、比率が正確に32:25の長三度以下は、9:7の長三度以下よりも約7.712セント低いだけです。わずかに低い五度を持つ中全音調律は、短三度以下と長三度以下、および対応する三和音にさらに近いものを生成します。したがって、これらの三度はウルフという呼称に値せず、実際、歴史的にその名前は与えられていません。

四分音符ミーントーンのウルフ5度は、7限界の正確な音程49:32で近似でき、そのサイズは737.652セントです。

ピタゴラス音律では、700 セントより約 1.955 セント (ピタゴラス コンマのちょうど 12 分の 1) 高い、正確に調律された 5 度音が 11 個あります。したがって、5度音程はその12 倍低く、正確な5 度音程より23.460セント(ピタゴラス コンマ 1 つ) 低くなります。この程度低い 5 度音程は、「オオカミのように遠吠えしている」とも考えられます。また、8 つのシャープな長 3 度音程と 4 つのフラットな長 3 度音程があります。

5 限界調律は、純粋な音程の数を最大化するように設計されましたが、このシステムでもいくつかの音程は著しく不純です。5 限界調律では、3 限界純正律調律と見なすことができるピタゴラス調律に比べて、はるかに多くのウルフ音程が生成されます。つまり、ピタゴラス音律ではウルフ音程が 2 つ (5 度と 4 度) しか決まりませんが、5 限界対称音階では 12 個、非対称音階では 14 個のウルフ音程が生成されます。また、表でオレンジ色でマークされている 2 つの 5 度、3 つの短 3 度、3 つの長 6 度 (比率40: 27、32 :27、27 : 16 、または G↓、E ♭ ↓、A↑) は、ウルフ音程の条件を完全には満たしていなくても、対応する純粋な比率から (1 つの シントニック コンマ、つまり81:80、または約21.5セント) 明らかに不協和音として知覚されるほど大きく外れていることにも留意してください。

5 限界チューニングでは、サイズが1024:675の 1 つの減 6 度(約722セント、つまり3:2 のピタゴラス完全 5 度より20セント高い) が決定されます。この音程がウルフ 5 度と呼ばれるほど不協和であるかどうかは議論の余地があります。

5 限界チューニングでは、サイズが40:27の不純な完全 5 度も 2 つ作成されます。5 限界 5 度は約680セントで、3:2ピタゴラスの完全 5 度や701.95500 セントの完全5 度よりも純度が低くなります。 これらは減六度ではありませんが、ピタゴラスの完全 5 度に比べて協和度が低い (約20セント低い) ため、ウルフ五度と見なすことができます。対応する転回形は、サイズが27:20 (約520セント) の不純な完全 4 度です。たとえば、ハ長調の全音階では、D と A の間に不純な完全 5 度が生じ、A と D の間にその転回形が生じます。

この文脈では完全という用語は「完全に協和」と解釈されるため、^[5]不純な完全4度と完全5度は、単に不完全4度と不完全5度と呼ばれることがあります。^{[2]しかし、広く採用されている}音楽音程の標準的な命名規則では、それらをオクターブやユニゾンとともに完全音程に分類しています。これは、完全協和の4:3または3:2の比率からわずかに外れた完全4度または完全5度（たとえば、12音平均律または4分音符平均律を使用して調律されたもの）にも当てはまります。逆に、不完全4度と不完全5度という表現は、不協和の増3度または減6度（たとえば、ピタゴラス音律のウルフ4度と5度） を指す場合は、標準的な命名規則と矛盾しません。

ウルフ音程は、2次元の音律を1次元の鍵盤にマッピングした結果である。^[6] 唯一の解決策は、次元の数を一致させることである。つまり、次のいずれかである。

• （1次元の）ピアノ鍵盤をそのままにして、1次元の音律（例えば平均律）に移行するか、
• 2次元の音律をそのままに、2次元のキーボードに移行します。

完全五度がちょうど700 セント幅に調律されると（つまり、ほぼちょうど⁠1/11⁠同調コンマの⁠、または正確には⁠1/12⁠ ピタゴラスコンマの⁠）の場合、チューニングは現在標準となっている 12 平均律と同一になります。

ピアノスタイルの一次元キーボードによってミーントーン調律に強いられた妥協（およびウルフ音程）により、ウェル音律、そして最終的には12音平均律がより人気を博しました。

モーツァルトが好んだサイズの5度音程、つまり平均律55度音程の698.182セントまたはその付近では、ウルフ音は720セントになります。これは、正しく調律された5度音程よりも 18.045セント高い音です。この音のうなり音ははるかに小さくなりますが、それでも目立ちます。

平均律または均整律を採用することで、ウルフ音を「飼いならす」ことができます。非常に大胆な人は、それを単に異和音の音楽音程として扱いたいと思うかもしれません。中全音五度の大きさに応じて、ウルフ五度は、より複雑な純正比 20:13、26:17、17:11、32:21、または 49:32 に調整できます。

19 平均律のような、より極端な中全音律では、ウルフは十分に大きいため、5 度よりも 6 度に近くなり、誤った調律の 5 度ではなく、まったく異なる音程のように聞こえます。

ウルフ音程なしで多次元音律を使用できるあまり知られていない代替方法は、その音律と「同型」な 2 次元キーボードを使用することです。キーボードと音律は、同じ音程で生成される場合、同型です。たとえば、図 1 に示す Wicki キーボードは、シントニック音律と同じ音程、つまりオクターブと完全五度調律で生成されるため、同型です。

同形キーボードでは、任意の音程は、端を除いて、どこに現れても同じ形になります。つまり、どのオクターブ、キー、チューニングでも同じ形になります。たとえば、Wicki のキーボードでは、任意の音符から、調律された完全 5 度高い音符は、常にその音符の右上に隣接します。このキーボードの音符の範囲内にウルフ音程はありません。唯一の問題は、端の E ♯音符にあります。 E ♯より調律された完全 5 度高い音符はB ♯ですが、ここに示したキーボードには含まれていません (ただし、より大きなキーボードでは、 A ♯のすぐ右に配置することで含めることができ、キーボードの一貫した音符パターンを維持できます)。 B ♯ボタンがないため、 E ♯ パワーコードを演奏するときは、 B ♯の代わりに、 C など、 B ♯に近い他の音符を選択しなければなりません。つまり、このキーボードでは、E ♯からC までの音程は「ウルフ音程」になります。19 -TETでは、E ♯から C ♭までの音程は完全五度 (と異名同音) になります。

しかし、このようなエッジ条件でウルフ音程が生じるのは、同形キーボードの1オクターブあたりのボタン数が、チューニングが異名同音の音を持つ場合より少ない場合に限られます。^[6]たとえば、図2の同形キーボードには1オクターブあたり19個のボタンがあるため、上記のエッジ条件、E ♯からCは、12-TET、17-TET、19-TETではウルフ音程ではありません。ただし、26-TET、31-TET、53-TETではウルフ音程になります。後者のチューニングでは、電子移調を使用すると、現在のキーの音符を同形キーボードの中央に保つことができます。その場合、異国風のキーに転調したとしても、これらのウルフ音程は調性音楽ではほとんど見られません。^[8]

上記のウィッキのキーボードのように、シントニック音律と同型のキーボードは、シントニック音律の調律連続体内のどの調律でも同型性を維持し、たとえそのような調律間で調律を動的に変更した場合でも同型性を維持します。^[8] Plamondon、Milne、Sethares (2009)、^[8]図2は、シントニック音律の有効な調律範囲を示しています。