ペアリングの公理

ペアリングの公理は一般的に異論のないものとみなされており、集合論のほぼすべての公理化に、それまたは同等の公理が現れます。しかしながら、ツェルメロ・フレンケル集合論の標準的な定式化では、ペアリングの公理は、2 つ以上の要素を持つ任意の集合に適用される置換の公理図式から導かれるため、 ^{[ 1 ] [ 2 ]}、省略されることがあります。{ {}, { {} } } のような 2 つの要素を持つ集合の存在は、空集合の公理と冪集合の公理、または無限の公理のいずれかから推論できます。

より強力なZFC公理の一部が欠けている場合でも、ペアリング公理は、損失なく、より弱い形で導入することができる。

分離の公理図式の標準形式が存在する場合、ペアリングの公理をより弱いバージョンに置き換えることができる。

${\displaystyle \forall A\forall B\exists C\forall D((D=A\lor D=B)\Rightarrow D\in C)}$。

この弱いペアリング公理は、任意の対象が${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$ある集合のメンバーである${\displaystyle C}$分離の公理図式を用いると、要素が正確にである集合を構築できる。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$。

空集合の公理が存在する場合にペアリングの公理を導くもう一つの公理は随伴の公理である。

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D\in A\lor D=B)]}$。

これは、標準的なものとは、${\displaystyle D\in A}$の代わりに${\displaystyle D=A}$Aに {} 、B にxを用いると、 C に{ x } が得られます。次に、 Aに { x } 、Bにyを用いると、C に { x,y } が得られます。このようにして任意の有限集合を構築できます。そして、これは和集合の公理を用いずに、遺伝的に有限なすべての集合を生成するために使用できます。

空集合の公理と和集合の公理と合わせて、ペアリングの公理は次のような図式に一般化できる。

${\displaystyle \forall A_{1}\,\ldots \,\forall A_{n}\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D=A_{1}\lor \cdots \lor D=A_{n})]}$

つまり：

任意の有限個のオブジェクトA ₁からA _nが与えられたとき、その要素が正確にA ₁からA _nである集合Cが存在する。

この集合C は外延性の公理により一意であり、{ A ₁ ,..., A _n } と表記される。

もちろん、対象となるオブジェクトが属する（有限の）集合を既に手元に持っていなければ、有限個のオブジェクトを厳密に参照することはできません。したがって、これは単一の記述ではなく、各自然数nに対して個別の記述を持つスキーマとなります。

• n = 1の場合、 A = A ₁およびB = A ₁とのペアリングの公理です。
• n = 2の場合、 A = A ₁およびB = A ₂とのペアリングの公理となります。
• n > 2 の場合については、ペアリングの公理と和集合の公理を複数回使用して証明することができる。

例えば、n = 3 の場合を証明するには、ペアリングの公理を 3 回使用して、ペア { A ₁ , A ₂ }、シングルトン { A ₃ }、そしてペア {{ A ₁ , A ₂ },{ A ₃ }} を生成します。次に、和集合の公理によって目的の結果 { A ₁ , A ₂ , A _{3 } が得られます。n = 0 の場合を}空集合の公理と解釈すれば、この図式を拡張してn = 0も含めることができます。

したがって、これを空集合とペアリングの公理の代わりに公理図式として用いることができる。しかしながら、通常は空集合とペアリングの公理を別々に用い、これを定理図式として証明する。なお、これを公理図式として採用しても、他の状況で依然として必要とされる和集合の公理は置き換えられないことに注意されたい。