算術アンダーフロー

算術アンダーフロー(浮動小数点アンダーフロー、または単にアンダーフローとも呼ばれる) という用語は、計算の結果が、コンピュータが中央処理装置(CPU)のメモリで実際に表現できる数値よりも正確な絶対値になるコンピュータ プログラムの状態を指します。

算術アンダーフローは、浮動小数点演算の真の結果が、ターゲットデータ型の通常の浮動小数点数として表現できる最小値よりも絶対値​​が小さい（つまり、ゼロに近い）場合に発生する可能性があります。^{[1]アンダーフローは、部分的には、浮動小数点値の}指数の負のオーバーフローと見なすことができます。たとえば、指数部分が -128 から 127 までの値を表すことができる場合、-128 未満の値の結果はアンダーフローを引き起こす可能性があります。

整数の場合、「整数アンダーフロー」という用語は通常、減算の結果が特定の整数型で許可されている最小値よりも小さい値になる特殊な種類の整数オーバーフローまたは整数ラップアラウンド状態を指します。つまり、理想的な結果は、負の無限大に最も近い出力型の表現可能な値よりも負の無限大に近くなります。^{[2] [3] [4] [5] [6]}

− ゼロからfminNまでの間隔（ここでfminNは最小の正の通常の浮動小数点値）は、アンダーフローギャップと呼ばれます。これは、この間隔のサイズが、ギャップのすぐ外側にある隣接する通常の浮動小数点値間の距離よりも桁違いに大きいためです。たとえば、浮動小数点データ型が 20ビットを表現できる場合、アンダーフローギャップは、ギャップのすぐ外側にある隣接する浮動小数点値間の絶対距離の 2 ²¹倍になります。^[7]

古い設計では、アンダーフロー ギャップに使用できる値は 0 のみでした。アンダーフローが発生すると、実際の結果は 0 に置き換えられました (ハードウェアによって直接、またはプライマリ アンダーフロー条件を処理するシステム ソフトウェアによって)。この置き換えは、「ゼロへのフラッシュ」と呼ばれます。

IEEE 754の 1984 年版では、非正規数が導入されました。非正規数 (ゼロを含む) は、アンダーフロー ギャップを、隣接する値間の絶対距離がアンダーフロー ギャップのすぐ外側の隣接する値と同じである値で埋めます。これにより、「段階的アンダーフロー」が可能になり、可能な場合は最も近い正規値が使用されるのと同様に、最も近い非正規値が使用されるようになります。段階的アンダーフローを使用する場合でも、最も近い値はゼロになることがあります。^[8]

ギャップのすぐ外側にある隣接する浮動小数点値間の絶対距離はマシンイプシロンと呼ばれ、通常、その浮動小数点方式で値 1 と加算すると値 1 になる最大値によって特徴付けられます。^[9]これは と表記され、 は実数値を浮動小数点表現に変換する関数です。マシンイプシロンはアンダーフローレベル (非正規数を想定) と混同しないでください。両者は密接に関連しています。マシンイプシロンは仮数部を構成するビット数に依存し、アンダーフローレベルは指数部を構成する桁数に依存します。ほとんどの浮動小数点システムでは、アンダーフローレベルはマシンイプシロンよりも小さくなります。 ${\displaystyle fl(1+\epsilon )=fl(1)}$${\displaystyle fl()}$

アンダーフローが発生すると、(「スティッキー」) ステータス ビットが設定されたり、例外が発生したり、ハードウェア レベルで割り込みが生成されたり、これらの影響の組み合わせが発生したりすることがあります。

IEEE 754で規定されているように、アンダーフロー状態は精度の損失がある場合にのみ通知されます。通常、これは最終結果が不正確であると判断されます。ただし、ユーザーがアンダーフローをトラップしている場合は、精度の損失を考慮してもこれが発生する可能性があります。IEEE 754 でのアンダーフロー (およびその他の例外) のデフォルトの処理は、アンダーフローが発生したことを浮動小数点ステータスとして記録することです。これはアプリケーション プログラミング レベルで規定されていますが、ハードウェア レベルでの処理方法として解釈されることもよくあります。

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