大圏距離

大圏距離、正距距離、または球面距離は、球面上の2点間の距離であり、それらの間の大圏弧に沿って測定されます。この弧は、球面上の 2 点間の最短経路です。(比較すると、球の内部を通過する最短経路は、2 点間の 弦です。)

曲面上では、直線の概念は、より一般的な測地線の概念に置き換えられます。測地線とは、表面に対して局所的に直線となる曲線のことです。球面上の測地線は大円、つまり中心が球の中心と一致する円です。

球面上の 2 つの異なる点が正反対(正反対) でない場合、その 2 点はいずれも 1 つの大円上に位置し、その大円は 2 つの弧に分割されます。短い方の弧の長さが、点間の大円距離です。この弧の長さは、点間の中心角に比例します。中心角をラジアンで測定した場合、球の半径で拡大すると、弧の長さが得られます。2 つの正反対の点はいずれも、無限の数の大円上に位置し、各大円は半径の π倍の長さの 2 つの弧に分割されます。

大圏距離の決定は、終点と中間地点での方位角も計算する大圏航法というより一般的な問題の一部です。地球はほぼ球形なので、地球上の地点の経度と測地緯度に適用される大圏距離の公式の精度は約0.5%以内です。^[1]

2点1と2の地理的な経度と緯度をそれぞれととし、それらの絶対差を とすると、それらの間の中心角 は、極の1つを球面上の補助的な3番目の点として使用すると、球面余弦定理によって与えられます。 ^[2]${\displaystyle \lambda _{1},\phi _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2},\phi _{2}}$${\displaystyle \Delta \lambda ,\Delta \phi }$${\displaystyle \デルタ\sigma}$

${\displaystyle \Delta \sigma =\arccos {\bigl (}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda {\bigr )}.}$

この問題は通常、中心角を求めることで表現されます。この角度をラジアンで表すと、半径rの球面上の実際の弧の長さdは次のように簡単に計算できます。 ${\displaystyle \デルタ\sigma}$

${\displaystyle d=r\,\Delta \sigma .}$

中心角は単位球の弦の長さと関係があります。 ${\displaystyle \デルタ\sigma}$${\displaystyle \Delta \sigma _{\text{c}}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=2\arcsin {\frac {\Delta \sigma _{\text{c}}}{2}},\\\Delta \sigma _{\text{c}}&=2\sin {\frac {\Delta \sigma }{2}}.\end{aligned}}}$

短距離近似（）の場合、 ${\displaystyle |\Delta \sigma _{\text{c}}|\ll 1}$

${\displaystyle \Delta \sigma =\Delta \sigma _{\text{c}}\left(1+{\frac {1}{24}}\left(\Delta \sigma _{\text{c}}\right)^{2}+\cdots \right).}$

浮動小数点精度の低いコンピュータシステムでは、距離が短い場合、球面余弦法則の公式は大きな丸め誤差を持つ可能性があります（地球の表面で2つの点が1キロメートル離れている場合、中心角の余弦は0.99999999に近くなります）。現代の64ビット浮動小数点数では、上記の球面余弦法則の公式は、地球の表面で数メートルを超える距離に対して深刻な丸め誤差を持ちません。^[3]弦長の関係を使用することで、短距離に対してはハーバーサイン法則の数値的条件が改善されます。^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\operatorname {archav} \left(\operatorname {hav} \left(\Delta \phi \right)+\left(1-\operatorname {hav} (\Delta \phi )-\operatorname {hav} (\phi _{1}+\phi _{2})\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)\right).\end{aligned}}}$

歴史的に、この式の使用は、ハーバーサイン関数の表とが利用可能であったために簡素化され ました。${\displaystyle \operatorname {hav} \theta =\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$${\displaystyle \operatorname {archav} x=2\arcsin {\sqrt {x}}}$

以下に弦の長さを明示的に表す同等の式を示します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma _{\text{c}}&=2{\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)+\cos {\phi _{1}}\cdot \cos {\phi _{2}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}\ ,\\&=2{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}\ 、\end{aligned}}}$

どこ。 ${\displaystyle \phi _{\text{m}}={\tfrac {1}{2}}(\phi _{1}+\phi _{2})}$

この公式は球面上のほとんどの距離に対して正確ですが、対蹠点の特殊な（そしてやや珍しい）ケースでは丸め誤差が生じます。すべての距離に対して正確な公式は、長軸と短軸が等しい楕円体に対するヴィンセンティの公式の次の特殊なケースです。 ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma ={\operatorname {atan2} }{\Bigl (}&{\sqrt {\left(\cos \phi _{2}\sin \Delta \lambda \right)^{2}+\left(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda \right)^{2}}},\\&\quad {\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \Delta \lambda }{\Bigr )},\end{aligned}}}$

ここで、⁠ ⁠ は${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$2 つの引数を持つ逆正接です。atan2 を使用すると、正しい象限が選択されます。

同様の式の別の表現では、位置を記述するために緯度と経度の代わりに法線ベクトルを使用しますが、これは3Dベクトル代数、内積、外積、またはその組み合わせを使用して求められます。^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\arccos \left(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}\right)\\&=\arcsin \left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|\\&=\arctan {\frac {\left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|}{\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}}}\\\end{aligned}}}$

ここで、 および は、2 つの位置 1 と 2 における球の法線です。緯度と経度に基づく上記の式と同様に、arctan に基づく式は、すべての角度 に対して条件が満たされる唯一の式です。arctan に基づく式では、内積に対する外積の大きさが必要です。 ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$

球状の地球上の 3 次元空間上の各点を結ぶ線は、各点を結ぶ大円の弦です。弦の長さから 2 点間の中心角を決定できます。大円の距離は中心角に比例します。

大円弦の長さは、対応する単位球に対して、直交座標の減算によって次のように計算できます。 ${\displaystyle \Delta \sigma _{\text{c}}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos \phi _{2}\cos \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\cos \lambda _{1};\\\Delta {Y}&=\cos \phi _{2}\sin \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\sin \lambda _{1};\\\Delta {Z}&=\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1};\\\Delta \sigma _{\text{c}}&={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}.\end{aligned}}}$

とを代入すると、この式は、§ 計算式で示した形式に代数的に操作できます。 ${\displaystyle \lambda _{1}=-{\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda }$${\displaystyle \lambda _{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta \lambda }$

地球の形状は、赤道半径が6378.137 km の平らな球体（回転楕円体）によく似ており、回転楕円体の中心から各極までの距離は 6356.7523142 km です。赤道における短い南北線の長さを計算する場合、その線に最もよく近似する円の半径は（子午線の半緯度直角に等しい）、つまり 6335.439 km ですが、極における回転楕円体は半径 、つまり 6399.594 km の球に最もよく近似され、1% の差があります。地球が球体であると仮定されている限り、地球上の距離を表す単一の公式の正確さは 0.5% 以内しか保証されません（ただし、公式を限られた領域にのみ適用する場合は、精度を向上させることができます）。地球の平均半径（ WGS84楕円体の場合）を使用すると、小さな平坦化の限界において、距離の推定値における平均二乗相対誤差が最小化されることを意味します。 ^[7]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\textstyle {\frac {b^{2}}{a}}}$${\textstyle {\frac {a^{2}}{b}}}$${\textstyle R_{1}={\frac {1}{3}}(2a+b)\approx 6371.009{\text{ km}}}$

500キロメートル未満の距離と極外では、楕円体地球のユークリッド近似（FCCの公式）がより単純でより正確です（0.1％まで）。^[8]

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