割り算が常に定義される代数
ゼロの点（⊥ で示される）を持つ 実射影直線 としての車輪の図。 ホイール は、除算が常に定義されている 代数 の一種です（ 普遍代数 の意味で ）。特に、 ゼロ除算は 意味があります。 実数は ホイールに拡張でき、 任意の可換環 も同様に拡張できます。
ホイール という用語は、 実射影直線 と 追加の点 ⊥ （ 底要素 ）を組み合わせた 位相的な 描像 に由来しています 。
⊙
{\displaystyle \odot}
⊥ = 0
/
0
{\displaystyle \bot =0/0}
ホイールは 可換環 （および 半環 ）と等価なものとみなすことができる。ここで、加算と乗算は 群で はなく、それぞれ 可換モノイド と 反転を 含む 可換モノイド である。
意味 車輪は 代数構造 であり、
（ わ 、 0 、 1 、 + 、 ⋅ 、
/
）
{\displaystyle (W,0,1,+,\cdot ,/)}
わ
{\displaystyle W}
集合である、
0
{\displaystyle {}0}
そして その集合の要素である、
1
{\displaystyle 1}
+
{\displaystyle +}
およびは 二項演算 であり 、
⋅
{\displaystyle \cdot}
/
{\displaystyle }}
は単項演算で あり 、 以下の特性を満たします。
+
{\displaystyle +}
および は それぞれ 交換可能 かつ 結合的 であり、 および を それぞれの恒等 式 として持ちます。
⋅
{\displaystyle \cdot}
0
{\displaystyle \,0}
1
{\displaystyle 1}
/
{\displaystyle }}
は退化 であり 、例えば
/
/
x = x
{\displaystyle //x=x}
/
{\displaystyle }}
は乗法で ある 。例えば
/
（ x ええ ） =
/
x
/
ええ
{\displaystyle /(xy)=/x/y}
（ x + ええ ） ず + 0 ず = x ず + ええ ず
{\displaystyle (x+y)z+0z=xz+yz}
（ x + ええ ず ）
/
ええ = x
/
ええ + ず + 0 ええ
{\displaystyle (x+yz)/y=x/y+z+0y}
0 ⋅ 0 = 0
{\displaystyle 0\cdot 0=0}
（ x + 0 ええ ） ず = x ず + 0 ええ
{\displaystyle (x+0y)z=xz+0y}
/
（ x + 0 ええ ） =
/
x + 0 ええ
{\displaystyle /(x+0y)=/x+0y}
0
/
0 + x = 0
/
0
{\displaystyle 0/0+x=0/0}
車輪の代数 Wheelsは、通常の二項演算としての除算を乗算に置き換え、1つの引数に単項演算を適用します。これは 乗法逆数 に類似していますが、同一ではありません。そのため、 は の省略 形になります が、一般に は や の省略形にはなりません。また、 代数 の規則を 次のように
変更します。
/
x
{\displaystyle /x}
x
− 1
{\displaystyle x^{-1}}
1つの
/
b
{\displaystyle a/b}
1つの ⋅
/
b =
/
b ⋅ 1つの
{\displaystyle a\cdot /b=/b\cdot a}
1つの ⋅
b
− 1
{\displaystyle a\cdot b^{-1}}
b
−
1
⋅
a
{\displaystyle b^{-1}\cdot a}
0
x
≠
0
{\displaystyle 0x\neq 0}
一般的なケースでは
x
/
x
≠
1
{\displaystyle x/x\neq 1}
一般的なケースでは、 は の 逆数 と同じではありません 。
/
x
{\displaystyle /x}
x
{\displaystyle x}
派生する可能性のある他のアイデンティティは
0
x
+
0
y
=
0
x
y
{\displaystyle 0x+0y=0xy}
x
/
x
=
1
+
0
x
/
x
{\displaystyle x/x=1+0x/x}
x
−
x
=
0
x
2
{\displaystyle x-x=0x^{2}}
ここで、否定は によって定義され 、 と なる 要素が存在する場合 (したがって、一般的なケースでは ) です。
−
x
{\displaystyle -x}
−
x
=
a
x
{\displaystyle -x=ax}
x
−
y
=
x
+
(
−
y
)
{\displaystyle x-y=x+(-y)}
a
{\displaystyle a}
1
+
a
=
0
{\displaystyle 1+a=0}
x
−
x
≠
0
{\displaystyle x-x\neq 0}
しかし、およびを 満たす の値に対しては 、通常
x
{\displaystyle x}
0
x
=
0
{\displaystyle 0x=0}
0
/
x
=
0
{\displaystyle 0/x=0}
x
/
x
=
1
{\displaystyle x/x=1}
x
−
x
=
0
{\displaystyle x-x=0}
否定が上記のように定義できる場合、 部分集合は 可換環 であり 、すべての可換環はホイールのそのような部分集合です。 が 可換環の 可逆要素 である場合、 です 。したがって、 が意味をなすときはいつでも は に等しくなります が、 の場合でも後者は常に定義されます 。
{
x
∣
0
x
=
0
}
{\displaystyle \{x\mid 0x=0\}}
x
{\displaystyle x}
x
−
1
=
/
x
{\displaystyle x^{-1}=/x}
x
−
1
{\displaystyle x^{-1}}
/
x
{\displaystyle /x}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
例
分数の輪 を可換環とし 、 を の 乗法 部分モノイド とする。上 の 合同関係を を介して
定義する。
A
{\displaystyle A}
S
{\displaystyle S}
A
{\displaystyle A}
∼
S
{\displaystyle \sim _{S}}
A
×
A
{\displaystyle A\times A}
(
x
1
,
x
2
)
∼
S
(
y
1
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})}
となるもの が存在することを意味します 。
s
x
,
s
y
∈
S
{\displaystyle s_{x},s_{y}\in S}
(
s
x
x
1
,
s
x
x
2
)
=
(
s
y
y
1
,
s
y
y
2
)
{\displaystyle (s_{x}x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_{2})}
の 分数の輪を に対する 商として 定義し（ を含む 同値類 を として 表す ）、次の演算で
A
{\displaystyle A}
S
{\displaystyle S}
A
×
A
/
∼
S
{\displaystyle A\times A~/{\sim _{S}}}
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2})}
[
x
1
,
x
2
]
{\displaystyle [x_{1},x_{2}]}
0
=
[
0
A
,
1
A
]
{\displaystyle 0=[0_{A},1_{A}]}
（加法的な恒等式）
1
=
[
1
A
,
1
A
]
{\displaystyle 1=[1_{A},1_{A}]}
（乗法恒等式）
/
[
x
1
,
x
2
]
=
[
x
2
,
x
1
]
{\displaystyle /[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]}
（相互操作）
[
x
1
,
x
2
]
+
[
y
1
,
y
2
]
=
[
x
1
y
2
+
x
2
y
1
,
x
2
y
2
]
{\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]}
（加算演算）
[
x
1
,
x
2
]
⋅
[
y
1
,
y
2
]
=
[
x
1
y
1
,
x
2
y
2
]
{\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]}
（乗算演算）
射影直線とリーマン球面 上記の特殊なケースでは、体から始まり、 底 部要素 ⊥ を 接合することで、ホイールに延長された 射影直線 が生成されます。 ここで、射影直線は、 体内の任意の要素に対して、要素 による元の体の延長です。ただし、 射影 直線 上 では はまだ定義されていませんが、ホイールへの延長では定義されています。
0
/
0
=
⊥
{\displaystyle 0/0=\bot }
∞
{\displaystyle \infty }
z
/
0
=
∞
{\displaystyle z/0=\infty }
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
0
/
0
{\displaystyle 0/0}
実数 から始めると 、対応する射影「直線」は幾何学的には 円 となり、追加の点によって 「車輪」という用語の由来となる形状が得られます。または、代わりに 複素数 から始めると、対応する射影「直線」は球面（ リーマン球面 ）となり、追加の点によって 3 次元バージョンの車輪が得られます。
0
/
0
{\displaystyle 0/0}
参照
引用
参考文献 セッツァー、アントン（1997）、Wheels （PDF） （草稿） Carlström, Jesper (2004)、「Wheels – On Division by Zero」、 Mathematical Structures in Computer Science 、 14 (1)、 Cambridge University Press : 143–184、 doi :10.1017/S0960129503004110、 S2CID 11706592 （こちらからオンラインでもご購入いただけます）。 A, BergstraJ; V, TuckerJ (2007 年 4 月 1 日)。「抽象データ型としての有理数」。Journal of the ACM。54 ( 2): 7. doi : 10.1145/1219092.1219095. S2CID 207162259。 Bergstra, Jan A.; Ponse, Alban (2015)。「コモン メドウズにおけるゼロ除算」。 ソフトウェア、サービス、システム: プログラミングおよびソフトウェア エンジニアリングの教授職を退任した Martin Wirsing に捧げるエッセイ 。コンピュータ サイエンスの講義ノート 。8950。Springer International Publishing : 46–61。arXiv : 1406.6878。doi :10.1007 / 978-3-319-15545-6_6。ISBN 978-3-319-15544-9 . S2CID 34509835。 
.png/500px-Real_Wheel_(Wheel_theory).png)
![{\displaystyle [x_{1},x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91bdff343d848c2b70c68b5c04a2479b14a9fef0)
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