アルファスケール

α （アルファ）音階は、ウェンディ・カルロスによって考案され、彼女のアルバム「ビューティー・イン・ザ・ビースト」（1986年）で初めて使用された、オクターブを繰り返さない音階です。これは、単一の音程の倍数を使用して音程を近似することから派生したものですが、（通常の音律のように）オクターブ（2：1）は必要ありません。これは、完全五度（3：2）を9つの均等なステップに分割して周波数比^[1]で近似するか、短三度（6：5）を4つの周波数比ステップに分割して近似することができます^{[1] [2] [3]}${\displaystyle \\left({\tfrac {\ 3\}{2}}\right)^{\tfrac {1}{9}}\ ,}$${\displaystyle \\left({\tfrac {\ 6\}{5}}\right)^{\tfrac {1}{4}}~.}$

この音階ステップの大きさは、 9:5 （ B ♭、1017.60セント、再生^ⓘ）を使用して音程を近似することで正確に導き出すこともできます。  3:2 / 5:4 ⁠ = 6:5  (E ♭、315.64セント、再生^ⓘ )。^[4]

カルロスのα（アルファ）音階は、音階度の値として、9つが3:2の完全5度に近似し、5つが5:4の長3度に近似し、4つが6:5の短3度に近似するようにすることから生じます。近似を可能な限り良くするために、平均二乗偏差を最小化します。^[4]

以下の式は、スケールステップサイズに対する平均二乗偏差の導関数を0 に設定して最小値を見つけます。

${\displaystyle \ {\frac {\ 9\ \log _{2}\left({\frac {\ 3\ }{2}}\right)+5\log _{2}\left({\frac {\ 5\ }{4}}\right)+4\ \log _{2}\left({\frac {\ 6\ }{5}}\right)\ }{\ 9^{2}+5^{2}+4^{2}\ }}\approx 0.06497082462\ }$

そして（再生^ⓘ） ${\displaystyle \ 0.06497082462\times 1200=77.964989544\ }$

1ステップあたり78セントなので、1オクターブあたり約15.385ステップになりますが、より正確にはアルファスケールのステップは77.965セントで、1オクターブあたり15.3915ステップになります。^{[4] [5]}

アルファスケールは完全なオクターブを持っていないが、「素晴らしい三和音」（長三和音^ⓘと短三和音^ⓘを演奏する）を生み出し、ベータスケールも同様の特性を持っているが、7度音はより調和している。^[2]しかし、アルファスケールには

「素晴らしいハーモニックセブンスコード... [オクターブ] 反転を使用した 7 /4⁠、すなわち、⁠8/7⁠ [再生^ⓘ ]." ^[1]

• ボーレン・ピアーススケール
• ベータスケール
• ガンマスケール
• デルタスケール
• ハーモニックスケール