ツェルメロ・フランケル集合論

集合論 において、ツェルメロ-フランケル集合論は、数学者エルンスト・ツェルメロとアブラハム・フランケルにちなんで名付けられ、ラッセルのパラドックスなどのパラドックスのない集合論を定式化するために20世紀初頭に提案された公理体系である。今日、歴史的に議論の的となってきた選択公理(AC) を含むツェルメロ-フランケル集合論は、公理的集合論の標準的な形式であり、数学の最も一般的な基礎となっている。選択公理が含まれたツェルメロ-フランケル集合論はZFCと略され、Cは「選択」を表し、^[1] ZFは選択公理を除いたツェルメロ-フランケル集合論の公理を指す。

非公式には、^{[2]ツェルメロ-フランケル集合論は、}遺伝的 整 集合という単一の基本概念を形式化し、論議対象領域内のすべての実体がそのような集合となるようにすることを意図している。したがって、ツェルメロ-フランケル集合論の公理は純粋集合のみを参照し、そのモデルが純粋要素（それ自体は集合ではない要素）を含まないようにする。さらに、真正クラス（そのメンバーが共有する特性によって定義される数学的オブジェクトのコレクションで、コレクションが集合としては大きすぎる場合）は間接的にしか扱うことができない。具体的には、ツェルメロ-フランケル集合論は、普遍集合（すべての集合を含む集合）の存在も無制限の理解も認めず、それによってラッセルのパラドックスを回避している。フォン・ノイマン-バーネイス-ゲーデル集合論（NBG）は、ツェルメロ-フランケル集合論のよく使われる保守的な拡張であり、真正クラスの明示的な扱いを許可している。

ツェルメロ-フランケル集合論の公理には、同等の定式化が多数存在します。公理のほとんどは、他の集合から定義される特定の集合の存在を述べています。たとえば、ペアリング公理は、任意の2 つの集合とが与えられた場合、正確にと を含む新しい集合が存在すると述べています。その他の公理は、集合のメンバーシップの特性を説明しています。公理の目標は、フォン ノイマン宇宙(累積階層とも呼ばれる)内のすべての集合のコレクションに関するステートメントとして解釈された場合、各公理が真である必要があることです。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \{a,b\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

ツェルメロ-フランケル集合論のメタ数学は広範囲に研究されてきた。この分野における画期的な結果により、選択公理が他のツェルメロ-フランケル公理​​から独立していること、また連続体仮説がZFC から独立していることが証明された。ゲーデルの第 2 不完全性定理に示されているように、ZFC などの理論の一貫性は理論自体では証明できない。

集合論の現代的な研究は、1870年代にゲオルク・カントールとリヒャルト・デデキントによって始められました。しかし、ラッセルのパラドックスなど、素朴な集合論におけるパラドックスの発見により、これらのパラドックスのない、より厳密な集合論を求めるようになりました。

1908 年、エルンスト・ツェルメロは最初の公理的集合論であるツェルメロ集合論を提唱した。しかし、 1921 年にアブラハム・フランケルがツェルメロに宛てた手紙で最初に指摘したように、この理論は、当時のほとんどの集合論者がその存在を当然のことと考えていた特定の集合や基数、特に基数と集合（ は任意の無限集合、はべき乗集合演算）の存在を証明できなかった。^[3]さらに、ツェルメロの公理の 1 つは、「明確な」特性という概念を呼び起こしたが、その操作上の意味は明らかではなかった。1922 年、フランケルとトラルフ・スコーレムはそれぞれ独立に、「明確な」特性を、原子式が集合の帰属と恒等式に限定された一階述語論理で整形式式として定式化できるものとして操作可能にすることを提案した。また、この図式と正則性公理（ジョン・フォン・ノイマンが最初に提案）^[4]をツェルメロ集合論に追加すると、 ZFで表される理論が得られます。ZFに選択公理（AC）またはそれと同等のステートメントを追加すると、ZFCが得られます 。${\displaystyle \aleph _{\omega }}$${\displaystyle \{Z_{0},{\mathcal {P}}(Z_{0}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0}))),...\},}$${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

正式には、ZFC は一階述語論理における1 ソート理論です。等号記号は、基本的な論理記号として扱うことも、まったく同じ要素を持つことを表す高レベルの省略形として扱うこともできます。前者のアプローチが最も一般的です。シグネチャには、通常 と表記される単一の述語記号があり、これはアリティ 2 の述語記号 (2 項関係記号) です。この記号は、集合のメンバーシップ関係を表します。たとえば、式 は、集合 の要素であることを意味します(は のメンバーであるとも読みます)。 ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle a\in b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

形式言語を定式化するにはさまざまな方法があります。著者によっては、異なる接続子や量指定子のセットを選択する場合があります。たとえば、論理接続子 NAND だけで他の接続子をエンコードできます。これは機能的完全性と呼ばれる特性です。このセクションでは、簡潔さと直感性のバランスをとるように努めます。

言語のアルファベットは次のもので構成されています:

• 集合を表すために使用される可算無限個の変数
• 論理接続詞、、${\displaystyle \lnot }$${\displaystyle \land }$${\displaystyle \lor }$
• 量指定子記号、${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \exists }$
• 平等のシンボル${\displaystyle =}$
• セットメンバーシップシンボル${\displaystyle \in }$
• 括弧 ( )

このアルファベットでは、整形式の式(wff)を形成するための再帰規則は次のとおりです。

• および を任意の変数のメタ変数とします。これらは、原子式(最も単純な wff)を構築する 2 つの方法です。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=y}$

${\displaystyle x\in y}$

• およびを任意の wff のメタ変数とし、を任意の変数のメタ変数とします。これらは有効な wff 構成です。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lnot \phi }$

${\displaystyle (\phi \land \psi )}$

${\displaystyle (\phi \lor \psi )}$

${\displaystyle \forall x\phi }$

${\displaystyle \exists x\phi }$

整形式の式は、構文ツリーとして考えることができます。 リーフ ノードは常にアトミック式です。 ノードと には2 つの子ノードがありますが、ノード、、 には1 つの子ノードがあります。 wff は無限に数えられますが、各 wff には有限数のノードがあります。 ${\displaystyle \land }$${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \lnot }$${\displaystyle \forall x}$${\displaystyle \exists x}$

ZFC公理には同等の定式化が多数存在します。^{[5]次の特定の公理セットはKunen (1980)からのものです。以下の順序の公理は、}一階述語論理と高レベルの略語 を組み合わせて表現されています。

公理 1 ～ 8 は ZF を形成し、公理 9 は ZF を ZFC に変換します。Kunen (1980) に従って、公理 9 の選択公理の代わりに同等の整列定理を使用します。

ZFC のすべての定式化は、少なくとも 1 つのセットが存在することを暗示しています。Kunen は、セットの存在を直接主張する公理を含めていますが、それは「強調するため」にすぎないと述べています。^[6]ここでの省略は、2 つの方法で正当化できます。まず、ZFC が通常形式化される一階論理の標準的な意味論では、談話領域は空であってはいけません。したがって、何かが存在することは一階論理の論理定理であり、通常は何かがそれ自体と同一であるという主張として表現されます。したがって、何かが存在することは、すべての一階理論の定理です。ただし、前述のように、ZFC の意図された意味論ではセットのみが存在するため、ZFC のコンテキストでのこの論理定理の解釈は、何らかのセットが存在するということになります。したがって、セットが存在することを主張する別の公理は必要ありません。しかし、第二に、ZFC がいわゆる自由論理で定式化されていても、論理だけでは何かが存在することが証明できない場合でも、無限公理は無限集合が存在することを主張します。これは集合が存在することを意味するため、もう一度、それを主張する公理を含めることは不必要です。 ${\displaystyle \exists x(x=x)}$

2 つの集合は同じ要素を持つ場合、等しい (同じ集合である) とみなされます。

この公理の逆は等式の置換特性から導かれる。ZFC は一階述語論理で構築される。一階述語論理の定式化には恒等式が含まれるものもあれば、含まれないものもあります。集合論を構築している一階述語論理の多様体に等式 " " が含まれていない場合、次の式の略語として定義できます。^[7]${\displaystyle =}$${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].}$

この場合、外延性の公理は次のように書き換えられる。

これは、とが同じ要素を持つ場合、それらは同じ集合に属するということを意味している。^[8]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

空でないすべての集合には、 とが互いに素な集合となるような要素が含まれます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

または現代の表記では: ${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).}$

これは（ペアリングと和集合の公理とともに）、例えば、どの集合もそれ自身の要素ではないこと、またすべての集合には順序 ランクがあることを意味します。

部分集合は、一般的に集合構築記法を使用して構築されます。たとえば、偶数整数は、述語を法として合同性を満たす整数の部分集合として構築できます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle x\equiv 0{\pmod {2}}}$

一般に、 1 つの自由変数を持つ式に従う集合の部分集合は次のように記述されます。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle x}$

仕様の公理スキーマは、このサブセットが常に存在することを述べています (ごとに 1 つの公理があるため、公理スキーマです)。正式には、を ZFC 言語の任意の式とし、 内のすべての自由変数(では は自由ではありません) を含めます。すると、次のようになります。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \varphi }$

仕様の公理スキーマではサブセットのみを構築でき、より一般的な形式のエンティティの構築は許可されないことに注意してください。

この制限は、ラッセルのパラドックス（のときとする）と、無制限の理解を伴う素朴な集合論に伴うその変種を避けるために必要です（この制限下では、 は、それ自体に属さない内の集合のみを参照し、であっても確立されてい ないため、 は、それ自体を参照または理解できない別の位置にあります。したがって、ある意味では、この公理スキームは、式に基づいてを構築するために、集合 が の外部を離れる集合を 内で見なすように事前に制限する必要があるため、集合 は、それ自体を参照できない、つまり、集合 はそれ自体を参照すべきではない、と言っています）。 ${\displaystyle y=\{x:x\notin x\}}$${\displaystyle y\in y\Leftrightarrow y\notin y}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$${\displaystyle y\in z}$${\displaystyle y\subseteq z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

ZF の他の公理化では、この公理は置換の公理スキームと空集合の公理に従うため冗長です。

一方、仕様の公理スキーマは、少なくとも1つの集合が存在することがわかっている場合、と表記される空集合の存在を証明するために使用できます。これを行う1つの方法は、どの集合にも存在しないプロパティを使用することです。たとえば、 が任意の既存の集合である場合、空集合は次のように構築できます。 ${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle w}$

したがって、空集合の公理は、ここで提示した 9 つの公理によって暗示されます。外延性の公理は、空集合が一意である ( に依存しない) ことを意味します。ZFCの言語に 記号 " " を追加する定義拡張を行うことは一般的です。${\displaystyle w}$${\displaystyle \varnothing }$

とが集合である場合、とを要素として含む集合が存在します。たとえば、x = {1,2}、y = {2,3}の場合、zは{{1,2},{2,3}}になります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

これを正確にこれら 2 つの要素を持つセットに縮小するには、指定の公理スキーマを使用する必要があります。ペアリングの公理は Z の一部ですが、少なくとも 2 つの要素を持つセットが与えられた場合、置換の公理スキーマに従うため、ZF では冗長です。少なくとも 2 つの要素を持つセットの存在は、無限公理、または指定の公理スキーマ^{[疑わしい-議論]}と任意のセットに 2 回適用された冪集合の公理によって保証されます。

集合の要素の和集合が存在する。例えば、集合の要素の和集合は${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}.}$

和集合の公理は、任意の集合 に対して、のいずれかの要素の要素であるすべての要素を含む集合が存在することを述べています。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

この式は の存在を直接主張するものではありません。しかし、仕様の公理スキーマを使用して、上記の から集合を構築することができます。${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A}$

置換公理スキーマは、任意の定義可能な関数による集合の像も集合内に含まれると主張します。

正式には、をZFC 言語の任意の式とし、その自由変数が の間で、特に がで自由ではないとします。このとき、 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n},}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \varphi }$

(唯一の存在量指定子は、与えられた文に従う要素が 1 つだけ存在することを示します。) ${\displaystyle \exists !}$

言い換えると、関係 が定義可能な関数 を表し、 がその定義域を表し、 が任意の に対して集合である場合、の値域 はある集合のサブセットです。ここで述べた形式は、厳密に必要な範囲よりも大きい場合があり、コレクション の公理スキーマと呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in A,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

を何らかの集合 と略記します。(とのペアリング公理を適用して集合zが となるようにすることで、 が有効な集合であることがわかります)。すると、公理的に定義された空集合がXのメンバーであり、集合y がXのメンバーである場合は常にもXのメンバーであるような集合Xが存在します。 ${\displaystyle S(w)}$${\displaystyle w\cup \{w\},}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \{w\}}$${\displaystyle x=y=w}$${\displaystyle \{w\}}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle S(y)}$

または現代の表記では: ${\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

もっと口語的に言えば、無限の数の要素を持つ集合Xが存在します。(ただし、2 つの要素が同じである場合、シーケンスは集合の有限サイクルでループするため、これらのメンバーがすべて異なることが確立されている必要があります。正則性の公理により、これが発生するのを防止できます。) 無限公理を満たす最小の集合X は、フォン ノイマン順序数 ωであり、これは自然数の集合とも考えることができます。 ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

定義により、集合が集合のサブセットとなるのは、 のすべての要素が の要素でもある場合のみです。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$

べき集合の公理は、任意の集合 に対して、のすべての部分集合を含む集合が存在することを述べています。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

次に、仕様の公理スキーマを使用して、次のサブセットを正確に含むのサブセットとして冪集合 を定義します。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

公理1 ～ 8はZF を定義します。これらの公理の代替形式はよく見られ、そのいくつかは Jech (2003) にリストされています。ZF 公理化には、空集合が存在することを主張する公理が含まれる場合があります。ペアリング、和集合、置換、およびべき集合の公理は、存在が主張されている集合のメンバーが、公理が主張する集合に必ず含まれるように記述されることがよくあります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ZF を ZFC に変換するために次の公理が追加されます。

最後の公理は、一般に選択公理として知られており、Kunen (1980) と同様に、整列順序に関する特性としてここで提示されています。任意の集合 に対して、 を整列順序とする二項関係が存在します。これは、 が 上の線型順序であり、 の空でない部分集合のすべてに順序の最小元があることを意味します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$

公理1  –  8が与えられれば、多くのステートメントは公理9と同等であることが証明できます。これらの中で最も一般的なものは次のとおりです。 を、メンバーがすべて空でない集合とします。すると、からのメンバーの和集合への関数(「選択関数」と呼ばれる)が存在し、すべての に対して が成り立ちます。公理の 3 番目のバージョンも同等で、ゾルンの補題です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\in X}$${\displaystyle f(Y)\in Y}$

が有限集合である場合の選択関数の存在は公理1 ～ 8から簡単に証明できるため、AC は特定の無限集合に対してのみ重要になります。AC は選択関数の存在を主張しますが、この選択関数がどのように「構築」されるかについては何も述べていないため、非構成的であると特徴付けられます。 ${\displaystyle X}$

ZFC 公理の動機の 1 つは、ジョン・フォン・ノイマンによって導入された集合の累積階層です。^[10]この観点では、集合論の宇宙は段階的に構築され、各段階は各順序数に対応します。段階 0 では、集合はまだ存在しません。後続の各段階で、そのすべての要素が前の段階で追加されている場合、集合が宇宙に追加されます。したがって、空集合は段階 1 で追加され、空集合を含む集合は段階 2 で追加されます。^[11]このようにすべての段階で取得されたすべての集合のコレクションは、Vとして知られています。 V内の集合は、各集合に、その集合がVに追加された最初の段階を割り当てることによって、階層に配置できます。

集合が純粋かつ整基礎である場合に限り、集合がVに含まれることが証明可能である。また、順序数のクラスが適切な反射特性を持つ場合、 V はZFC のすべての公理を満たす。たとえば、集合xがステージ α で追加されたと仮定する。これは、 xのすべての要素がα より前のステージで追加されたことを意味する。次に、xのすべての部分集合もステージ α (またはそれ以前) で追加される。なぜなら、 xの任意の部分集合のすべての要素もステージ α より前に追加されたからである。これは、分離公理が構成できるxの任意の部分集合がステージ α (またはそれ以前) で追加され、 xのべき集合がα の次のステージで追加されることを意味する。^[12]

累積階層に階層化された集合の宇宙の図は、ZFC および関連する公理的集合論、例えばフォン・ノイマン・バーネイス・ゲーデル集合論(NBG と呼ばれることが多い) やモース・ケリー集合論の特徴である。累積階層は、ニュー・ファンデーションズなどの他の集合論とは互換性がない。

Vの定義を変更して、各段階で、前の段階の和集合のすべての部分集合を追加するのではなく、ある意味で定義可能な部分集合のみを追加するようにすることができます。これにより、より「狭い」階層が得られ、選択公理を含む ZFC のすべての公理も満たす構成可能な宇宙 Lが得られます。 V  =  Lであるかどうかは、ZFC 公理とは無関係です。 Lの構造はVの構造よりも規則的で適切に動作します が、 V =  L を追加の「構成可能性の公理」として ZFC に追加すべきだと主張する数学者はほとんどいません 。

適切なクラス（集合としては大きすぎる、そのメンバーによって共有される特性によって定義される数学的オブジェクトのコレクション）は、ZF（したがってZFC）では間接的にしか扱うことができません。ZFとZFCの範囲内で適切なクラスの代わりとなるのが、 Quine（1969）によって導入された仮想クラス表記構造です。この構造では、構造y ∈ { x | F x } 全体が単に F yと定義されます。^[13]これは、集合を含むことができるがそれ自体が集合である必要はないクラスの簡単な表記を提供しますが、クラスのオントロジーには従いません（表記法は集合のみを使用するものに構文的に変換できるため）。Quineのアプローチは、Bernays & Fraenkel（1958）の以前のアプローチに基づいています。仮想クラスは、Levy（2002）、Takeuti & Zaring（1982）、およびZFCのMetamath実装でも使用されています。

置換と分離の公理スキーマには、それぞれ無限の数のインスタンスが含まれます。Montague (1961) は、1957 年の博士論文で初めて証明された結果を含めました。ZFC が矛盾しない場合、有限個の公理のみを使用して ZFC を公理化することは不可能です。一方、フォン ノイマン - バーネイス - ゲーデル集合論(NBG) は有限に公理化できます。NBG のオントロジーには、適切なクラスとセットが含まれます。セットは、別のクラスのメンバーになることができる任意のクラスです。NBG と ZFC は、クラスに言及せず、一方の理論で証明可能な任意の定理がもう一方の理論でも証明できるという意味で、同等の集合論です。

ゲーデルの第二不完全性定理によれば、ロビンソン算術を解釈できる再帰的に公理化可能なシステムは、それが矛盾している場合にのみ、それ自身の一貫性を証明できる。さらに、ロビンソン算術は、ZFC の小さな断片である一般集合論で解釈できる。したがって、ZFC の一貫性は、ZFC 自体の中では証明できない (実際に矛盾している場合を除く)。したがって、ZFC が通常の数学と同一視される限り、ZFC の一貫性は通常の数学では実証できない。ZFC の一貫性は、弱アクセス不可能基数の存在から導かれるが、ZFC が矛盾していない場合、その基数は ZFC では証明できない。それでも、ZFC に予期せぬ矛盾がある可能性は低いと考えられており、ZFC が矛盾しているなら、その事実は既に明らかにされているだろうと広く信じられている。これだけは確かです — ZFC は、素朴な集合論の古典的なパラドックス、つまりラッセルのパラドックス、ブラーリ・フォルティのパラドックス、カントールのパラドックスの影響を受けません。

Abian & LaMacchia (1978) は、外延性、和集合、べき集合、置換、選択の公理からなる ZFC のサブ理論を研究しました。モデルを使用して、彼らはこのサブ理論が一貫していることを証明し、外延性、置換、べき集合の公理のそれぞれが、このサブ理論の残りの 4 つの公理から独立していることを証明しました。このサブ理論に無限公理が追加されると、和集合、選択、無限の公理のそれぞれが、残りの 5 つの公理から独立します。正則性の公理を除く ZFC の各公理を満たす非整根拠モデルが存在するため、その公理は他の ZFC 公理から独立しています。

もし矛盾がなければ、ZFCは圏論が要求する到達不可能な基数の存在を証明できない。この種の巨大集合は、ZFにタルスキの公理を追加することで可能になる。^{[14]その公理を仮定すると、}無限公理、冪集合公理、選択公理（上記 7  ～  9 ）が定理になる。

多くの重要なステートメントはZFC から独立してい ます。独立性は通常、強制によって証明されます。これにより、ZFC のすべての可算推移モデル(大きな基数公理で拡張されることもあります) は、問題のステートメントを満たすように拡張できることが示されます。次に、ステートメントの否定を満たす別の拡張が示されます。強制による独立性の証明は、算術ステートメント、他の具体的なステートメント、および大きな基数公理からの独立性を自動的に証明します。ZFC から独立したいくつかのステートメントは、構成可能宇宙などの特定の内部モデルで成立することが証明できます。ただし、構成可能セットについて正しいいくつかのステートメントは、仮定された大きな基数公理と一致しません。

強制により、次のステートメントが ZFC から独立していることが証明されます。

• 構成可能性の公理 (V=L) (これも ZFC 公理ではない)
• 連続体仮説
• ダイヤモンド原理
• マーティンの公理（ZFC公理ではない）
• サスリン仮説

備考：

• V=L の一貫性は内部モデルによって証明可能ですが、強制することはできません。ZF のすべてのモデルは、ZFC + V=L のモデルになるようにトリミングできます。
• ダイヤモンド原理は連続体仮説とススリン仮説の否定を意味します。
• マーティンの公理と連続体仮説の否定を組み合わせると、サスリン仮説が導かれます。
• 構築可能な宇宙は、一般化連続体仮説、ダイヤモンド原理、マーティンの公理、クレパ仮説を満たしています。
• クレパ仮説の失敗は、強く到達不可能な基数の存在と等しく矛盾しません。

強制法のバリエーションは、選択公理の一貫性と証明不可能性、つまり選択公理が ZF から独立していることを示すためにも使用できます。選択の一貫性は、内部モデル L が選択を満たすことを証明することで (比較的) 簡単に検証できます。(したがって、ZF のすべてのモデルには ZFC のサブモデルが含まれるため、Con(ZF) は Con(ZFC) を意味します。) 強制は選択を保存するため、選択を満たすモデルから選択と矛盾するモデルを直接生成することはできません。ただし、強制を使用して、適切なサブモデル、つまり ZF を満たすが C は満たさないサブモデルを含むモデルを作成できます。

独立性の結果を証明する別の方法は、強制に頼らず、ゲーデルの第 2 不完全性定理に基づいています。このアプローチでは、独立性が調べられているステートメントを使用して、ZFC の集合モデルの存在を証明します。この場合、Con(ZFC) は真です。ZFC はゲーデルの第 2 定理の条件を満たしているため、ZFC の一貫性は ZFC では証明できません (ZFC が実際に一貫している場合)。したがって、そのような証明を可能にするステートメントは ZFC では証明できません。この方法では、大きな基数の存在がZFC で証明できないことを証明できますが、ZFC を前提としてそのような基数を仮定しても矛盾がないことを証明することはできません。

連続体仮説やその他の数学的曖昧さを解決するために、集合論者をさらなる公理に統合するプロジェクトは、「ゲーデルのプログラム」と呼ばれることもあります。^[15]数学者は現在、どの公理が最も妥当または「自明」であるか、どの公理がさまざまな領域で最も有用であるか、そして有用性と妥当性をどの程度トレードオフすべきかについて議論しています。一部の「マルチバース」集合論者は、有用性こそが、公理を慣例的に採用する唯一の究極の基準であるべきだと主張しています。ある学派は、強制公理を採用することで、集合の「反復」概念を拡張し、興味深く複雑だが適度に扱いやすい構造を持つ集合論的宇宙を生み出すことに傾倒しています。別の学派は、おそらく「コア」内部モデルに焦点を当てた、より整然とした、より乱雑でない宇宙を主張しています。^[16]

ZFC は、過度に強いことと過度に弱いことの両方で批判されてきました。また、適切なクラスや全体集合などのオブジェクトを捕捉できないことでも批判されてきました。

多くの数学定理は、ペアノ算術や2階算術（逆数学のプログラムで探究されている）など、ZFCよりはるかに弱いシステムでも証明できます。サンダース・マクレーンとソロモン・フェファーマンはどちらもこの点を指摘しています。「主流の数学」（公理的集合論に直接関連しない数学）の一部は、ペアノ算術や2階算術の範囲を超えていますが、それでも、そのような数学はすべて、ZFCより弱い別の理論であるZC（選択を伴うツェルメロ集合論）で実行できます。正則性公理や置換公理スキーマなど、ZFCの力の多くは、主に集合論自体の研究を容易にするために含まれています。

一方、公理的集合論の中では、ZFC は比較的弱い。New Foundationsとは異なり、ZFC は普遍集合の存在を認めない。したがって、 ZFC による集合の宇宙は、集合代数の基本的な操作に対して閉じていない。フォン・ノイマン・バーネイス・ゲーデル集合論(NBG) やモース・ケリー集合論(MK) とは異なり、ZFC は適切なクラスの存在を認めない。ZFC のさらなる比較的弱い点は、 ZFC に含まれる選択公理が、NBG や MK に含まれる大域選択公理よりも弱いことである。

ZFC とは独立した数学的命題は数多く存在する。これらには、連続体仮説、ホワイトヘッド問題、正規ムーア空間予想などが含まれる。これらの予想のいくつかは、マーティンの公理や大基数公理などの公理をZFC に追加することで証明可能である。他のいくつかは ZF+AD で決定される。ここで AD は決定性公理であり、選択と両立しない強い仮定である。大基数公理の魅力の 1 つは、ZF+AD からの多くの結果を、大基数公理が付加された ZFC で確立できることである。Mizarシステムとメタマスは、ZFC の拡張であるTarski–Grothendieck 集合論を採用しているため、 (圏論や代数幾何学で遭遇する) Grothendieck 宇宙を含む証明を形式化できる。

• 数学の基礎
• 内部モデル
• 大基数公理

関連する公理的集合論:

• モース・ケリー集合論
• フォン・ノイマン・ベルナイス・ゲーデル集合論
• タルスキ・グロタンディーク集合論
• 構成的集合論
• 内部集合論

• 集合論の公理 - Lec 02 - Frederic Sc​​huller のYouTube 動画
• 「ZFC」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• スタンフォード哲学百科事典のジョアン・バガリアによる記事：
  • バガリア、ジョアン（2023年1月31日）。 「集合論」。 『ザルタ』、エドワード N. (編)。スタンフォード哲学百科事典。
  • — (2023年1月31日). 「ツェルメロ-フランケル集合論の公理」。— (編)。スタンフォード哲学百科事典。
• ZFC 公理の Metamath バージョン — 簡潔で冗長性のない公理化。バックグラウンドの第一階論理は、特に証明の機械検証を容易にするために定義されています。
  • 置換スキーマのバージョンから分離スキーマのバージョンをMetamathで派生したもの。
• Weisstein, Eric W.「ツェルメロ-フランケル集合論」。MathWorld。