一様4次元多面体

幾何学において、一様4次元多面体（いっよう4じんたいぶつ）^[1]とは、頂点推移的でセルが一様多面体、面が正多角形である4次元多面体である。

非柱状 凸一様 4 次元多面体は47 個あります。凸柱状形状の無限集合は 2 つあり、凸一様多面体の柱状体として生じるケースは 17 個あります。また、非凸星状形状も無数に存在します。

• 凸正多面体:
  • 1852 :ルートヴィヒ・シュレーフリは、著書「理論理論」の中で、4次元では正多面体がちょうど 6 つ存在し、5 次元以上では 3 つしか存在しないことを証明しました。
• 正多面体星型 4 次元多面体(星型多面体セルおよび/または頂点図形)
  • 1852年：ルートヴィヒ・シュレーフリもまた、10個の正則星型4次元多面体のうち、セルまたは頂点図形{ ⁵ / _2,5 }および{5,5 ^/ 2 _}を持つ6個を除いて4個を発見した。
  • 1883 :エドムント・ヘスは、著書（ドイツ語） 『Einleitung in die Lehre von der Kugeltailung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder Einleitung in die』の中で、非凸正則 4 多面体の 10 個のリストを完成させました。 Lehre von der Kugeltailung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder、von dr.エドモンド・ヘス。 Mit sechzehn lithographyierten tafeln..
• 凸半正多面体: (コクセターの均一カテゴリ以前のさまざまな定義)
  • 1900年：ソロルド・ゴセットは、著書『n次元空間における正則および半正則図形について』の中で、正則セル（プラトン立体）を持つ非柱状半正則凸多面体のリストを列挙した。4次元では、これは修正5セル、修正600セル、およびスナブ24セルを与える。^[2]
  • 1910年：アリシア・ブール・ストットは、著書『正多面体と空間充填からの半正多面体の幾何学的演繹』で、定義を拡張し、アルキメデスの立体と角柱セルも許容した。この構成では、以下に挙げる非角柱形に対応する45個の半正多面体が列挙された。彼女のリストには、スナブ24セルとグランドアンチプリズムが含まれていなかった。^[3]
  • 1911年：ピーテル・ヘンドリック・ショウテがブール＝ストットの表記法に従って『正多面体から正則に導かれる多面体の解析的処理』を発表し、 5セル、8セル/ 16セル、24セルに基づく対称性によって凸一様多面体を列挙した。
  • 1912年：ELエルテはゴセットのリストを独自に拡張し、1つまたは2つのタイプの半規則的な面を持つ多面体である『超空間の半規則多面体』を出版した。 ^[4]
• 凸一様多面体:
  • 1940年: HSM Coxeterが著書『Regular and Semi-Regular Polytopes』でこの研究を体系的に拡張しました。
  • 凸一様4次元多面体:
    • 1965年：ジョン・ホートン・コンウェイとマイケル・ガイが、コンピューター解析によって確立した著書『4次元アルキメデスの多面体』の中で、凸形状の完全なリストを最終的に列挙した。これには、大反プリズムという、非ウィトホフ凸4次元多面体が1つだけ追加された。
    • 1966年、 ノーマン・ジョンソンは、指導教官コクセターの指導の下、博士論文『均一多面体とハニカムの理論』を完成させ、4次元以上の均一多面体の基礎理論を完成させた。
    • 1986 年、コクセターは、ユニークなスナブ 24 セル構造と異常な大反プリズムの対称性の分析を含む論文「Regular and Semi-Regular Polytopes II」を発表しました。
    • 1998 ^[5] -2000 : 4次元多面体はノーマン・ジョンソンによって体系的に命名され、ジョージ・オルシェフスキーのオンライン索引列挙（このリストのベースとして使用）によって与えられた。ジョンソンは、3次元多面体の多面体のように、4次元多面体をポリコーラと名付けた。これはギリシャ語の語源poly (「多くの」) とchoros (「部屋」または「空間」) から来ている。^[6]均一多面体の名称は、コクセター図の環に基づく接頭辞を持つ6つの正多面体から始まった。切り詰め t _0,1、切り詰め t _0,2、切り詰め t _0,3、単一の環を持つ形式は整流化と呼ばれ、最初の環が2番目または3番目のノードにある場合は、bi、tri 接頭辞が追加された。^{[7] [8]}
    • 2004年：コンウェイ・ガイ集合が完全であることの証明が、マルコ・メラーの博士論文「Vierdimensionale Archimedische Polytope」で発表された。メラーはジョンソンの命名システムをリストに再現した。^[9]
    • 2008年：The Symmetries of Things ^[10]がジョン・H・コンウェイによって出版され、コクセター群族による凸一様4次元多面体と高次元多面体の初めての印刷出版リストが収録されており、各環付きコクセター図置換（スナブ、グランドアンチプリズム、デュオプリズム）の一般的な頂点図がコンウェイによってプロダクトプリズムのプロプリズムと名付けられました。彼は、切り捨てとビットランケーションを超えたインデックス付き環置換に独自のijk -ambo 命名スキームを使用し、ジョンソンの名前はすべて本の索引に含まれていました。
• 非正規一様星型4次元多面体: (非凸一様多面体に類似)
  • 1966年：ジョンソンは博士論文の中で4次元空間における3つの非凸均一反プリズムについて記述した。^[11]
  • 1990-2006 : 共同研究により、2005 年までにジョナサン・バウワーズとジョージ・オルシェフスキーによって合計 1845 個の均一 4 次元多面体 (凸面と非凸面) が特定され、^[12] 2006 年にはさらに 4 個が発見され、合計 1849 個となった。この数には、75 個の非プリズム均一多面体のうち 74 個のプリズム(有限集合であるため、立方プリズムは四面体を複製するため除外) が含まれるが、デュオプリズムやプリズムとアンチプリズムの無限カテゴリは含まれない。^[13]
  • 2020-2023年: 342個の新しい多面体が発見され、既知の均一な4次元多面体の総数は2191個になった。リストが完全であることが証明されていない。^{[13] [14]}

正則 4 次元多面体は、追加の要件を満たす一様 4 次元多面体のサブセットです。正則 4 次元多面体は、シュレーフリ記号{ p、q、r }で表すことができ、セルのタイプ { p、q }、面のタイプ { p }、辺の図形 { r }、頂点の図形{ q、r } を持ちます。

正4次元多面体{ p , q , r }の存在は、セルとなる正多面体{ p , q }と頂点図形となる{ q , r }の存在によって制約されます。

有限4次元多面体としての存在は不等式に依存する：^[15]

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)>\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right).}$

すべてのセル、面、辺、頂点が合同であるという性質を持つ 16 個の正 4 次元多面体:

• 6 つの正規凸 4 次元多面体: 5 セル{3,3,3}、8 セル{4,3,3}、16 セル{3,3,4}、24 セル{3,4,3}、120 セル{5,3,3}、および600 セル{3,3,5}。
• 10 個の正星型 4 次元多面体:正 20 面体 120 セル{3,5, ⁵ / ₂ }、小星型120 セル{ 5 ^/ 2 _, 5,3}、大 120 セル { 5, ⁵ / ₂ ,5} 、大 120 セル{5,3, ⁵ / ₂ }、大星型 120 セル{ ⁵ / ₂ ,3,5}、大星型120 セル {5 / 2 ,5, 5 / 2 }、大大120^セル{ ₅ , ⁵ / ₂ , ³ } _、大20 面体 120 セル{3, ⁵ / ₂ ,5}、大 600 セル{3,3, ⁵ / ₂ }、大大星型 120 セル{ ⁵ / ₂ ,3,3}。

4次元には5つの基本的なミラー対称点群族がある: A ₄ =、B ₄ =、D ₄ =、F ₄ =、H ₄ =[ ^7] 3つのプリズマティック群も存在するA ₃ A ₁ =、B ₃ A ₁ =、H ₃ A ₁ =、および二重柱状群: I ₂ (p)×I ₂ (q) =各グループは、鏡面によって境界が定められた Goursat 四面体 基本領域によって定義されます。

それぞれの反射一様 4 次元多面体は、コクセター図のノードの順列の周りのリングによって表される、ウィトフ構成によって 4 次元の 1 つ以上の反射点群内に構築できます。ミラー超平面は、色付きのノードで見られるように、偶数枝で区切られてグループ化できます。形式 [a,b,a] の対称群には、対称順序を 2 倍にする拡張対称性 [[a,b,a]] があります。これには、[3,3,3]、[3,4,3]、[ p ,2, p ] が含まれます。対称リングを持つこれらのグループの一様多面体には、この拡張対称性が含まれます。

特定の均一多面体において、特定の色のすべてのミラーがリングされていない (非アクティブ) 場合、すべての非アクティブなミラーを削除することで、対称性が低い構成になります。特定の色のすべてのノードがリングされている (アクティブ) 場合、交代操作によって、カイラル対称性を持つ新しい 4 多面体を生成できます (「空の」円で囲まれたノードとして表示されます)。ただし、ジオメトリは、均一なソリューションを作成するために調整することは通常できません。

6 つの正凸 4 次元多面体を含み、デュオプリズムとアンチプリズムの無限集合を除くと、凸一様 4 次元多面体は 64 個あります。

• 5 はプラトン立体に基づく多面体柱です(立方体超角柱は四次元体なので、1 つは正多面体と重なります)
• 13はアルキメデスの立体に基づく多面体である
• 9つは自己双対正則A ₄ [3,3,3]グループ（5セル）ファミリーに属します。
• 9つは自己双対正則F ₄ [3,4,3]グループ（24細胞）ファミリーに属します。（スナブ24細胞を除く）
• 15個は通常のB ₄ [3,3,4] グループ（テッセラクト/ 16細胞）ファミリーに属します（3個は24細胞ファミリーと重複します）
• 15個は通常のH4 _[ 3,3,5]グループ（120細胞/ 600細胞）ファミリーに属します。
• [3,4,3]グループ（24セル）ファミリーの1つの特別なスナブフォーム。
• 1 つの特別な非ウィソフ 4 次元多面体、大反プリズム。
• 合計: 68 − 4 = 64

これら 64 個の均一な 4 次元多面体は、George Olshevsky によって以下のように索引付けされています。繰り返し対称形は括弧内に索引付けされています。

上記の 64 個に加えて、残りの凸形状をすべて生成する無限のプリズマティック セットが 2 つあります。

• 一様な反プリズムの集合- sr{ p ,2}×{ } - 2つの反プリズムからなる多面体プリズム。
• 一様なデュオプリズムの集合- { p }×{ q } - 2 つの多角形の直積。

5セルは、頂点のすべてのペアが同じように関連しているため、5つの要素の順列と同型である、 順序120の二倍体五色対称性[3,3,3]、^{[7]を持ちます。}

ファセット (セル) が指定され、指定されたノードを削除することによって Coxeter 図の場所にグループ化されます。

アスタリスク*でマークされた 3 つの均一な 4 次元多面体形式は、基になる 5 セルの任意の要素に対応する要素を、その双対の要素に対応する要素の 1 つと交換できるため、次数 240、[[3,3,3]] の高次の拡張五面対称性を持ちます。1 つの小さなインデックス サブグループ [3,3,3] ⁺、次数 60、またはその倍数 [[3,3,3]] ⁺ 、次数 120 があり、完全性のために記載されていますが均一ではない オムニスナブ 5 セルを定義します。

この族は、 24×16=384の位数の二倍体16進対称性^[7] [4,3,3]を持ちます。4つの軸の順列は4!=24通りあり、各軸の鏡映は2 ⁴ =16通りです。3つの小さなインデックスサブグループがあり、最初の2つは、他の族でも繰り返される均一な4次元多面体[1 ⁺ ,4,3,3]、[4,(3,3) ⁺ ]、[4,3,3] ⁺で、すべて位数は192です。

(*) 四面体を平行四面体に変換すると八面体が生成されるように、16 セルを平行四面体に変換すると、次のファミリーの正規のメンバーである 24 セルが生成されます。

完全性のため、このファミリーにはスナブ24 セルが繰り返されます。これは、半対称グループ [(3,3) ^{+ ,4] を持つ、}片切形 16 セルまたは切形 24 セルの交代です。切形八面体セルは二十面体になります。立方体は四面体になり、削除された頂点の隙間に 96 個の新しい四面体が作成されます。

この族は二倍体二十面体対称性^[7] [3,4,3]を持ち、その位数は24×48=1152である。これは、24個のセルそれぞれに対して八面体の48個の対称性があることを意味する。3つの小さなインデックスサブグループがあり、最初の2つの同型ペアは均一な4次元多面体を生成するが、これは他の族でも繰り返され、[3 ⁺ ,4,3]、[3,4,3 ⁺ ]、[3,4,3] ⁺であり、すべて位数は576である。

(†) ここでのスナブ 24 セルは、その一般的な名前にもかかわらず、スナブ キューブに類似したものではなく、むしろ、切り詰められた 24 セルの交代によって派生したものです。その対称数はわずか 576 です (イオン性減少イコシテトラコリック群、[3 ⁺ ,4,3])。

5細胞と同様に、24細胞は自己双対であるため、次の3つの形式には2倍の対称性があり、その合計は2304になります（拡張された二十四四対称性[[3,4,3]]）。

この族は二倍体ヘキサコシコリック対称性^[7] [5,3,3]を持ち、その位数は120×120=24×600=14400である。つまり、120個の正十二面体それぞれに対して120、または600個の正四面体それぞれに対して24である。1つの小さな指数サブグループ[5,3,3] ⁺があり、すべて位数は7200である。

この半四面体族[3 ^1,1,1 ] は、新しい一様 4 次元多面体を導入しませんが、これらの代替構成を繰り返す価値はあります。この族の位数は12×16=192 です。4 つの軸の順列は 4!/2=12 通りあり、その半分は交互に並び、各軸の鏡映は 2 ^{4 =16 通りです。一様 4 次元多面体 [3 1,1,1} ] ⁺を生成する小さなインデックス サブグループが 1 つあり、位数は 96 です。

^{3つの分岐ノードが同様にリング状になっている場合、対称性は[3[3 1,1,1} ]] = [3,4,3]として6増加し、これらの多面体は24セルファミリーから繰り返されます。

ここでも、対称群 [3 ^1,1,1 ] ^+を持つスナブ 24 セルは、切断された 24 セルの交互切断を表し、削除された頂点の位置に 96 個の新しい四面体を作成します。以前のグループ内で部分的にスナブされた 4 次元多面体として表示されるのとは対照的に、この対称群内でのみ、ケプラー スナブ、つまりスナブ キューブとスナブ 12 面体との完全な類似性があります。

大反プリズムとして知られる非ウィソフ的一様凸 4 次元多面体が 1 つあり、これは 20 個の五角形反プリズムで構成され、 300 個の四面体で結合された 2 つの垂直リングを形成します。これは、三角形の帯で結合された2 つの平行多角形で構成される 3 次元反プリズムに大まかに類似しています。ただし、大反プリズムは、それらとは異なり、一様多面体の無限族のメンバーではありません。

その対称性はイオン減少コクセター群、[[10,2 ⁺ ,10]]、次数400です。

角柱多面体は、より低次元の 2 つの多面体の直積です。よく知られている例としては、多角形と線分の積である3 次元角柱があります。角柱一様 4 次元多面体は、2 つの無限族から構成されます。

• 多面体プリズム: 線分と均一な多面体の積。このファミリーは、3 次元のプリズムと反プリズム上に構築されたプリズムを含むため、無限です。
• デュオプリズム: 2 つの多角形の積。

最も明白な柱状 4 次元多面体の族は多面体柱状体、すなわち多面体と線分との積である。このような 4 次元多面体のセルは、平行な超平面(基本セル) に位置する 2 つの同一の均一多面体と、それらを接続する柱状体 (側面セル)の層である。この族には、75 個の非柱状均一多面体の柱状体が含まれる(そのうち 18 個は凸型であり、そのうちの 1 つである立方体柱状体は、上記で四次元方陣としてリストされている)。^{[引用が必要]}

5 つのプラトン立体と 13 のアルキメデス立体から作成される凸多面体プリズムは 18 個あり、3 次元のプリズムと反プリズムの無限の族もあります。^[要出典] 多面体プリズムの対称数は、基本多面体の 2 倍です。

この柱状四面体対称性は [3,3,2]、位数 48 です。指数 2 のサブグループが 2 つあります ([(3,3) ⁺ ,2] と [3,3,2] ⁺ )。ただし、2 番目のサブグループは均一な 4 次元多面体を生成しません。

この柱状八面体族の対称性は [4,3,2]、位数 96 です。指数 2、位数 48 の 6 つのサブグループがあり、以下のように交互 4 次元多面体で表現されます。対称性は [(4,3) ⁺ ,2]、[1 ⁺ ,4,3,2]、[4,3,2 ⁺ ]、[4,3 ⁺ ,2]、[4,(3,2) ⁺ ]、[4,3,2] ⁺です。

この柱状二十面体対称性は [5,3,2]、位数 240 です。指数 2 のサブグループには [(5,3) ⁺ ,2] と [5,3,2] ^{+ の}2 つがありますが、2 番目のサブグループでは均一なポリクロロンは生成されません。

2つ目は、2つの正多角形の積である一様デュオプリズムの無限族である。デュオプリズムのコクセター・ディンキン図は、その頂点図形は二蝶形四面体であり、。

このファミリーは最初のファミリーと重複しています。2 つの「因子」多角形のうちの 1 つが正方形の場合、その積は、底面が 3 次元プリズムであるハイパープリズムに相当します。因子がp角形とq角形であるデュオプリズム (「p,qデュオプリズム」) の対称数は、 p ≠ qの場合4 pqです。因子が両方ともp角形の場合、対称数は 8 p ²です。テッセラクト (teseract) は、4,4 デュオプリズムと見なすこともできます。

{ p }×{ q }の拡張fベクトルは、( p , p ,1)*( q , q ,1) = ( pq ,2 pq , pq + p + q , p + q )です。

• 細胞: p q -角柱、q p -角柱
• 面: pq正方形、p q角形、q p角形
• エッジ: 2pq
• 頂点: pq

3 次元の反プリズムの無限の族に、4 次元で均一な類似物は存在しません。

pqデュオプリズムの無限集合-- p q -角柱、q p -角柱:

変更は可能です。=はデュオアンチプリズムの族を与えますが、一般に均一にすることはできません。均一にできる凸の場合がp = q = 2の場合にのみ、通常の16セルが得られます。均一にできる非凸の場合がp = 5、q = 5 / 3の場合にのみ、いわゆるグレートデュオアンチプリズムが得られます。p-2q角柱対角柱（2p-4qデュオプリズムの辺交代）を与えるが、これはいかなる場合でも均一にできるわけではない。^[20]

均一なプリズムの無限集合は4pデュオプリズムと重なり合う: (p≥3) -- p立方体と 4 p角柱 - (すべて4-p デュオプリズムと同じ) シリーズの 2 番目の多面体は、正四次元体の低い対称性、{4}×{4} です。

均一な反プリズムの無限集合は、 2つの平行な均一な反プリズムから構成される): (p≥2) -- 2 つのp角柱反プリズム、2 つのp角柱プリズムと2p三角柱プリズムで接続されています。

p角形反角柱には、 4p の三角形、4p の正方形、4 つのp 角形の面があります。10pの辺と4p の頂点があります。

コクセターは、すべての環が交互になっているランク4のコクセター群に対して、2つの均一解のみを示した（空の円ノードで表示）。1つ目は, s{2 ^{1,1,1 } は、}半円体の指数24の部分群（対称性[2,2,2] ⁺、位数8）の形式を表し、, h{4,3,3} (対称性 [1 ⁺ ,4,3,3] = [3 ^1,1,1 ]、次数 192)。2番目は, s{3 ^{1,1,1 }は、}スナブ24セルの指数6の部分群（対称性[3 ^1,1,1 ] ⁺、次数96）形式である。, s{3,4,3}, (対称性 [3 ⁺ ,4,3], 次数 576)。

その他の変更としては、、全切形四次元方陣の代替として は、辺の長さが等しいことを解くことは一般に過剰決定であるため（方程式は6つあるが変数は4つしかない）、一様化できない。このような一様でない交代図形は、完全な環状図形の頂点の2つの半分の集合のうちの1つを削除することで頂点推移的な4次元多面体として構築できるが、辺の長さが等しくない。一様交代と同様に、一様図形の対称性の半分を持ち、[4,3,3] ^{+ 、順序192は、}交代全切型四次元方陣の対称性である。^[21]

交代を伴うウィトフ構成は、正三角形にできる頂点推移図形を生成しますが、交代する隙間（削除された頂点の周り）によって、正三角形でも半正三角形でもないセルが作成されるため、一様ではありません。このような図形の提案された名前は、スカリフォーム多面体です。^{[22]このカテゴリでは、}ジョンソン立体のサブセットをセルとして使用できます（たとえば、三角形のキューポラ）。

ジョンソン立体内の各頂点構成は、頂点図形内に存在する必要があります。たとえば、四角錐には、底面の周囲に 3.3.4、頂点に 3.3.3.3 という 2 つの頂点構成があります。

4 つの凸正三角形の場合のネットと頂点図、および各頂点の周囲のセルの一覧を以下に示します。

46 個のウィソフ 4 次元多面体には、6 個の凸正則 4 次元多面体が含まれます。他の 40 個は、対称性のほとんどまたはすべてを保存する幾何学的操作によって正則多面体から導出できるため、共通する 対称群によって分類できます。

通常の 4 次元多面体から 40 個の均一な 4 次元多面体を導く幾何学的操作は、切り捨て操作です。4 次元多面体は、頂点、辺、または面で切り捨てられることがあり、以下の表の列に示すように、それらの要素に対応するセルが追加されます。

Coxeter -Dynkin 図では、ウィソフ万華鏡の 4 つの鏡がノードとして表示され、ノード間のエッジには鏡間の角度 ( π / n ラジアンまたは 180/ n度) を示す整数が付けられています。丸で囲まれたノードは、各フォームでどの鏡がアクティブであるかを示します。鏡は、その上にない頂点に対してアクティブです。

凸型均一ハニカムも参照してください。これらの操作を通常の立方体ハニカムに適用した例がいくつかあります。

2 つの多面体が互いに双対である場合(四次元立方体と 16 セル、または 120 セルと 600 セルなど)、どちらかをビット切り捨て、ランシネート、またはオムニ切り捨てすると、もう一方に対して同じ操作を行った場合と同じ図が生成されます。したがって、表に分詞のみが表示される場合は、どちらかの親に適用されると理解する必要があります。

この表には、 A ₄、 B ₄、 F ₄、 H ₄対称性から構築された 46 個の均一ポリコーラが、完全拡張対称性と Coxeter 図によって示されています。 D ₄対称性も含まれていますが、これは重複のみを作成します。 交代は、そのカイラル対称性によってグループ化されています。 すべての交代が示されていますが、異なるファミリーからの 3 つの構成を持つスナブ 24 セルだけが均一です。 括弧内の数は、繰り返しまたは非均一です。 Coxeter 図には、下付き添え字のインデックス 1 から 46 が付けられています。 3-3 および 4-4 デュオプリスマティック ファミリーが含まれており、2 番目は B ₄ファミリーとの関係用です。

前述の無限の二重プリズムおよび反プリズムプリズム族（無限の非凸要素を持つ）以外にも、多くの均一な星型ポリコーラが発見されています。1852 年、ルートヴィヒ・シュレーフリは 4 つの正則星型ポリコーラ {5,3,5/2}、{5/2,3,5}、{3,3,5/2}、{5/2,3,3} を発見しました。1883 年、エドムンド・ヘスは他の 6 つ {3,5,5/2}、{5/2,5,3}、{5,5/2,5}、{5/2,5,5/2}、{5,5/2,3}、{3,5/2,5} を発見しました。ノーマン・ジョンソンは、1966 年の博士論文で、3 つの均一な反プリズムのような星型多面体について説明しました。これらは、正十二面体の辺と頂点を共有する 3 つの二三角多面体に基づいています。それ以来、ジョナサン・バワーズやジョージ・オルシェフスキーを含む他の研究者によってさらに多くのものが発見され、現在までに合計 2127 個の均一な星型多面体が知られています (星型多角形に基づく無限の二重プリズムのセットは数えていません)。現在、セットの完全性を証明するものはありません。

• 4次元空間の有限正多面体
• ユークリッド 3 次元空間内の凸均一ハニカム関連無限 4 次元多面体。
• 双曲空間の凸均一ハニカム- 双曲 3 次元空間の関連する無限 4 次元多面体。
• 超小型均一ハニカム

• A. ブール・ストット:正多面体と空間充填からの準正則の幾何学的演繹、Koninklijke academy van Wetenschappen width Unit Amsterdam の Verhandelingen、Eerste Sectie 11,1、アムステルダム、1910
• B. Grünbaum Convex Polytopes、ニューヨーク、ロンドン：Springer、2003年頃。ISBN 0-387-00424-6。第2版はVolker Kaibel、Victor Klee、Günter M. Zieglerによって編集されました。 
  
• エルテ、EL (1912)、超空間の半規則多面体、フローニンゲン: フローニンゲン大学、ISBN 1-4181-7968-X超空間の半正則多面体。超空間の半正則多面体。
• HSMコクセター:
  • HSM コクセター、MS ロンゲット＝ヒギンズ、JCP ミラー：均一多面体、ロンドン王立協会哲学論文集、ロンドン、1954 年
  • HSM コクセター『正多面体』第 3 版、ドーバー ニューヨーク、1973 年
• 万華鏡：HSM コクセター選集、F. アーサー シャーク、ピーター マクマレン、アンソニー C. トンプソン、アジア アイビック ワイス編、ワイリー インターサイエンス出版、1995 年、ISBN 978-0-471-01003-6 
  • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• HSM Coxeter および WOJ Moser。離散群の生成器と関係、第 4 版、Springer-Verlag。ニューヨーク。1980 年、p. 92、p. 122。
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン・シュトラウス、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章） 
• John H. ConwayとMJT Guy : 4 次元アルキメデス多面体、コペンハーゲン凸性コロキウムの議事録、38 および 39 ページ、1965 年
• NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年
• NW ジョンソン:幾何学と変換、(2015) 第 11 章: 有限対称群
• リチャード・クリッツィング「スナブ、交互ファセット、ストット・コクセター・ディンキン図」、Symmetry: Culture and Science、第21巻、第4号、329-344、(2010) [1]
• Schoute、Pieter Hendrik (1911)、「規則的なポリトープから規則的に派生したポリトープの分析処理」、Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam、11 (3): 87 ppGoogleブック、370-381

• 凸一様4次元多面体
  • 4 次元の均一な凸多面体、Marco Möller (ドイツ語)。これらの図形の別名も含まれており、Jonathan Bowers、George Olshevsky、Norman Johnson などによるものも含まれています。
  • 正則および半正則凸多面体の短い歴史的概要
  • ソース付き Java3D アプレット
• 非凸一様4次元多面体
  • ジョナサン・バワーズによるユニフォーム・ポリコーラ
  • Stella4D Stella (ソフトウェア) は、 64 個の凸形状と無限の柱状族を含む既知の均一多角形のインタラクティブなビューを生成します。
• Klitzing、Richard。「4D 均一多面体」。
• 4次元多面体とコクセター群W(A4)の双対多面体の四元数による表現 現代物理学における幾何学的手法国際ジャーナル、第9巻、第4号 (2012) Mehmet Koca、Nazife Ozdes Koca、Mudhahir Al-Ajmi (2012) [2]