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物理学において、質量エネルギー等価性とは、系の静止系における質量とエネルギーの関係のことである。両者の違いは、乗法定数と測定単位のみである。[ 1 ]： 1217-1218 [ 2 ]この原理は、物理学者アルベルト・アインシュタインの公式によって説明される。 [ 3 ]システムが運動している参照系では、その相対論的エネルギーと相対論的質量（静止質量の代わりに）は同じ式に従います。
この式は、静止系における粒子のエネルギー（E ）を、質量（ m）と光速の二乗（c²）の積として定義する。光速は大きな値であり、二乗されているため、この式は、わずかな質量が膨大なエネルギーに対応することを意味する。
静止質量（不変質量とも呼ばれる）は、速度に依存しない物質の基本的な物理的性質である。光子のような質量のない粒子は不変質量がゼロであるが、質量のない自由粒子は運動量とエネルギーの両方を持つ。
等価原理とは、化学反応や核反応において質量が失われると、それに対応する量のエネルギーが放出されるという原理である。このエネルギーは、光などの放射エネルギー、あるいは熱エネルギーとして、（対象となる系外の）環境へと放出される。この原理は、原子核物理学や素粒子物理学をはじめとする多くの物理学分野において基礎となるものである。
質量とエネルギーの関係は、1800 年代後半に電磁質量という用語で探求されました。質量とエネルギーの等価性は、フランスの博学者アンリ・ポアンカレ(1854–1912)が述べたパラドックスとして特殊相対性理論から生じました。 [ 4 ]アインシュタインは、質量とエネルギーの等価性を一般的な原理として、また空間と時間の対称性の結果として最初に提案しました。この原理は、 1905 年 11 月 21 日に発表された彼のannus mirabilis論文の 1 つである「物体の慣性は、そのエネルギー含有量に依存するか？」で初めて登場しました。 [ 5 ] [ 6 ]エネルギーと運動量の関係で記述される公式と運動量との関係は、後に他の物理学者によって発展しました。
質量とエネルギーの等価性は、質量を持つすべての物体、つまり質量のある物体は、静止している場合でも、対応する固有エネルギーを持つと述べています。物体の静止系では、定義により物体は静止しており、運動量を持たないため、質量とエネルギーは等しいか、光速の二乗 ( c 2 ) という定数係数だけ異なります。[ 1 ] : 1217–1218 [ 2 ]ニュートン力学では、静止物体は運動エネルギーを持たず、力場における位置から得られる位置エネルギーに加えて、化学エネルギーや熱エネルギーなどの他の内部蓄積エネルギーを持つ場合と持たない場合があります。これらのエネルギーは、物体の質量にc 2を掛けたものよりもはるかに小さい傾向があり、質量が 1 キログラムの場合、約 10 17ジュールです。しかし、核反応によって生成される原子の質量は、反応に関与する原子の質量よりも小さく、その質量の差は、差と同じエネルギーを持つ熱と光として現れます。このような極端な現象を分析する際には、放出（除去）されるエネルギーをE 、質量の変化をmとして、アインシュタインの公式を用いることができます。
相対性理論では、物体とともに移動するすべてのエネルギー（つまり、物体の静止系で測定されるエネルギー）が物体の全質量に寄与し、物体が加速にどれだけ抵抗するかを測定します。理想的な鏡でできた孤立した箱に光が入ると、個々に質量のない光子は、そのエネルギーをc 2で割った値に等しい量だけ箱の全質量に寄与します。[ 7 ]静止系の観測者にとって、エネルギーを取り除くことは質量を取り除くことと同じであり、式m = E / c 2 は、エネルギーが取り除かれたときにどれだけの質量が失われるかを示します。[ 1 ] : 1386同様に、孤立系にエネルギーが加えられると、質量の増加は加えられたエネルギーをc 2で割った値に等しくなります。[ 8 ]
物体は、観測者の運動に応じて、異なる参照系で異なる速度で移動します。これは、ニュートン力学と相対性理論の両方において、運動エネルギーが「参照系依存」であることを意味し、物体が持つと測定される相対論的エネルギーの量は観測者に依存します。物体の相対論的質量は、相対論的エネルギーをc 2で割った値で与えられます。[ 9 ]相対論的質量は相対論的エネルギーに正確に比例するため、相対論的質量と相対論的エネルギーはほぼ同義であり、両者の違いは単位だけです。物体の静止質量または不変質量は、物体が観測者に対して運動していないときの、その静止系における物体の質量として定義されます。静止質量は、観測者の運動に依存しないため、すべての慣性系で同じであり、物体の相対論的質量の最小値です。システムの構成要素間の引力によって位置エネルギーが生じるため、静止質量はほとんどの場合加算されません。一般に、物体の質量は構成要素の質量の合計ではありません。[ 8 ]物体の静止質量は、運動量中心系から観測される運動エネルギーと位置エネルギーを含む、すべての構成要素の全エネルギーです。質量が加算されるのは、構成要素が静止している（運動量中心系から観測される）場合のみで、互いに引力や反発力を持たないため、余分な運動エネルギーや位置エネルギーを持ちません。[注1 ]質量のない粒子は静止質量を持たない粒子であり、したがって固有のエネルギーを持ちません。そのエネルギーは運動量のみによるものです。
相対論的質量は物体の運動に依存するため、相対運動している異なる観測者はその値が異なると見ます。動いている物体の相対論的質量は、静止している物体の相対論的質量よりも大きくなります。これは、動いている物体が運動エネルギーを持っているためです。物体がゆっくり動いている場合、相対論的質量は静止質量とほぼ等しく、両方とも古典的な慣性質量（ニュートンの運動法則に現れるもの）とほぼ等しくなります。物体が速く動いている場合、相対論的質量は静止質量よりも、物体の運動エネルギーに関連する質量に等しい量だけ大きくなります。質量のない粒子も、運動エネルギーから派生した相対論的質量を持ち、それは相対論的エネルギーをc 2で割った値、つまりm rel = E / c 2に等しくなります。[ 10 ] [ 11 ]光速は、長さと時間が自然単位で測定され、相対論的質量とエネルギーが値と次元において等しいシステムにおける速度です。質量はエネルギーの別名にすぎないため、相対論的質量という用語の使用は冗長であり、物理学者は一般的に質量を相対論的質量とは対照的に静止質量または不変質量を指すために用いる。[ 12 ] [ 1 ]： 1219この用語の結果として、特殊相対性理論では質量は保存されないが、運動量保存とエネルギー保存はどちらも基本法則である。[ 12 ]
エネルギー保存則は物理学における普遍的な原理であり、運動量保存則とともにあらゆる相互作用に当てはまります。[ 12 ]一方、古典的な質量保存則は、特定の相対論的状況では破られます。[ 1 ] : 1219 [ 12 ]この概念は、核反応や素粒子間のその他の相互作用における質量から運動エネルギーへの変換など、多くの方法で実験的に証明されています。[ 1 ] : 1219現代物理学では「質量保存則」という表現は捨てられていますが、古い用語では、相対論的質量は運動系のエネルギーと等価であると定義することもでき、相対論的質量の保存が可能になります。[ 12 ]質量保存則は、粒子の質量に関連するエネルギーが運動エネルギー、熱エネルギー、放射エネルギーなどの他の形態のエネルギーに変換されるときに破綻します。[ 12 ]
質量のない粒子は静止質量がゼロです。光子のエネルギーに関するプランク・アインシュタインの関係は、 E = hfという式で表されます。ここで、hはプランク定数、fは光子の周波数です。この周波数、したがって相対論的エネルギーは、フレームに依存します。観測者が光源から光子が進む方向に光子から逃げ、光子が観測者に追いついた場合、観測者は光源でのエネルギーよりも光子のエネルギーが低いと見ます。光子が追いついたときに観測者が光源に対して速く移動しているほど、光子のエネルギーは小さく見えます。観測者が光源に対して光速に近づくと、相対論的ドップラー効果に従って光子の赤方偏移が増加します。光子のエネルギーは減少し、波長が任意に大きくなると、光子のエネルギーはゼロに近づきます。これは、光子が質量を持たないため、固有のエネルギーを持たないためです。
原子核、惑星、恒星など、多くの部分から構成される閉鎖系の場合、エネルギーはこれらの系では加算されるため、相対論的エネルギーは各部分の相対論的エネルギーの合計によって与えられます。 系が引力によって束縛されており、仕事を超えて得られたエネルギーが系から取り除かれると、この取り除かれたエネルギーとともに質量が失われます。 原子核の質量は、それを構成する陽子と中性子の総質量よりも小さいです。 [ 1 ] : 1386この質量の減少は、原子核を個々の陽子と中性子に分解するために必要なエネルギーにも等しくなります。 この効果は、個々の構成要素のポテンシャルエネルギーを調べることで理解できます。 個々の粒子は互いに引き合う力を持っており、それらを引き離すと、地球上で物体を持ち上げるのと同じように、粒子のポテンシャルエネルギーが増加します。 このエネルギーは、粒子を分離するために必要な仕事に等しくなります。太陽系の質量は、構成する個々の天体の質量の合計よりもわずかに小さい。
異なる方向に運動する孤立した粒子系の場合、系の不変質量は静止質量のアナログであり、相対運動している観測者であっても、すべての観測者に対して同じです。これは、運動量中心座標系における全エネルギー（ c 2で割った値）として定義されます。運動量中心座標系は、系の全運動量がゼロになるように定義されます。質量中心座標系という用語も使用されることがあり、質量中心座標系は、運動量中心座標系の特殊なケースで、質量中心が原点に置かれています。運動する部分を持つが全運動量がゼロの物体の簡単な例は、ガスの容器です。この場合、容器の質量は、その全エネルギー（ガス分子の運動エネルギーを含む）によって与えられます。なぜなら、運動量がゼロの任意の基準系では、系の全エネルギーと不変質量が同じであり、そのような基準系は物体を計量できる唯一の基準系でもあるからです。同様に、特殊相対性理論では、固体を含むすべての物体の熱エネルギーは、その物体を構成する原子の運動エネルギーと位置エネルギーとして存在し、（気体と同様に）物体を構成する原子の静止質量には見られないにもかかわらず、その物体の全質量に寄与すると仮定している。[ 8 ]同様に、光子でさえ、孤立した容器に閉じ込められた場合、そのエネルギーを容器の質量に寄与する。理論的には、このような余分な質量は、個々の光子には静止質量がないにもかかわらず、他の種類の静止質量と同じように計量することができる。あらゆる形態の閉じ込められたエネルギーが、正味の運動量を持たない系に計量可能な質量を加えるという性質は、相対性理論の結果の1つである。エネルギーが計量可能な質量を示さない古典的なニュートン物理学には、これに対応するものはない。[ 8 ]
物理学には、重力質量と慣性質量という2つの質量概念があります。重力質量は、物体が生成する重力場の強さ、および物体が他の物体によって生成された重力場に浸されたときに物体に作用する重力を決定する量です。一方、慣性質量は、物体に特定の力が加えられたときに物体がどれだけ加速するかを定量化します。特殊相対性理論における質量エネルギー等価性は、慣性質量に関係しています。しかし、ニュートン重力の文脈では、すでに弱い等価原理が仮定されています。すなわち、すべての物体の重力質量と慣性質量は同じです。したがって、質量エネルギー等価性と弱い等価原理を組み合わせると、あらゆる形態のエネルギーが物体によって生成される重力場に寄与するという予測が得られます。この観察は、一般相対性理論の柱の1つです。
あらゆる形態のエネルギーが重力的に相互作用するという予測は、実験的検証の対象となってきた。この予測を検証した最初の観測の 1 つは、エディントン実験と呼ばれ、 1919 年 5 月 29 日食の際に行われた。[ 13 ] [ 14 ]日食の間、イギリスの天文学者で物理学者のアーサー・エディントンは、太陽の近くを通過する星からの光が曲がっていることを観測した。この効果は、太陽による光の重力による引力によるものである。この観測により、光が運ぶエネルギーが実際に重力質量に相当することが確認された。もう 1 つの重要な実験であるパウンド・レブカ実験は1960 年に行われた。[ 15 ]この実験では、塔の頂上から光線が放出され、底部で検出された。検出された光の周波数は、放出された光よりも高かった。この結果は、光子のエネルギーが地球の重力場に落ちるときに増加することを裏付けている。プランクの法則によれば、光子のエネルギー、ひいてはその重力質量は、その周波数に比例する。
一部の反応では、物質粒子が破壊され、それに伴うエネルギーが光や熱などの他の形態のエネルギーとして環境に放出されることがあります。[ 1 ] : 1217–1218このような変換の一例は、素粒子の相互作用で起こり、そこで静止エネルギーが運動エネルギーに変換されます。[ 1 ] : 1217–1218このようなエネルギーの種類間の変換は核兵器で起こり、原子核内の陽子と中性子は元の質量のごく一部を失いますが、失われた質量はより小さな構成要素の破壊によるものではありません。核分裂により、質量に関連するエネルギーのごく一部が放射線などの使用可能なエネルギーに変換されます。たとえば、ウランの崩壊では、元の原子の質量の約0.1%が失われます。[ 16 ]理論的には、物質を破壊し、物質に関連するすべての静止エネルギーを熱と光に変換することは可能であるはずですが、理論的に知られている方法はどれも実用的ではありません。質量に関連するすべてのエネルギーを利用する1つの方法は、物質を反物質で消滅させることです。しかし、反物質は宇宙ではまれであり、既知の生成メカニズムでは、消滅時に放出されるエネルギーよりも多くの利用可能なエネルギーが必要です。CERNは2011年に、反物質を生成および貯蔵するには、その消滅時に放出されるエネルギーの10億倍以上のエネルギーが必要であると推定しました。[ 17 ]
通常の物体を構成する質量の大部分は陽子と中性子に存在するため、通常の物質のすべてのエネルギーをより有用な形態に変換するには、陽子と中性子をより軽い粒子、または質量をまったく持たない粒子に変換する必要があります。素粒子物理学の標準モデルでは、陽子と中性子の数はほぼ完全に保存されます。それにもかかわらず、ジェラルド・ト・フーフトは、陽子と中性子を反電子とニュートリノに変換するプロセスがあることを示しました。[ 18 ]これは、物理学者のアレクサンダー・ベラビン、アレクサンダー・マルコヴィチ・ポリャコフ、アルバート・シュワルツ、およびユー・S・チュプキンによって提案された弱いSU(2)インスタントンです。 [ 19 ]このプロセスは、原理的には物質を破壊し、物質のすべてのエネルギーをニュートリノと使用可能なエネルギーに変換できますが、通常は非常に遅いです。その後、このプロセスはビッグバン直後にしか到達しなかったような極めて高い温度で急速に起こることが示された。[ 20 ]
標準模型の多くの拡張には磁気単極子が含まれており、大統一理論のいくつかのモデルでは、これらの単極子が陽子崩壊を触媒し、これはカラン・ルバコフ効果として知られるプロセスである。[ 21 ]このプロセスは、通常の温度では効率的な質量エネルギー変換となるが、単極子と反単極子の生成が必要であり、その生成は非効率的であると予想される。物質を完全に消滅させる別の方法は、ブラックホールの重力場を利用することである。英国の理論物理学者スティーブン・ホーキングは、ブラックホールに物質を投げ込み、放出される熱を利用して発電することが可能であると理論づけた[ 22 ] 。しかし、ホーキング放射の理論によれば、大きなブラックホールは小さなブラックホールよりも放射量が少ないため、使用可能な電力は小さなブラックホールでのみ生成できる。
慣性系におけるシステムのエネルギーとは異なり、相対論的エネルギー（システムの静止質量は、）とシステムの全運動量。これらのシステムへのアインシュタイン方程式の拡張は次のように与えられる。[ 23 ] [ 24 ] [注2 ]
または
または
どこで項は、系内の様々な運動量ベクトルのユークリッドノルム（ベクトルの総長）の二乗を表し、単一の粒子のみを考慮する場合は、単純な運動量の大きさの二乗に帰着します。この方程式はエネルギー-運動量関係と呼ばれ、次のようになります。運動量項がゼロの場合。光子の場合、すると、この式は次のように簡略化される。。
ローレンツ因子γを用いると、エネルギー・運動量はE = γmc²と書き換えられ、べき級数展開される。
光速よりもはるかに小さい速度では、v / c が小さいため、この式の高次の項はどんどん小さくなります。低速の場合、最初の 2 つの項以外はすべて無視できます。
古典力学では、m 0 c 2項と高速補正はどちらも無視されます。エネルギーの初期値は任意であり、エネルギーの変化のみが測定可能であるため、古典物理学ではm 0 c 2項は無視されます。高次の項は高速では重要になりますが、ニュートン方程式は低速では非常に正確な近似式です。第 3 項を加えると次のようになります。 2つの近似値の差は次のように表される。日常的な物体にとっては非常に小さい数値です。2018年、NASAはパーカー・ソーラー・プローブが時速153,454マイル（68,600m /s）で史上最速であると発表しました。[ 25 ] 2018年のパーカー・ソーラー・プローブの近似値の差は これは、1億分の4のエネルギー補正を考慮に入れたものである。一方、重力定数の標準相対不確実性は約である。[ 26 ]
核結合エネルギーは、原子核を構成要素に分解するために必要な最小エネルギーです。[ 27 ]強い核力の引力により、原子の質量は構成要素の質量の合計よりも小さくなります。[ 28 ] 2つの質量の差は質量欠損と呼ばれ、アインシュタインの公式によって結合エネルギーと関連付けられます。[ 28 ] [ 1 ] : 1419 [ 29 ]この原理は核分裂反応のモデル化に使用され、核兵器と原子力発電の両方で使用される核分裂連鎖反応によって大量のエネルギーが放出される可能性があることを示唆しています。
水分子の質量は、2つの自由水素原子と1つの酸素原子の質量よりわずかに小さい。このわずかな質量差は、分子を3つの原子に分解するために必要なエネルギー（c 2で割った値）であり、分子が形成された際に熱として放出された（この熱には質量がある）。同様に、ダイナマイト1本は、理論上、爆発後の破片よりもわずかに重い。この場合、質量差は、ダイナマイトが爆発したときに放出されるエネルギーと熱である。このような質量の変化は、システムが開放されており、エネルギーと質量が放出される場合にのみ起こり得る。したがって、ダイナマイト1本を密閉された容器内で爆発させた場合、容器と破片の質量、熱、音、光は、容器とダイナマイトの元の質量と等しくなる。秤に乗せた場合、重量と質量は変化しない。理論的には、核爆弾であっても、破裂したり放射線を透過したりしない、無限の強度を持つ理想的な箱に保管できれば、同様のことが起こるだろう。[注3 ]したがって、21.5キロトン（ 9 × 10 13 ジュールの核爆弾は、約 1 グラムの熱と電磁放射線を発生させますが、このエネルギーの質量は、天秤の上に置かれた理想的な箱の中の爆発した爆弾では検出できません。代わりに、箱の中身は総質量と重量を変えることなく数百万度まで加熱されます。爆発後に、電磁放射線のみを通す透明な窓をそのような理想的な箱に開け、X 線やその他の低エネルギーの光線を箱から出すと、最終的には爆発前よりも 1 グラム軽くなっていることがわかります。この重量と質量の減少は、このプロセスによって箱が室温まで冷却されるときに起こります。しかし、X 線（およびその他の「熱」）を吸収した周囲の質量は、結果として生じる加熱によってこの 1 グラムの質量を得るため、この場合、質量の「減少」は単にその移動を表すことになります。
アインシュタインはセンチメートル・グラム・秒単位系（cgs）を使用しましたが、この式は単位系に依存しません。自然単位では、光速の数値は 1 に設定され、この式は数値の等式E = mを表します。SI 単位系では（cの値をメートル毎秒で使用して、E / m の比率をジュール毎キログラムで表すと）：[ 31 ]
つまり、1キログラムの質量のエネルギー相当量は
エネルギーが放出されるときはいつでも、その過程をE = mc² の観点から評価することができます。たとえば、トリニティ実験と長崎への原爆投下 で使用された「ガジェット」型爆弾は、TNT 21 kt に相当する爆発力を持っていました。 [ 32 ] これらの爆弾のそれぞれに含まれる約 6.15 kg のプルトニウムのうち約 1 kgが核分裂して、冷却後には合計でほぼ正確に 1 グラム少ないより軽い元素になりました。この爆発で放出された電磁放射線と運動エネルギー (熱エネルギーと爆風エネルギー) が、不足している 1 グラムの質量を運びました。
システムにエネルギーが加えられると、システムは質量を増す。これは、方程式を変形するとわかる。
アインシュタインは質量とエネルギーの等価公式を正しく導き出した最初の人物でしたが、エネルギーと質量を関連付けたのは彼が最初ではありませんでした。それまでの著者のほとんど全員が、質量に寄与するエネルギーは電磁場からのみ来ると考えていました。 [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]発見された後、アインシュタインの公式は当初さまざまな表記で書かれ、その解釈と正当化はいくつかの段階を経てさらに発展しました。[ 37 ] [ 38 ]
18世紀の質量とエネルギーの相関関係に関する理論には、1717年にイギリスの科学者アイザック・ニュートンが考案したものがあり、彼は『光学』の「第30問」で、光粒子と物質粒子は相互に変換可能であると推測し、「粗大な物体と光は相互に変換可能ではないか、また物体はその構成に含まれる光の粒子からその活動の大部分を受け取っているのではないか」と問いかけている。 [ 39 ]スウェーデンの科学者で神学者のエマニュエル・スウェーデンボルグは、1734年の著書『プリンキピア』で、すべての物質は究極的には「純粋で完全な運動」の無次元点から構成されていると理論づけた。彼はこの運動を、力、方向、速度を持たないが、その内部のあらゆる場所に力、方向、速度の可能性を秘めていると説明した。[ 40 ] [ 41 ]
19世紀には、さまざまなエーテル理論において質量とエネルギーが比例関係にあることを示すためのいくつかの推測的な試みがあった。[ 42 ] 1873年、ロシアの物理学者で数学者のニコライ・ウモフは、エーテルの質量とエネルギーの関係をЕ = kmc 2の形で指摘した。ここで、0.5 ≤ k ≤ 1である。[ 43 ] 1875年にイギリスのエンジニア、サミュエル・トルバー・プレストン[ 44 ]と1903年にイタリアの実業家で地質学者のオリント・デ・プレット[ 45 ] [ 46 ]は、物理学者ジョルジュ＝ルイ・ル・サージュに倣い、宇宙は常に速度cで運動する微粒子のエーテルで満たされていると想像した。これらの粒子はそれぞれ、小さな数値係数を除いてmc 2の運動エネルギーを持ち、質量とエネルギーの関係を与える。
1905年、アインシュタインとは独立して、フランスの博学者ギュスターヴ・ル・ボンは、包括的な定性物理学の哲学から推論して、原子が大量の潜在エネルギーを放出する可能性があると推測した。[ 47 ] [ 48 ]
19世紀から20世紀初頭にかけて、帯電した物体の質量が静電場にどのように依存するかを理解しようとする試みが数多く行われた。例えば、 1881年のイギリスの物理学者JJトムソン、 1889年のオリバー・ヘヴィサイド、1897年のジョージ・フレデリック・チャールズ・サール、1900年のドイツの物理学者ヴィルヘルム・ウィーン、1902年のマックス・アブラハム、1904年のオランダの物理学者ヘンドリック・アントーン・ローレンツなどである。[ 49 ]この概念は電磁質量と呼ばれ、1881年にトムソンによって導入された用語である。[ 50 ] [ 51 ]また、速度と方向にも依存すると考えられていた。ローレンツは1904年に、縦方向および横方向の電磁質量について次の式を与えた。
どこ
電磁質量の一種を導き出す別の方法は、放射圧の概念に基づいていた。1900年、フランスの博学者アンリ・ポアンカレは、電磁放射エネルギーを運動量と質量を持つ「仮想流体」と関連付けた[ 4 ]。
ポアンカレは、ローレンツの理論における重心定理を救おうと試みたが、その扱いは放射パラドックスを引き起こした。[ 36 ]
オーストリアの物理学者フリードリヒ・ハーゼノールは1904年に、電磁空洞からの放射が「見かけの質量」に寄与すること を示した。
空洞の質量に対して。彼は、これは質量が温度にも依存することを意味すると主張した。[ 52 ]
アルバート・アインシュタインは電磁気学の研究思想に精通していたが、質量とエネルギーの等価性に対する彼のアプローチは全く異なっていた。[ 42 ]アインシュタインは1905年のAnnus Mirabilis論文「物体の慣性はエネルギー含有量に依存するか？」[ 5 ]の中で、正確な公式E = mc²を記述しなかった。むしろ、この論文では、物体が光を放出してエネルギーLを放出すると、その質量はL / c²だけ減少すると述べている。この定式化は、絶対的な関係を必要とせずに、質量の変化Δmとエネルギーの変化Lのみを関連付けている。この関係から、質量とエネルギーは同じ根底にある保存物理量の2つの名前として見なすことができると確信した。[ 53 ]彼は、エネルギー保存の法則と質量保存の法則は「同一である」と述べている。[ 54 ]アインシュタインは1946年のエッセイで、「質量保存の原理は特殊相対性理論の前では不十分であることが判明した。そのため、エネルギー保存の原理と統合された。ちょうど約60年前に、力学的エネルギー保存の原理が熱エネルギー保存の原理と統合されたのと同じように。エネルギー保存の原理は、以前に熱保存の原理を飲み込んだが、今度は質量保存の原理を飲み込み、単独でその分野を支配していると言えるだろう。」と詳しく述べている。[ 55 ]
特殊相対性理論を発展させる過程で、アインシュタインは運動する物体の 運動エネルギーが
ここで、 vは速度、m₀は静止質量、γはローレンツ因子である。
彼は右辺に第2項を追加することで、速度が小さい場合、エネルギーが古典力学の場合と同じになるようにし、対応原理を満たした。
この第2項がなければ、粒子が静止しているときにもエネルギーに余分な寄与が生じることになる。
アインシュタインは、ローレンツとアブラハムに倣い、1905年の電気力学の論文と1906年の別の論文で、速度と方向に依存する質量の概念を使用した。[ 56 ] [ 57 ]アインシュタインの1905年の最初のE = mc²に関する論文では、mは現在静止質量と呼ばれるものとして扱われており、[ 5 ]晩年には「相対論的質量」の考え方を好まなかったことが指摘されている。[ 58 ]
現代物理学の用語では、相対論的質量の代わりに相対論的エネルギーが使用され、「質量」という用語は静止質量に限定されています。[ 12 ]歴史的に、「相対論的質量」の概念の使用と、相対性理論における「質量」とニュートン力学における「質量」との関連性について、かなりの議論がありました。ある見解では、静止質量のみが有効な概念であり、粒子の性質であるのに対し、相対論的質量は粒子の性質と時空の性質の集合体であるとされています。ノルウェーの物理学者キェル・ヴォイエンリに帰せられる別の見解では、粒子の性質としてのニュートンの質量の概念と相対論の質量の概念は、それぞれの理論に組み込まれており、正確な関連性はないと見なされるべきであるとされています。[ 59 ] [ 60 ]
アインシュタインは、相対性理論に関する論文「運動する物体の電気力学について」の中で、すでに粒子の運動エネルギーの正しい式を導き出していた。
さて、どの定式化が静止している物体に適用されるのかという疑問が残っていました。これは、アインシュタインが「物体の慣性はエネルギー含有量に依存するか？」という論文（アヌス・ミラビリス論文の1つ）で取り組んだ問題です。ここで、アインシュタインは真空中の光速を表すのにVを、物体が放射の形で失うエネルギーを表すのにLを使用しました。 [ 5 ]その結果、方程式E = mc²は、元々は数式としてではなく、「物体が放射の形でエネルギーLを放出すると、その質量は L / V 2 だけ減少する」というドイツ語の文章として書かれていました。その上に置かれた注釈は、この方程式が級数展開の「4 次以上の大きさ」を無視して近似されたものであることを示していました。[注 6 ]アインシュタインは、静止系から見た場合、放出前にエネルギーE₀ 、放出後にエネルギーE₁を持つ、反対方向に2つの光パルスを放出する物体を使用しました。動いている座標系から見ると、E 0 はH 0になり、E 1はH 1になる。アインシュタインは、現代の表記法で次の式を得た。
彼は次に、H − Eは運動エネルギーKと加算定数分だけ異なると主張し、
この式の右辺をテイラー級数展開した後、v / cに関して3次以上の効果を無視すると、次の式が得られる。
アインシュタインは、放射によって物体の質量がE / c 2だけ減少すること、そして物体の質量はそのエネルギー含有量の尺度であると結論付けた。
アインシュタインが1905年に導出したE = mc²の正しさは、1907年にドイツの理論物理学者マックス・プランクによって批判され、彼はそれが第一近似にしか有効ではないと主張した。別の批判は、 1952年にアメリカの物理学者ハーバート・アイブス、1961年にイスラエルの物理学者マックス・ジャマーによって提起され、アインシュタインの導出は循環論法に基づいていると主張した。[ 37 ] [ 61 ]アメリカとチリの哲学者ジョン・スタシェルとロベルト・トレッティなどの他の学者は、アイブスの批判は間違っており、アインシュタインの導出は正しいと主張した。[ 62 ]アメリカの物理学ライター、ハンス・オハニアンは2008年にスタシェル/トレッティのアイブスに対する批判に同意したが、アインシュタインの導出は別の理由で間違っていると主張した。[ 63 ]
ポアンカレと同様に、アインシュタインは1906年に、電磁エネルギーの慣性が重心定理が成り立つための必要条件であると結論付けた。このとき、アインシュタインはポアンカレの1900年の論文に言及し、「証明に必要な形式的な考察は、H.ポアンカレの著作にほぼ含まれているが、明確化のためにその著作には依拠しない」と書いた。[ 64 ]アインシュタインの形式的または数学的観点とは対照的に、より物理的な観点では、仮想質量は必要なかった。彼は、質量とエネルギーの等価性に基づいて、放射の放出と吸収に伴う慣性の輸送が問題を解決することを示すことができたため、永久運動の問題を回避することができた。ポアンカレの作用反作用の原理の否定は、アインシュタインのE = mc²によって回避できる。なぜなら、質量保存はエネルギー保存の法則の特殊な場合として現れるからである。
20世紀最初の10年間には、さらにいくつかの発展があった。1907年5月、アインシュタインは、運動する質点のエネルギーεの式は、静止状態の式をε 0 = μV 2 ( μは質量) と選択すると最も単純な形になると説明した。これは「質量とエネルギーの等価性の原理」と一致する。さらに、アインシュタインは、異なる運動をする質点の速度が増加すると、その系のエネルギーと質量が増加することを記述するために、 μ = E 0 / V 2 という式を使用した。ここで、E 0は質点系のエネルギーである。[ 65 ]マックス・プランクは、1907年6月に、質量、その潜熱、および物体内の熱力学的エネルギーの関係を表すために、アインシュタインの質量-エネルギー関係をM = E 0 + pV 0 / c 2 と書き直した。ここで、 pは圧力、V 0は体積である。[ 66 ]その後、1907年10月に、ドイツの物理学者ヨハネス・シュタルクはこれをM₀ = E₀ / c²と書き換え、量子論的な解釈を与え、その妥当性と正しさを認めた。[ 67 ] 1907年12月、アインシュタインは等価性をM = μ + E₀ / c²の形で表現し、「質量μは、慣性に関して、エネルギー量μc²に相当する。 […] すべての慣性質量をエネルギーの貯蔵庫と考える方がはるかに自然であるように思われる」と結論付けた。[ 68 ] [ 69 ]アメリカの物理化学者ギルバート・N・ルイスとリチャード・C・トルマンは、1909年にこの式の2つの変形、m = E / c²とm₀ = E₀ / c²を使用した。ここで、ε = Mc 2 およびε 0 = mc 2 であり、ε は運動する物質点の全エネルギー (静止エネルギーと運動エネルギーの合計)、ε 0 はその静止エネルギー、Mは相対論的質量、mは不変質量である。[ 70 ] 1913 年と 1914 年にローレンツは異なる表記で同じ関係式を使用したが、エネルギーを左辺に置いた。ε = Mc 2およびε 0 = mc 2であり、ε は運動する物質点の全エネルギー (静止エネルギーと運動エネルギーの合計)、ε 0はその静止エネルギー、Mは相対論的質量、m は不変質量である。[ 71 ]
1911年、ドイツの物理学者マックス・フォン・ラウエは、応力エネルギーテンソルからM 0 = E 0 / c 2 のより包括的な証明を与えた[ 72 ]。これは後に1918年にドイツの数学者フェリックス・クラインによって一般化された[ 73 ]。
アインシュタインは第二次世界大戦後、再びこのテーマに戻り、今回は一般読者への類推による説明として、論文のタイトルにE = mc²と記した[ 74 ] 。 [ 75 ]
アインシュタインの思考実験の別のバージョンは、 1990 年にアメリカの理論物理学者フリッツ・ロールリッヒによって提案され、彼はドップラー効果に基づいて推論を行った。[ 76 ]アインシュタインと同様に、彼は質量Mの静止物体を考えた。物体を非相対論的速度vで移動するフレームで調べると、物体はもはや静止しておらず、移動するフレームでは運動量P = Mvを持つ。次に彼は、物体が左右にそれぞれ等しい量のエネルギー E / 2 を運ぶ 2 つの光パルスを放出すると仮定した。静止フレームでは、2 つのビームの強度が等しく、反対の運動量を持つため、放出後も物体は静止したままである。しかし、同じプロセスを速度vで左に移動するフレームで考えると、左に移動するパルスは赤方偏移し、右に移動するパルスは青方偏移する。青い光は赤い光よりも運動量が大きいため、運動座標系における光の運動量は釣り合っていません。つまり、光は右方向に正味の運動量を運んでいます。物体は放射の前後で速度を変えていません。しかし、この座標系では、物体は光に対して右方向の運動量を失っています。運動量を失う唯一の方法は質量を失うことです。これはポアンカレの放射パラドックスも解決します。速度は小さいため、右方向に移動する光は非相対論的ドップラーシフト係数1 − v / c に等しい量だけ青方偏移します。光の運動量はそのエネルギーをcで割った値であり、 v / c の係数で増加します。したがって、右方向に移動する光は、次式で与えられる余分な運動量Δ Pを運んでいます。
左向きに移動する光は、同じ量Δ Pだけ運動量がわずかに減少します。したがって、両方の光パルスの右向きの運動量の合計はΔ P の2 倍になります。これが物体が失った右向きの運動量です。
放出後の運動座標系における物体の運動量は、以下の量まで減少する。
したがって、物体の質量の変化は、失われた総エネルギーをc 2で割った値に等しくなります。エネルギーの放出は、まずエネルギーが光として放出され、次に光が別の形態のエネルギーに変換されるという2段階のプロセスで行われるため、エネルギーの放出には必ず質量の減少が伴います。同様に、吸収を考慮すると、エネルギーの増加には質量の増加が伴います。
1897年に放射能が発見された後、放射性過程による総エネルギーは既知の分子変化に伴うエネルギーの約100万倍にもなることがすぐに指摘され、そのエネルギーがどこから来るのかという疑問が生じた。何らかのレサギアンエーテル粒子の吸収と放出という考えを排除した後、1903年にニュージーランドの物理学者アーネスト・ラザフォードとイギリスの放射化学者フレデリック・ソディは、物質内に蓄えられた膨大な量の潜在エネルギーの存在を提唱した。ラザフォードはまた、この内部エネルギーは通常の物質内にも蓄えられていると示唆した。彼は1904年に次のように推測した。「放射性元素の崩壊速度を意のままに制御できることが判明すれば、少量の物質から膨大な量のエネルギーを得ることができるだろう。」[ 77 ] [ 78 ] [ 79 ]
アインシュタインの方程式は放射性崩壊で放出される大きなエネルギーを説明するものではありませんが、それを定量化するために使用できます。放射性崩壊の理論的説明は、原子を結合させている核力によって与えられますが、これらの力は1905年当時はまだ知られていませんでした。放射性崩壊から放出される膨大なエネルギーは、以前にラザフォードによって測定されており、その結果として生じる物質の総質量のわずかな変化よりもはるかに容易に測定できました。アインシュタインの方程式は、理論的には、反応の前後の質量差を測定することによってこれらのエネルギーを与えることができますが、実際には、1905年当時、これらの質量差はバルクで測定するには小さすぎました。これ以前は、カロリメーターで放射性崩壊エネルギーを容易に測定できることから、質量差の変化を測定してアインシュタインの方程式自体を検証できる可能性があると考えられていました。アインシュタインは1905年の論文で、質量とエネルギーの等価性は放射性崩壊で検証できるかもしれないと述べている。当時、放射性崩壊は系から失われたときに「重さを量る」ことができるほどのエネルギーを放出することが知られていた。しかし、放射能は独自の不変のペースで進行しているように見え、陽子照射によって単純な核反応が可能になった後でも、これらの膨大な量の利用可能なエネルギーを実際に自由に解放できるという考えは、立証するのが難しいことがわかった。ラザフォードは1933年に、このエネルギーは効率的に利用できないと宣言したと伝えられている。「原子の変換から動力源を期待する者は、でたらめを言っているのだ。」[ 80 ]
1932年に中性子とその質量が発見されたことで、この見方は劇的に変化しました。これにより、単一の核種とその反応の質量差を直接計算し、それらを構成する粒子の質量の合計と比較することが可能になりました。1933年には、リチウム7と陽子の反応によって2つのアルファ粒子が放出されるエネルギーによって、アインシュタインの式を±0.5%の誤差で検証することができました。[ 81 ]しかし、反応粒子を加速するためのエネルギーコストのため、科学者たちはまだそのような反応を実用的な動力源とは考えていませんでした。 1945年の広島と長崎への原爆投下後に核分裂から放出される膨大なエネルギーが広く知られるようになった後、 E = mc²の式は、一般の人々の目に核兵器の力と危険性と直接結びつくようになりました。この方程式は、1945年に米国政府が発表した原子爆弾開発に関する公式報告書であるスミス報告書の2ページ目に掲載され、1946年までには、この方程式はアインシュタインの研究と密接に結びついており、タイム誌の表紙には、方程式が記されたキノコ雲の画像の横にアインシュタインの写真が大きく掲載された。 [ 82 ]アインシュタイン自身はマンハッタン計画においてわずかな役割しか果たしていなかった。彼は1939年に米国大統領宛ての書簡に署名し、原子エネルギーの研究への資金提供を促し、原子爆弾は理論的に可能であると警告した。この書簡はルーズベルト大統領を説得し、戦時予算のかなりの部分を原子研究に充てさせた。機密保持の許可がなかったため、アインシュタインの唯一の科学的貢献は、同位体分離法の理論的分析であった。アインシュタインは問題に十分に取り組むための十分な情報を与えられていなかったため、それは重要ではなかった。[ 83 ]
E = mc²は核分裂反応で放出されるエネルギー量を理解する上で有用ではあるものの、核分裂過程が解明され、そのエネルギーが 200 MeVと測定された（当時、定量的なガイガーカウンターを用いて直接測定することが可能だった）時点で、必ずしも核兵器開発に必要というわけではなかった。物理学者でありマンハッタン計画の参加者でもあったロバート・サーバーは、「アインシュタインの相対性理論、特にその方程式E = mc²が核分裂理論において何らかの重要な役割を担っているという考えが、いつの間にか広く浸透してしまった」と指摘している。アインシュタインは米国政府に原子爆弾製造の可能性を警告する上で一定の役割を果たしたが、核分裂を議論する上で彼の相対性理論は必須ではない。核分裂理論は物理学者が非相対論的理論と呼ぶものであり、相対論的効果は核分裂過程のダイナミクスに大きな影響を与えるほど大きくはない。[注7 ]核反応におけるこの方程式の重要性については、他にも見解がある。1938年後半、オーストリア・スウェーデンとイギリスの物理学者リーゼ・マイトナーとオットー・ロベルト・フリッシュは、冬の散歩中にハーンの実験結果の意味を解明し、後に原子核分裂と呼ばれる概念を導入したが、原子核を結合させている「表面張力のような」力を克服し、核分裂断片が電荷によって高エネルギー核分裂を引き起こすような配置に分離することを可能にする反応の定量的エネルギーを理解するために、アインシュタインの方程式を直接使用した。そのために、彼らは元素の充填率、つまり核結合エネルギー値を使用した。これらとE = mc²の使用により、基本的な核分裂過程がエネルギー的に可能であることをその場で理解することができた。[ 84 ]
カリフォルニア工科大学とエルサレム・ヘブライ大学のアインシュタイン文書プロジェクトによると、アインシュタイン自身が書いたこの方程式の現存する写本は4部しか残っていない。そのうちの1つはルドヴィク・シルベルシュタイン宛てのドイツ語の手紙で、シルベルシュタインのアーカイブに保管されており、2021年5月21日にマサチューセッツ州ボストンのRRオークションで120万ドルで落札されたと発表された。 [ 85 ]
アインシュタインは1907年に、大文字の「V」の代わりに小文字の「c」を使ってこの方程式を初めて発表した。[ 86 ]後の論文では、現在では一般的な表記法を採用した。[ 87 ]『Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik』のオリジナル版は希少で、1冊は6万ドルで販売されている。[ 88 ]
「不活性質量は単に潜在エネルギーである」。彼はこの立場を何度も公に表明した…。
同一となった。
Trotzdem die einfachen formen Betrachtungen, die zum Nachweis dieser Behauptung durchgefüult werden müssen, in der Hauptsache bereits in einer Arbeit von H. Poincare enthalten sind
2
, werde ich mich doch der Übersichtlichkeit halber nicht auf jeneアーベイト・シュテュッツェン。
供給された陽子よりもはるかに多くのエネルギーが得られる可能性はあるものの、平均的にはこのような方法でエネルギーを得ることは期待できなかった。これは非常に貧弱で非効率的なエネルギー生成方法であり、原子の変換に動力源を求める者は皆、でたらめを言っていたに過ぎない。しかし、このテーマは原子についての洞察を与えてくれるため、科学的には興味深いものであった。
「ウラン原子核は確かに非常に不安定で揺れ動く液滴であり、分裂する準備ができているのかもしれない…しかし…2つの液滴が分離すると、合計で約200 MeVの電気的反発力によって引き離されるだろう。幸いなことに、リーゼ・マイトナーは原子核の質量を計算する方法を覚えており…形成された2つの原子核は…陽子の質量の約5分の1だけ軽くなることを計算した。アインシュタインの公式
E
=
mc²によれば、質量が消滅するとエネルギーが生成される。そして…質量はちょうど200 MeVに相当した。すべて
が
うまくいったのだ！」
![{\displaystyle E=m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+{\frac {3}{8}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{4}+{\frac {5}{16}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{6}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c7043d5fccc00eff27036f20854c4c72874189)
