ゼロ除算

分割​​${\displaystyle N/D=Q}$概念的にはいくつかの方法で解釈できる。^{[ 1 ]}

割り算では、被除数は${\displaystyle N}$⁠は、サイズの部分に分割されていると想定されています。${\displaystyle D}$（除数）と商${\displaystyle Q}$は、結果として得られる部品の数です。たとえば、10枚のパンをサンドイッチにするとします。サンドイッチ1つにつきパン2枚が必要です。合計で5つのサンドイッチを作ることができます（$\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$⁠ )。ここで、サンドイッチ1つにつきパンのスライスが0枚必要だと想像してみてください（例えばレタスラップなど）。パンの種類は関係ないので、10枚のパンからそのようなサンドイッチをいくらでも作ることができます。 ^{[ 2 ]}

除算の商の概念は、繰り返し減算による計算に適しています。除算とは、被除数がなくなるまでに除数を何回減算できるかを数えることです。ゼロを有限回減算しても、ゼロでない被除数がなくなることはないため、このようにゼロ除算を計算すると、決して終わりません。^{[ 3 ]}このような無限のゼロ除算アルゴリズムは、一部の機械式計算機で物理的に実現されています。^{[ 4 ]}

分割除法では、被除数は${\displaystyle N}$は、以下のように分割されると想定されている。${\displaystyle D}$部分と商${\displaystyle Q}$は各部分の最終的なサイズです。たとえば、10 枚のクッキーを 2 人の友人に分けるとします。各友人は 5 枚のクッキーを受け取ります ( ⁠$\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$⁠ )。では、10 枚のクッキーを 0 人の友達に分配すると想像してみてください。各友達は何枚のクッキーを受け取るでしょうか? 友達がいないので、これは不合理です。 ^{[ 5 ]}

別の解釈では、商は${\displaystyle Q}$比率 を表す​${\displaystyle N:D}$⁠ . ^{[ 6 ]}例えば、ケーキのレシピでは小麦粉10カップと砂糖2カップが必要で、その比率は⁠${\displaystyle 10:2}$または、比例して、${\displaystyle 5:1}$このレシピをケーキの量に合わせて調整するには、小麦粉と砂糖の比率を次のようにします。${\displaystyle 5:1}$例えば、小麦粉1カップと砂糖1/5カップ、または小麦粉50カップと砂糖10カップのように維持することができます。 ^{[ 7 ]}ここで、砂糖不使用のケーキのレシピで小麦粉10カップと砂糖0カップが必要だと想像してみてください。比率は${\displaystyle 10:0}$⁠、または比例的に⁠${\displaystyle 1:0}$⁠、これは全く理にかなっています。 ^{[ 8 ]}これは単にケーキに砂糖が入っていないという意味です。しかし、「砂糖1に対して小麦粉は何部か？」という質問には、依然として意味のある数値的な答えはありません。

比率として分割する解釈の幾何学的表現は、デカルト座標平面上の直線の傾きである。^{[ 9 ]}傾きは、直線に沿った「上昇量」（垂直座標の変化）を「水平方向の変化量」（水平座標の変化）で割ったものとして定義される。これを対称比表記で表すと、水平線の傾きは⁠${\displaystyle 0:1}$垂直線には傾きがあります${\displaystyle 1:0}$ただし、傾きを単一の実数とすると、水平線の傾きは となります。$\displaystyle {\tfrac {0}{1}}=0}$実数演算では商は定義されていないため、垂直線には定義されていない傾きがあります。$\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$は定義されていません。 [ ^{10 ]実}数値の傾きは$\displaystyle {\tfrac {y}{x}}}$原点を通る直線の⁠は、水平座標にある直線と垂直線との交点の垂直座標です。${\displaystyle 1}$図中の黒の破線。垂直な赤線と黒の破線は平行なので、平面上では交わりません。時には無限遠点で交わると言われ、その比率は⁠${\displaystyle 1:0}$⁠は新しい番号で表されます${\displaystyle \infty }$⁠ ; ^{[ 11 ]}下記の§ 射影的に拡張された実数直線を参照。垂直線は「無限に急な」傾斜を持つと言われることがある。

除算は乗算の逆演算であり、同じゼロでない数を掛けてから割る、またはその逆を行うと、元の数は変化しません。例えば、${\displaystyle (5\times 3)/3=(5/3)\times 3=5}$⁠ . ^{[ 12 ]}したがって、「6 ÷ 3 はいくつですか？」のような割り算の問題は、「3 に掛けると 6 になる数は何ですか？」という掛け算を含む等式に書き換え、その式が真となる値を求めることで解くことができます。記号的には、これらは次のように表すことができます。${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}={?}}$⁠そして同様に⁠${\displaystyle {?}\times 3=6}$⁠、そこで⁠${\displaystyle$ ?} ⁠ は各方程式で同じ未知量を表します。この場合、未知量は⁠です。${\displaystyle 2}$なぜなら​​${\displaystyle 2\times 3=6}$したがって​​${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}=2}$⁠ . ^{[ 13 ]}

ゼロ除算を含む類似の問題、${\displaystyle {\tfrac {6}{0}}={?}}$⁠、以下の条件を満たす未知量を決定する必要がある⁠${\displaystyle {?}\times 0=6}$しかし、どんな数でもゼロを掛けると6ではなく0になるので、6の代わりになる数は存在しない。${\displaystyle$ ?} ⁠正しい記述をするために。 ^{[ 14 ]}

問題が次のように変更された場合${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}={?}}$⁠、同等の乗法的な記述は⁠${\displaystyle {?}\times 0=0}$この場合、未知の量にどのような値を代入しても正しい式が得られるため、商として割り当てられる単一の数値は存在しない。${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$⁠ .

これらの困難のため、除数がゼロである商は伝統的に未定義とみなされ、ゼロによる除算は許可されていません。^{[ 15 ] [ 16 ]}

ゼロ除算を許容しない説得力のある理由は、それを許容すると誤謬につながるからである。

数値を扱う場合、ゼロ除算という不正な計算は簡単に見分けられます。例えば、次のようになります。

から⁠${\displaystyle 0\times 1=0}$そして​​${\displaystyle 0\times 2=0}$1つ手に入れる${\displaystyle 0\times 1=0\times 2}$キャンセル​​${\displaystyle 0}$両側から得られる${\displaystyle 1=2}$⁠、虚偽の陳述。

ここでの誤謬は、キャンセルすることが正当であるという前提から生じている。${\displaystyle 0}$他の数字と同じように、実際には、それは除算の一種である。${\displaystyle 0}$⁠ .

代数を使うと、ゼロ除算を偽装して無効な証明を得ることが可能です^{[ 17 ]}。例えば：^{[ 18 ]}

させよう${\displaystyle x=1}$両辺に を掛けます。${\displaystyle x}$取得するために${\displaystyle \textstyle x=x^{2}}$減算する​${\displaystyle 1}$両側から$${\displaystyle x-1=x^{2}-1.}$$右辺は因数分解でき、$${\displaystyle x-1=(x+1)(x-1).}$$両辺を で割る${\displaystyle x-1}$収穫量$${\displaystyle 1=x+1.}$$置換する${\displaystyle x=1}$収穫量$${\displaystyle 1=2.}$$

これは基本的に前の数値バージョンと同じ誤った計算ですが、ゼロ除算は次のように書いたため難読化されています。${\displaystyle 0}$⁠として⁠${\displaystyle x-1}$⁠ .

アフィン拡張された実数は実数 から得られる${\displaystyle \mathbb {R} }$2つの新しい数字を追加することによって${\displaystyle +\infty }$そして​​${\displaystyle -\infty }$⁠ はそれぞれ「正の無限大」と「負の無限大」と読み、無限遠点を表します。 ⁠${\displaystyle \pm \infty }$⁠、無限大における極限の概念は、有限極限のように機能させることができます。正負両方の拡張実数を扱う場合、式⁠${\displaystyle 1/0}$⁠は通常未定義のままです。ただし、非負の値のみを考慮するコンテキストでは、 ⁠を定義すると便利な場合が多いです。${\displaystyle 1/0=+\infty }$⁠ .

セット​${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$は射影的に拡張された実数直線であり実数直線の1点コンパクト化である。ここで⁠${\displaystyle \infty }$は符号なし無限大または無限大点を意味し、正でも負でもない無限量です。この量は次の式を満たします。${\displaystyle -\infty =\infty }$⁠、これはこの文脈では必要である。この構造では、${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}=\infty }$非ゼロに対して定義可能${\displaystyle a}$⁠、そして⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{\infty }}=0}$⁠のとき⁠${\displaystyle a}$⁠は ⁠ではありません⁠${\displaystyle \infty }$これは、三角関数の正接関数と余接関数の範囲を自然な視点から捉える方法です。${\displaystyle \tan x}$は無限遠の一点に近づく。${\displaystyle x}$どちらのアプローチも${\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}\pi }$または​​${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi }$どちらの方向からでも。

この定義は多くの興味深い結果をもたらします。しかし、結果として得られる代数構造は体ではなく、体のように振る舞うことを期待すべきではありません。例えば、${\displaystyle \infty +\infty }$⁠ は、この実数直線の拡張において未定義です。

複素解析は、複素数における微積分学の概念を応用する学問である。この学問において特に重要なのは拡張複素数である。${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$⁠、1つの追加の数が付加された複素数の集合。通常は無限大記号で表される。${\displaystyle \infty }$⁠そして無限遠点を表し、それはすべての外部領域に含まれるように定義され、それらを位相的近傍とする。

これは直感的には、複素平面の無限の辺を包み込み、それらを一点で固定することと考えることができる。${\displaystyle \infty }$1点コンパクト化により、拡張複素数は位相的に球面と等価になります。この等価性は、各複素数を逆立体射影によって球面上の点にマッピングすることで計量的な等価性に拡張でき、結果として得られる球面距離が複素数間の距離の新しい定義として適用されます。一般に、球面の幾何学は複素演算を用いて研究でき、逆に複素演算は球面幾何学の観点から解釈できます。結果として、拡張複素数の集合はしばしばリーマン球面と呼ばれます。この集合は通常、アスタリスク、オーバーライン、チルダ、またはサーカムフレックスで装飾された複素数の記号で表されます。たとえば、${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$⁠ .

拡張複素数では、ゼロでない任意の複素数に対して、${\displaystyle z}$通常の複素数演算は、追加の規則によって拡張されます。${\displaystyle {\tfrac {z}{0}}=\infty }$⁠、 ⁠${\displaystyle {\tfrac {z}{\infty }}=0}$⁠、 ⁠${\displaystyle \infty +0=\infty }$⁠、 ⁠${\displaystyle \infty +z=\infty }$⁠、 ⁠${\displaystyle \infty \cdot z=\infty }$しかしながら、​${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$⁠、 ⁠${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$⁠、そして⁠${\displaystyle 0\cdot \infty }$は未定義のままです。

超実数では、ゼロによる除算は依然として不可能ですが、ゼロ以外の無限小による除算は可能です。^{[ 27 ]}超実数でも同様です。^{[ 28 ]}

分布理論では、関数を拡張することができる。${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$実数空間全体にわたる分布（実質的にはコーシー主値を用いる）に。しかし、この分布の「値」を で求めることは意味がない。${\displaystyle x=0}$⁠ ; 洗練された回答は、分布の特異なサポートを指します。

行列代数では、正方形または長方形の数値ブロックは、あたかも数値そのもののように操作されます。行列は加算および乗算でき、場合によっては除算も存在します。行列で割るということは、より正確には、その逆行列を掛けることを意味します。すべての行列に逆行列があるわけではありません。^{[ 29 ]}例えば、ゼロのみを含む行列は逆行列ではありません。

擬似除算は、以下のように設定することで定義できます。${\displaystyle \textstyle a/b=ab^{+}}$⁠、その中で⁠${\displaystyle \textstyle b^{+}}$はの擬似逆行列を表します${\displaystyle b}$⁠。もし ならば、次のことが証明できる。${\displaystyle \textstyle b^{-1}}$存在する場合、${\displaystyle \textstyle b^{+}=b^{-1}}$⁠ . もし⁠${\displaystyle b=0}$⁠、それから⁠${\displaystyle \textstyle b^{+}=0}$⁠ .

抽象代数学では、整数、有理数、実数、複素数は、可換環のようなより一般的な代数構造に抽象化できます。可換環とは、加算、減算、乗算はより馴染みのある数体系と同様に振る舞いますが、除算は定義されない数学的構造です。可換環に乗法逆元を付加することを局所化と呼びます。ただし、すべての可換環のゼロにおける局所化は自明環であり、ここで⁠${\displaystyle 0=1}$したがって、非自明な可換環はゼロに逆元を持たないため、非自明な可換環ではゼロ除算は定義されません。

しかしながら、可換環を形成する任意の数体系は、ゼロ除算が常に可能なホイールと呼ばれる構造に拡張することができる。 ^{[ 30 ]}ただし、結果として得られる数学的構造は、乗法が加算に対して分配法則を満たさなくなるため、もはや可換環ではない。さらに、ホイールでは、要素をそれ自身で除算しても、乗法単位元 は得られない。${\displaystyle 1}$⁠、そして元のシステムが整域であった場合、ホイールでの乗算はもはや消去可能な半群をもたらさない。

標準算術に適用される概念は、環や体などのより一般的な代数構造における概念と類似しています。体では、すべての非ゼロ要素は乗法に関して可逆です。前述のように、除法はゼロで除算しようとした場合にのみ問題が生じます。これは、斜体（このため、除算環と呼ばれます）でも同様です。しかし、他の環では、非ゼロ要素による除算も問題となる場合があります。たとえば、環⁠${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$整数の法則6。式の意味${\displaystyle {\tfrac {2}{2}}}$解決策となるべきである${\displaystyle x}$方程式の​${\displaystyle 2x=2}$しかしリングの中では${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$⁠、 ⁠${\displaystyle 2}$は零因子です。この方程式には2つの異なる解があります。${\displaystyle x=1}$そして​​${\displaystyle x=4}$⁠、したがって表現⁠${\displaystyle {\tfrac {2}{2}}}$⁠は未定義です。

場の理論では、式⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$は正式な表現の略記にすぎません。${\displaystyle \textstyle ab^{-1}}$⁠、そこで⁠${\displaystyle \textstyle b^{-1}}$はの乗法逆元です${\displaystyle b}$⁠。体公理は非零要素に対してのみそのような逆元の存在を保証するため、この式は⁠の場合には意味を持ちません。${\displaystyle b}$⁠はゼロです。現代の文献では、体（フィールド）を特殊なタイプの環として定義しており、次の公理が含まれています。${\displaystyle 0\neq 1}$⁠体 (またはそれに相当するもの) に対して、零環が体にならないようにします。零環では零による除算が可能であるため、他の体の公理だけでは、体を定義する際に零による除算を排除するには不十分であることがわかります。

コンピュータにおいて、ほとんどの数値計算は浮動小数点演算で行われます。浮動小数点演算は1980年代以降、IEEE 754規格によって標準化されています。IEEE浮動小数点演算では、数値は符号（正または負）、固定精度の仮数、および整数指数を用いて表現されます。指数が大きすぎて表現できない数値は、代わりに正または負の無限大（+∞または−∞）に「オーバーフロー」し、指数が小さすぎて表現できない数値は、代わりに正または負のゼロ（+0または−0）に「アンダーフロー」します。NaN （非数）値は、未定義の結果を表します。

IEEE 算術では、0/0 または ∞/∞ の除算は NaN になりますが、それ以外の除算は常に明確な結果を生成します。ゼロ以外の数を正のゼロ (+0) で割ると、被除数と同じ符号の無限大になります。ゼロ以外の数を負のゼロ(−0) で割ると、被除数とは反対の符号の無限大になります。この定義により、算術アンダーフローの場合でも結果の符号が保持されます。^{[ 31 ]}

例えば、単精度IEEE演算を使用する場合、${\displaystyle \textstyle x=-2^{-149}}$⁠、それから⁠${\displaystyle x/2}$⁠地下水が⁠${\displaystyle -0}$⁠、そして分割する⁠${\displaystyle 1}$この結果によって、${\displaystyle 1/(x/2)=-\infty }$正確な結果${\displaystyle \textstyle -2^{150}}$は単精度数として表現するには大きすぎるため、代わりに同じ符号の無限大を使用してオーバーフローを示します。

整数除算は、結果に整数表現がないため、通常は浮動小数点除算とは異なる方法で処理されます。CPUによって動作が異なります。たとえば、x86プロセッサはハードウェア例外を発生させますが、PowerPCプロセッサは除算に対して誤った結果を黙って生成して処理を続行し、ARMプロセッサはハードウェア例外を発生させるかゼロを返すかのいずれかになります。^{[ 32 ]}このプラットフォーム間の不一致のため、CおよびC++プログラミング言語では、ゼロ除算の結果は未定義の動作とみなされます。^{[ 33 ]} Pythonなどの一般的な高レベルプログラミング言語では、^{[ 34 ]}ゼロ除算を試みると例外が発生し、プログラムの別の部分で処理できます。

RocqやLeanなどの多くの証明支援システムは、1/0 = 0と定義しています。これは、すべての関数を合計にするためです。このような定義は矛盾を生み出しません。なぜなら、さらなる操作（打ち消しなど）には依然としてゼロでない除数が必要だからです。^{[ 35 ] [ 36 ]}