リーマン球面

数学において、リーマン球面は、ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられ、 ^[1]拡張された複素平面（閉じた複素平面とも呼ばれる）のモデルであり、複素平面に無限大の点を加えたものです。この拡張された平面は拡張された複素数、つまり複素数に無限大の値を加えたものを表します。リーマンモデルでは、点は非常に大きな数に近いだけでなく、点は非常に小さな数に近いです。 ${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle 0}$

拡張複素数は、状況によってはゼロ除算が可能で、 などの式が適切に動作するようになるため、複素解析に役立ちます。たとえば、複素平面上の任意の有理関数は、有理関数の極が無限大にマッピングされた、リーマン球面上の正則関数に拡張できます。より一般的には、任意の有理型関数は、その余地がリーマン球面で ある正則関数と考えることができます。${\displaystyle 1/0=\infty}$

幾何学において、リーマン球面はリーマン面の典型的な例であり、最も単純な複素多様体の一つである。射影幾何学において、球面は複素射影空間の一例であり、複素射影直線 、すなわち、内のすべての複素直線の射影空間として考えることができる。任意のコンパクトなリーマン面と同様に、球面は射影代数曲線として見ることもできるため、代数幾何学における基本的な例となっている。また、量子力学のブロッホ球面や物理学の他の分野など、解析学と幾何学に依存する他の分野でも有用である。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

拡張複素数は、複素数と で構成されます。拡張複素数の集合は と表記され、文字 に何らかの装飾を加えて次のように表されることがよくあります。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \mathbf {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }},\quad {\overline {\mathbf {C} }},\quad {\text{または}}\quad \mathbf {C} _{\infty }.}$

表記法も使用されているが、この表記法は穴あき平面にも使用されるため、曖昧さが生じる可能性がある。^[2]${\displaystyle \mathbf {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {C} \setminus \{0\}}$

幾何学的には、拡張された複素数の集合はリーマン球面（または拡張された複素平面）と呼ばれます。

複素数の加算は、 に対して、 を定義することによって拡張できる。 ${\displaystyle z\in \mathbf {C} }$

${\displaystyle z+\infty =\infty }$

任意の複素数に対して、乗算は次のように定義される。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z\times \infty =\infty }$

非零の複素数 に対してが成り立ちます。とは未定義のままであることに注意してください。 複素数とは異なり、拡張複素数は加法逆数も乗法逆数も持たないため、体 を形成しません。 それでも、 の除算を で定義するのが慣例です。${\displaystyle z}$${\displaystyle \infty \times \infty =\infty }$${\displaystyle \infty -\infty }$${\displaystyle 0\times \infty }$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \mathbf {C} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle {\frac {z}{0}}=\infty \quad {\text{and}}\quad {\frac {z}{\infty }}=0}$

および を満たすすべての非ゼロ複素数に対して。商および は未定義のままになります。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \infty /0=\infty }$${\displaystyle 0/\infty =0}$${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle \infty /\infty }$

任意の有理関数 （言い換えると、は複素係数を持つ多項式関数と の比で、 と には共通因数がない）は、リーマン球面上の連続関数に拡張できます。具体的には、 が分母がゼロで分子がゼロでない複素数である場合、は と定義できます。さらに、はの極限として定義でき、 は有限または無限大になることがあります。 ${\displaystyle f(z)=g(z)/h(z)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle h(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle h(z)}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle h(z_{0})}$${\displaystyle g(z_{0})}$${\displaystyle f(z_{0})}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle f(\infty )}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle z\to \infty }$

複素有理関数の集合（数学記号は ）は、リーマン面として見た場合、どこでも値を取る定数関数を除いて、リーマン球面からそれ自身への可能なすべての正則関数を形成します。 の関数は、球面 上の有理関数体として知られる代数体を形成します。 ${\displaystyle \mathbf {C} (z)}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \mathbf {C} (z)}$

例えば、関数

${\displaystyle f(z)={\frac {6z^{2}+1}{2z^{2}-50}}}$

分母が ではゼロなのでを定義でき、のときはなので を定義できます。これらの定義を用いると、 はリーマン球面からそれ自身への連続関数になります。 ${\displaystyle f(\pm 5)=\infty }$${\displaystyle \pm 5}$${\displaystyle f(\infty)=3}$${\displaystyle f(z)\to 3}$${\displaystyle z\to \infty }$${\displaystyle f}$

1 次元複素多様体として、リーマン球面は 2 つの図で記述できます。どちらの図も、定義域は複素数平面に等しくなります。を の 1 つのコピー内の複素数とし、を の別のコピー内の複素数とします。最初の の非ゼロの複素数をそれぞれ2 番目の の非ゼロの複素数と同一視します。すると、写像 ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle 1/\xi}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$

は、 の 2 つのコピー (いわゆるチャート) 間の遷移マップと呼ばれ、それらを貼り合わせます。遷移マップは正則なので、リーマン球面と呼ばれる複素多様体を定義します。1 つの複素次元 (つまり、2 つの実次元) の複素多様体であるため、これはリーマン面とも呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$

直感的に、遷移マップは 2 つの平面を接着してリーマン球面を形成する方法を示しています。平面は「裏返し」の方法で接着されるため、ほぼすべての場所で重なり合い、各平面は他の平面に欠けている 1 つの点 (その原点) のみを追加します。言い換えると、リーマン球面の (ほぼ) すべての点には値と値の両方があり、2 つの値は によって関連付けられます。この場合、 の点は-値 " "になります。この意味で、 - チャートの原点は- チャートの の役割を果たします。対称的に、 - チャートの原点は- チャートの の役割を果たします。 ${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \zeta =1/\xi }$${\displaystyle \xi =0}$${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \xi}$

位相的には、結果として得られる空間は、平面を球面に1 点コンパクト化したものです。しかし、リーマン球面は単なる位相球面ではありません。これは、明確に定義された複素構造を持つ球面であり、球面上のすべての点の周りには、 と双正則同型的に同一視できる近傍が存在します。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$

一方、リーマン面の分類における中心的な結果である均一化定理は、すべての単連結リーマン面は複素平面、双曲平面、またはリーマン球面と双正則であると述べています。これらのうち、リーマン球面は閉じた面（境界のないコンパクトな面）である唯一のものです。したがって、2次元球面は、それを1次元複素多様体に変換する唯一の複素構造を許容します。

リーマン球面は、複素射影直線として定義することもできます。複素射影直線の点は、複素ベクトル空間内の非ヌルベクトルの同値類として定義できます。つまり、2 つの非ヌルベクトルとが同値である ためには、ある非ゼロ係数が必要です。 ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$${\displaystyle (w,z)}$${\displaystyle (u,v)}$${\displaystyle (w,z)=(\lambda u,\lambda v)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbf {C} }$

この場合、同値類は射影座標を使って表される。複素射影直線上の任意の点が与えられたとき、とのどちらかがゼロ以外、つまり でなければならない。すると、同値の概念により、となる。これはリーマン球面多様体の図表にある。^[3]${\displaystyle [w,z]}$${\displaystyle [w,z]}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w\neq 0}$${\displaystyle [w,z]=\left[1,z/w\right]}$

リーマン球面のこの扱いは、射影幾何学に最も簡単に結びつきます。たとえば、複素射影平面上の任意の直線 (または滑らかな円錐) は、複素射影直線と双正則です。また、この記事の後半で球面の自己同型を調べるのにも便利です。

リーマン球面は、3次元実空間 における単位球面として視覚化できます。このために、単位球面から点を引いたものを、複素平面 によって同一視する平面 への立体投影を考えます。球面上の直交座標と球座標（天頂と方位）では、投影は次のようになります 。${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle z=0,}$${\displaystyle \zeta =x+iy}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {x+iy}{1-z}}={\cot }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{i\varphi }.}$

同様に、複素平面の別のコピーと同一視される平面へのからの立体射影は次のように書かれる。 ${\displaystyle (0,0,-1)}$${\displaystyle z=0,}$${\displaystyle \xi =x-iy,}$

${\displaystyle \xi ={\frac {x-iy}{1+z}}={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e ^{-i\varphi }.}$

これら 2 つの立体射影の逆写像は、複素平面から球面への写像です。最初の逆写像は点 以外の球面を覆い、2 番目の逆写像は点 以外の球面を覆います。これらの写像の定義域である 2 つの複素平面は、球面上で一貫した向きを維持するために向きの反転が必要である ため、平面 とは異なって識別されます。${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle (0,0,-1)}$${\displaystyle z=0}$

-座標と-座標の間の遷移マップは、1 つの射影をもう 1 つの逆射影と合成することによって得られます。これらは、上で説明したように、およびになります。したがって、単位球面はリーマン球面と 微分同相です。${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \zeta =1/\xi }$${\displaystyle \xi =1/\zeta }$

この微分同相写像の下では、 - 図の単位円、 - 図の単位円、および単位球面の赤道はすべて同一視される。単位円は南半球 と同一視され、単位円は北半球 と同一視される。 ${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle |\zeta |<1}$${\displaystyle z<0}$${\displaystyle |\xi |<1}$${\displaystyle z>0}$

リーマン面には、特定のリーマン計量は備わっていません。しかし、リーマン面の共形構造は、計量のクラス、つまり、与えられたものを従属共形構造とするすべての計量を決定します。さらに詳しく言うと、リーマン面の複素構造は、共形同値まで計量を一意に決定します。(2 つの計量が、正の滑らかな関数を乗じて異なる場合、それらの計量は共形同値であると言われます。)逆に、向き付けられた面上の任意の計量は、共形同値 まで計量にのみ依存する複素構造を一意に決定します。したがって、向き付けられた面上の複素構造は、その面上の計量の共形クラスと 1 対 1 に対応します。

与えられた共形クラス内では、共形対称性を利用して、便利な特性を持つ代表的な計量を求めることができます。特に、与えられた共形クラスには、常に一定の曲率を持つ完全な計量があります。

リーマン球面の場合、ガウス・ボネの定理は、定曲率計量は正の曲率 を持つ必要があることを意味している。したがって、計量は立体射影を介して半径 の球面に等長でなければならない。リーマン球面上の -チャートでは、 の計量は次のように与えられる。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle K=1}$

${\displaystyle ds^{2}=\left({\frac {2}{1+|\zeta |^{2}}}\right)^{2}\,|d\zeta |^{2}={\frac {4}{\left(1+\zeta {\overline {\zeta }}\right)^{2}}}\,d\zeta \,d{\overline {\zeta }}.}$

実座標では、式は ${\displaystyle \zeta =u+iv}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{\left(1+u^{2}+v^{2}\right)^{2}}}\left(du^{2}+dv^{2}\right).}$

定数倍まで、この計量は複素射影空間（リーマン球面がその一例）上の 標準的なフビニ・スタディ計量と一致する。

スケーリングを除けば、これは球面上の唯一の計量であり、その方向保存等長変換群は 3 次元であり (3 次元を超えるものはない)、その群は と呼ばれます。この意味で、これは球面上の最も対称的な計量です。( として知られるすべての等長変換群も3 次元ですが、 とは異なり連結空間ではありません。) ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$${\displaystyle {\mbox{O}}(3)}$${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$

逆に、球面を（抽象的な滑らかな、または位相的な多様体として）表すとします。均一化定理により、共形同値を除いて 上に一意の複素構造が存在します。したがって、 上の任意の計量は、円形計量と共形的に同値です。このような計量はすべて、同じ共形幾何学を決定します。したがって、円形計量はリーマン球面の本質的なものではありません。なぜなら、「丸さ」は共形幾何学の不変量ではないからです。リーマン球面は共形多様体であり、リーマン多様体ではありません。ただし、リーマン球面上でリーマン幾何学を行う必要がある場合、円形計量が自然な選択です（任意の固定半径で、半径が最も単純で最も一般的な選択です）。これは、リーマン球面上の円形計量だけが、その等長変換群が 3 次元群であるためです。 (つまり、 として知られる群は、位相的には 3 次元射影空間である連続 (「リー」) 群です。) ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

あらゆる数学的対象を研究するには、その自己同型群を理解することが役立ちます。自己同型とは、対象からその対象自体への写像で、その対象自体の本質的な構造が保たれていることを意味します。リーマン球面の場合、自己同型とは、リーマン球面からその球自体への可逆な等角写像（つまり双正則写像）です。そのような写像は、メビウス変換だけであることがわかります。これらは、次の形式の関数です。

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},}$

ここで、、、、は となる複素数です。メビウス変換の例には、拡大、回転、平行移動、複素反転などがあります。実際、任意のメビウス変換は、これらの合成として表すことができます 。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle ad-bc\neq 0}$

メビウス変換は複素射影直線上のホモグラフィである。射影座標では、変換fは次のように書ける。

${\displaystyle [\zeta ,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [a\zeta +b,\ c\zeta +d]\ =\ \left[{\tfrac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},\ 1\right]\ =\ [f(\zeta ),\ 1].}$

したがって、メビウス変換は、非ゼロの行列式を持つ 2 行 2 列の複素行列として記述できます。これらは射影座標に作用するため、2 つの行列が同じメビウス変換を生成するのは、それらの行列が非ゼロの係数だけ異なる場合のみです。メビウス変換の群は射影線型群 です。 ${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$

リーマン球面にフビニ・スタディ計量を付与すると、すべてのメビウス変換が等長変換になるわけではありません。たとえば、拡大変換や並進変換は等長変換になりません。等長変換は の適切な部分群、つまりを形成します。この部分群は回転群と同型です。回転群は の単位球面の対称性の群です(これは球面に制限されると、球面の等長変換になります)。 ${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$${\displaystyle {\mbox{PSU}}(2)}$${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

複素解析において、複素平面（または任意のリーマン面）上の有理型関数は、 2 つの正則関数と の比です。複素数への写像としては、 が 0 の場合には定義されません。ただし、の場合でも明確に定義されている複素射影直線への正則写像を誘導します。この構成は、正則関数と有理型関数の研究に役立ちます。たとえば、コンパクトなリーマン面では、複素数への非定数正則写像は存在しませんが、複素射影直線への正則写像は豊富にあります。 ${\displaystyle f/g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (f,g)}$${\displaystyle g=0}$

リーマン球面は物理学で多くの用途がある。量子力学では、複素射影直線上の点は、光子の 偏光状態、質量を持つスピン粒子のスピン状態、および一般的な2状態粒子の自然な値である（量子ビットとブロッホ球も参照）。リーマン球面は、天球の相対論的モデルとして提案されている。^[4]弦理論では、弦の世界面はリーマン面であり、最も単純なリーマン面であるリーマン球面は重要な役割を果たしている。また、ツイスター理論でも重要である。 ${\displaystyle 1/2}$

• 等角幾何学
• クロスレシオ
• 子供の絵
• 有向無限
• ホップバンドル
• メビウス平面
• 並列（演算子） § プロパティ
• 射影的に拡張された実数直線
• スミスチャート
• 車輪理論

• ブラウン、ジェームズ & チャーチル、ルーエル (1989)。複素変数とその応用。ニューヨーク: マグロウヒル。ISBN 0-07-010905-2。
• ゴールドマン、ウィリアム・マーク（1999年）。複素双曲幾何学。オックスフォード：ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-853793-X。
• グリフィス、フィリップ & ハリス、ジョセフ (1978)。代数幾何学の原理。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-471-32792-1。
• ペンローズ、ロジャー（2007年）。『現実への道』ロンドン：ナショナルジオグラフィックブックス。ISBN 978-0-679-77631-4。
• リーマン、ベルンハルト (1857)。 「Theorie der Abel'schen Functionen」[アーベル関数の理論]。Journal für die reine und angewandte Mathematik (ドイツ語)。54：115-155。
• ルディン、ウォルター（1987年）。実解析と複素解析。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 0-07-100276-6。

ウィキメディア・コモンズには、リーマン球面に関連するメディアがあります。

• 「リーマン球面」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• メビウス変換の解明、ダグラス・N・アーノルドとジョナサン・ログネス著（ミネソタ大学の 2 人の教授が球面からの立体投影を使用してメビウス変換を説明し、図示するビデオ）