大きなカーディナル

数学の集合論の分野において、大基数特性は超限 基数のある種の特性である。そのような特性を持つ基数は、その名前が示すように、一般に非常に「大きい」（例えば、α=ω _αとなる最小の α より大きい）。そのような基数が存在するという命題は、集合論の最も一般的な公理化、すなわちZFCでは証明できず、そのような命題は、望ましい結果を証明するためには ZFC を超えて「どれだけ」仮定する必要があるかを測定する方法と見なすことができる。言い換えれば、ダナ・スコットの言葉を借りれば、「もっと欲しいなら、もっと仮定しなければならない」という事実を定量化するものとして見ることができる。^[1]

ZFC のみから証明可能な結果は仮定なしで述べられるが、証明に他の仮定 (大きな基数の存在など) が必要な場合は、それらを述べる必要があるという大まかな慣習があります。これが単なる言語慣習なのか、それともそれ以上の何かなのかは、異なる哲学の学派の間で議論の的となっています (以下の動機と認識論的地位を参照)。

あ大基数公理は、ある指定された大基数特性を持つ基数（または複数の基数）が存在することを述べる公理です。

ほとんどのワーキングセット理論家は、現在検討されている大基数公理はZFCと矛盾しないと考えています。 ^[2]これらの公理は、ZFCの一貫性を暗示するのに十分強力です。この結果（ゲーデルの第二不完全性定理による）は、ZFCとの一貫性はZFCでは証明できないということです（ZFCが一貫していると仮定した場合）。

大規模基数特性が何であるかについての一般に合意された正確な定義はありませんが、基本的に、大規模基数特性のリストにあるものは大規模基数特性であることに誰もが同意しています。

基数の特性が大きな基数の特性となるための必要条件は、そのような基数の存在がZFと矛盾することが知られておらず、そのような基数Κ がL _Κ が ZFC のモデルとなる非可算な初期順序数となることです。ZFC が矛盾しない場合は、ZFC はそのような大きな基数が存在することを意味しません。

大きな基数公理に関する注目すべき観察は、それらが一貫性の強さによって厳密に線形順序で発生するように見えることです。つまり、次の例外は知られていません。2 つの大きな基数公理A ₁とA ₂が与えられた場合、次の 3 つのうち 1 つが起こります。

1. ZFC が矛盾していない限り、ZFC+ A _1は、ZFC+ A ₂が矛盾していない場合にのみ矛盾しません。
2. ZFC+ A ₁はZFC+ A ₂が一貫していることを証明します。
3. ZFC+ A _{2 は}、ZFC+ A ₁が一貫していることを証明します。

問題となっている理論の 1 つが実際に矛盾していない限り、これらは相互に排他的です。

ケース 1 では、 A ₁とA _{2 は}等しく無矛盾であると言えます。ケース 2 では、A _{1は無矛盾性の点で}A ₂より強いと言えます(ケース 3 ではその逆)。A _2がA ₁より強い場合、 ZFC+ A _{1 は}、 ZFC+ A _{2が無矛盾であることを証明できません。これは、 ZFC+} A ₁自体が無矛盾であるという追加の仮説があっても証明できません(もちろん、実際に無矛盾である場合)。これは、ゲーデルの第 2 不完全性定理に従います。

大きな基数の公理が一貫性の強さによって線形に順序付けられているという観察は、単なる観察であり、定理ではありません。(大きな基数の特性について受け入れられた定義がなければ、通常の意味での証明の対象にはなりません。) また、3 つのケースのどれが当てはまるかは、すべての場合にわかっているわけではありません。サハロン・シェラは、「これを説明する定理があるのでしょうか、それとも私たちのビジョンは私たちが認識しているよりも均一なのでしょうか?」と尋ねました。しかし、ウッディンは、彼のΩ 論理の主な未解決問題であるΩ 予想からこれを推論しています。多くの組み合わせステートメントは、それらの中間にあるのではなく、ある大きな基数と正確に等しく一致していることも注目に値します。

一貫性の強さの順序は、必ずしも巨大基数公理の最小の証拠のサイズの順序と同じではありません。たとえば、一貫性の強さの点では、巨大基数の存在は超コンパクト基数の存在よりもはるかに強力ですが、両方が存在すると仮定すると、最初の巨大基数は最初の超コンパクト基数よりも小さくなります。

大きな基数は、与えられた集合のすべての部分集合を集めるべき集合演算を無限に繰り返すことによって構築されるフォン・ノイマン宇宙Vの文脈で理解されます。通常、大きな基数の公理が成り立たないモデルは、公理が成り立つモデルのサブモデルとして、ある自然な方法で考えることができます。たとえば、アクセス不可能な基数がある場合、そのような基数の最初の高さで「宇宙を切り離す」と、アクセス不可能な基数が存在しない宇宙が生成されます。または、測定可能な基数がある場合、完全な演算ではなく定義可能なべき集合演算を繰り返すと、ゲーデルの構成可能宇宙L が生成されますが、これは「測定可能な基数が存在する」というステートメントを満たしません (測定可能な基数が順序数として含まれている場合でも)。

したがって、多くの集合論者（特にカバールの伝統に影響を受けた人々）が抱くある観点からは、大基数公理は、私たちが「考慮するはずの」すべての集合を考慮していると「言っている」のに対し、その否定は「制限的」であり、それらの集合の一部のみを考慮していると言っています。さらに、大基数公理の結果は自然なパターンに当てはまるようです（Maddy、「公理を信じる、II」を参照）。これらの理由から、そのような集合論者は、大基数公理が ZFC の拡張の中で好ましい地位にあると考える傾向があります。これは、動機があまり明確でない公理（マーティンの公理など）や、直感的にありそうにないと考える公理（ V = Lなど）には共有されていない地位です。このグループの筋金入りの現実主義者は、もっと簡単に言えば、大基数公理は真であると述べるでしょう。

この観点は、集合論者の間では決して普遍的ではありません。一部の形式主義者は、標準集合論は定義上、ZFC の結果の研究であると主張し、他のシステムの結果を研究することに原則的に反対ではないかもしれませんが、大きな基数だけを優先する理由はないと考えています。また、存在論的最大主義が適切な動機であることを否定し、大きな基数の公理は誤りであるとさえ考える実在論者もいます。そして最後に、大きな基数の公理の否定が制限的であることを否定し、（たとえば） L 自体がその命題を満たしていなくても、測定可能な基数が存在すると信じる推移的な集合モデルが L に存在する可能性があることを指摘する人もいます。

• 大きな基数特性のリスト

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• スタンフォード哲学百科事典の「大きな基数と決定性」