リミット（音楽）

音楽理論において、限界または和声限界とは、楽曲や音楽ジャンルに見られる和声、または特定の音階を使用して作成できる和声を特徴付ける方法です。限界という用語はハリー・パーチ^[1]によって導入され、ハーモニーの複雑さの上限を示すために使用されました。これが限界という名前につながっています。

ハリー・パーチ、アイヴァー・ダレグ、ラルフ・デイヴィッド・ヒルなど、多くの微分音学者は、音楽はゆっくりと進化して、その構成にますます高い倍音を取り入れるようになっていると示唆している（不協和音の解放を参照）。^[要出典]中世の音楽では、オクターブと完全五度（最初の3つの倍音間の関係を含む）で作られた和音のみが協和音であると考えられていた。西洋では、ルネッサンスの頃に三和音の和音（コンテナンス・アングロワーズ）が生まれ、三和音はすぐに西洋音楽の基本的な構成要素となった。これらの三和音の長3度と短3度は、最初の5つの倍音間の関係を呼び起こす。

20 世紀初頭、アフリカ系アメリカ人の音楽の基本的な構成要素としてテトラッドが登場しました。^[要出典]従来の音楽理論の教育では、これらのセブンスコードは、通常、長三度と短三度の連鎖として説明されます。ただし、5 より大きい倍音から直接生じると説明することもできます。たとえば、12-ETの属七和音は4:5:6:7 に近似しますが (非常に不正確ですが)、長七和音は8:10:12:15 に近似します。

純正律では、音程の間隔は有理数から引き出されます。パーチ以来、極限の概念には奇数極限と素数極限という 2 つの異なる定式化が生まれました。奇数極限と素数極限n は、 n が奇数の素数で あっても同じ間隔を含みません。

正の奇数nの場合、 n 奇数限界には、分子または分母のいずれかを割り切る最大の奇数がn以下となるようなすべての有理数が含まれます。

ハリー・パーチは『音楽の起源』で、分子と分母の大きさに応じてオクターブを法として純正律有理数を考察した。^[2]オクターブは2の因数に対応するため、任意の音程の複雑さは、その比率の最大の奇数によって単純に測定できる。パーチの音程の感覚的不協和に関する理論的予測（彼の「片足の花嫁」）は、ヘルマン・フォン・ヘルムホルツ、ウィリアム・セサレス、ポール・エルリッヒなどの理論家の予測と非常によく似ている。^[3]

以下の§ 例を参照してください。

恒等音は、調律における（奇数の）限界以下の奇数です。たとえば、5 限界調律に含まれる恒等音は 1、3、5 です。各奇数は倍音列の新しいピッチを表すため、恒等音と見なすことができます。

Ｃ   Ｃ   Ｇ   Ｃ   Ｅ   Ｇ   Ｂ   Ｃ   Ｄ   Ｅ   Ｆ   Ｇ ...
 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10 11 12 ...

パーチによれば、「9という数字は素数ではないが、奇数であるという理由だけで音楽ではアイデンティティーである」^{[4] 。パーチは「アイデンティティー」を「}調性における相関関係の1つ、つまり『長調』または『短調』。奇数要素の1つで、そのうちの1つまたは複数、あるいはすべてが調性の極として機能するもの」と定義している^{[5] 。}

オデンティティとユーデンティティは、それぞれオーバーアイデンティティとアンダーアイデンティティの略です。 ^{[6]音楽ソフトウェアメーカーのTonalsoftによると、「ユーデンティティは}ユートナリティのアイデンティティです」。 ^[7]

素数 nの場合、 n-素数限界には、 n以下の素数を使用して因数分解できるすべての有理数が含まれます。言い換えると、これは分子と分母が両方ともn -滑らかである有理数の集合です。

p限界調律。素数pが与えられたとき、素因数分解がの形を持つ 有理数xからなるの部分集合は、( )の部分群を形成する。...音高間のすべての音程比がこの部分群に含まれる場合、音階または調律システムはp限界調律を使用していると言う。^[8]${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$${\displaystyle x=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{r}^{\alpha _{r}}}$${\displaystyle p_{1},...,p_{r}\leq p}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+},\cdot }$

1970年代後半、アメリカ西海岸でアメリカン・ガムラン・スクールと呼ばれる新しいジャンルの音楽が形成され始めた。インドネシアのガムランに触発されて、カリフォルニアやその他の地域のミュージシャンは独自のガムラン楽器を作り始め、多くの場合純正律に調律した。この運動の中心人物はアメリカの作曲家ルー・ハリソンだった^[要出典]。しばしば倍音列から直接音階を採ったパーチとは異なり、アメリカン・ガムラン運動の作曲家は、フォッカー周期ブロックの構築に使用される方法と同様に、純正律格子から音階を描く傾向があった。そのような音階には、非常に大きな数値の比率が含まれることが多いが、それでも音階内の他の音とは単純な音程で関連している。

プライム限界調律と音程は、限界に基づいた数値体系の用語を使用して参照されることがよくあります。たとえば、7 限界調律と音程は 7 進数、11 限界は 10 進数と呼ばれます。

音律では、純正律の単純な比率が近くの無理数近似値にマッピングされます。この操作が成功しても、異なる音程の相対的な倍音の複雑さは変わりませんが、倍音の限界の概念の使用が複雑になる可能性があります。一部のコード ( 12-ETの減七和音など) には純正律で有効なチューニングが複数あるため、倍音の限界はあいまいになる可能性があります。

• 3 限界 (ピタゴラス) チューニング
• 5つの限界チューニング
• 7制限チューニング
• 数値的結びつき
• 音調性と実調性
• トーンダイヤモンド
• 調性の変化

• 「限界: 協和音理論の説明」、グレン・ピーターソンの『楽器とチューニングシステム』。
• 「ハーモニック・リミット」、Xenharmonic。