クレパの木

集合論において、クレパ木は木である。${\displaystyle (T,<)}$高さ$\displaystyle \omega _{1}}$それぞれのレベルは可算であり、少なくとも$\displaystyle \aleph _{2}}$多くの枝。この概念はクレパ（1935 ）によって導入された。クレパ木の存在（クレパ仮説として知られるが、クレパは当初そのような木は存在しないと推測していた）はZFCの公理と整合している。ソロヴェイは未発表の研究で、ゲーデルの構成可能宇宙にクレパ木が存在することを示した（ジェック1971 ）。より正確には、クレパ木の存在は、構成可能宇宙で成り立つダイヤモンドプラス原理から導かれる。一方、シルバー（1971 ）は、強く到達不可能な基数がレヴィ縮約されると、  $\displaystyle \omega _{2}}$すると、結果として得られるモデルにはクレパ木は存在しない。アクセス不可能な基数の存在は、実際にはクレパ仮説の失敗と等しく矛盾しない。なぜなら、クレパ仮説が偽であれば、基数ω ₂は構築可能な宇宙ではアクセス不可能だからである。

クレパの木は${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}}$枝はジェフ・クネン木として知られています。

より一般的には、${\displaystyle \kappa }$無限基数であれば、${\displaystyle \kappa }$-クレパの木は高さのある木です${\displaystyle \kappa }$より${\displaystyle \kappa }$枝だが、せいぜい${\displaystyle |\alpha |}$各無限レベルの要素${\displaystyle \alpha <\kappa }$クレパ仮説は${\displaystyle \kappa }$は、${\displaystyle \kappa }$-クレパツリー。ツリーがバイナリであると仮定される場合もあります。バイナリの存在${\displaystyle \kappa }$-クレパツリーはクレパファミリーの存在と同等です。${\displaystyle \kappa }$サブセット${\displaystyle \kappa }$それらの無限順序数との交差が${\displaystyle \alpha <\kappa }$最大で濃度が の集合を形成する${\displaystyle \alpha }$クレパ仮説は、以下の場合には誤りである。${\displaystyle \kappa }$は不可解な基数であり、逆にジェンセンは、任意の不可算正則基数に対して構成可能な宇宙において であることを示した。${\displaystyle \kappa }$があります${\displaystyle \kappa }$-クレパの木を除いて${\displaystyle \kappa }$言葉では言い表せない。

クレパ木は、任意の非ルートノード上の値がそのノードのランクより小さい順序数となる関数の存在を強制することで「殺す」ことができる。これにより、3つのノードのうち1つが他の2つのノードの下限である場合、それらのノードが同じ順序数にマッピングされると、3つのノードは比較可能となる。これは、崩壊することなく実行できる。$\displaystyle \aleph _{1}}$結果として、正確に$\displaystyle \aleph _{1}}$枝。

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