アンチプリズム

幾何学において、n角形反プリズムまたはn反プリズムは、n辺の多角形の 2 つの平行な直接コピー (鏡像ではない) で構成され、2 n 個の三角形の交互の帯で接続された多面体です。これら は、コンウェイ表記A nで表されます。

反角柱は角柱類のサブクラスであり、（退化した）角柱多面体の一種です。

反プリズムはプリズムに似ていますが、底面が互いに対してねじれており、側面（底面を連結する面）がn 個の四辺形ではなく2 n 個の三角形である点が異なります。

n角形反柱の双対多面体はn角形台形です。

ヨハネス・ケプラーは1619年の著書『世界の調和』で、無限の反角柱族の存在を観察した。^[1]これは従来、これらの形状の最初の発見と考えられてきたが、それ以前に知られていた可能性もある。六角形の反角柱の網目模様を描いた署名のない版木は、1556年に亡くなったヒエロニムス・アンドレーエの作とされている。 ^[2]

ドイツ語の「アンチプリズム」という語は、19世紀にこれらの形状に使用されました。カール・ハインツェは、この語をテオドール・ヴィットシュタイン [de]に導入したと考えています。^[3]英語の「アンチプリズム」は、主要な最適要素の効果を打ち消すために使用される光学プリズムを指すために以前から使用されていましたが、 ^{[4]英語で「アンチプリズム」が幾何学的な意味で最初に使用されたのは、20世紀初頭の}HSMコクセターの著作のようです。^[5]

正n角形の底を持つ反プリズムの場合、通常、これら2つのコピーが角度 ⁠ でねじれている場合が考えられます。180/ん⁠度。

正多角形の軸は、多角形の平面に垂直で多角形の中心にある線です。

合同な 正 n角形の底を持ち、角度⁠でねじれた反角柱の場合、180/ん⁠度の場合、底辺が同じ軸を持ち、共軸である場合、つまり (非共面底の場合)、底辺の中心を結ぶ線が底辺平面に垂直である場合、より規則性が得られます。この場合、反プリズムは直角反プリズムと呼ばれ、その2 n側面は二等辺三角形です。

一様な n逆プリズムは、底面として2 つの合同な 正 n角形を持ち、側面として 2 n 個の正三角形を持ちます。

一様反プリズムは、一様プリズムと同様に、頂点推移多面体の無限クラスを形成します。n = 2の場合、正四面体と視覚的に同一な二角形反プリズム（退化反プリズム）があります。 n = 3の場合、正八面体は三角形反プリズム（非退化反プリズム） です。

これらの半正則反プリズムのシュレーゲル図は次のとおりです。

直角n逆角柱（つまり、正n角形の底辺と2 n二等辺三角形の側面を持ち、底辺の外接半径が 1 であるもの） の頂点の直交座標は次のとおりです。

${\displaystyle \left(\cos {\frac {k\pi }{n}},\sin {\frac {k\pi }{n}},(-1)^{k}h\right)}$

ただし0≤k≤2n - 1である。

n逆プリズムが均一である場合（つまり三角形が正三角形である場合）、次のようになります。 $${\displaystyle 2h^{2}=\cos {\frac {\pi }{n}}-\cos {\frac {2\pi }{n}}.}$$

一様なn角形反プリズムの辺の長さをaとすると、体積は次のようになります。 $${\displaystyle V={\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}~a^{3},}$$

表面積は次のようになります。 $${\displaystyle A={\frac {n}{2}}\left(\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}.}$$

さらに、底辺の長さがlで高さがhである正 n 角柱の体積は次のように表されます。 $${\displaystyle V={\frac {nhl^{2}}{12}}\left(\csc {\frac {\pi }{n}}+2\cot {\frac {\pi }{n}}\right).}$$

正多角形の底辺における 水平外接円の外接半径は${\displaystyle n}$

${\displaystyle R(0)={\frac {l}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}。$

底辺の頂点は

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}R(0)\cos {\frac {2\pi m}{n}}\\R(0)\sin {\frac {2\pi m}{n}}\\0\end{array}}\right),\quad m=0..n-1;}$

上の頂点は

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}R(0)\cos {\frac {2\pi (m+1/2)}{n}}\\R(0)\sin {\frac {2\pi (m+1/2)}{n}}\\h\end{array}}\right),\quad m=0..n-1.}$

線形補間により、反プリズムの外側の三角形の辺上の、底部の頂点と上部の頂点を結ぶ点は、

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\cos {\frac {2\pi m}{n}}+z\cos {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\sin {\frac {2\pi m}{n}}+z\sin {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\\\z\end{array}}\right),\quad 0\leq z\leq h,m=0..n-1}$

そして

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\cos {\frac {2\pi (m+1)}{n}}+z\cos {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\{\frac {R(0)}{h}}[(hz)\sin {\frac {2\pi (m+1)}{n}}+z\sin {\frac {\pi (2m+1)}{n}}]\\\\z\end{array}}\right),\quad 0\leq z\leq h,m=0..n-1.}$

前の2つのベクトルの1つに座標と座標の2乗の和を積むと、高度におけるこのセクションの外接半径の2乗は ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle R(z)^{2}={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}[h^{2}-2hz+2z^{2}+2z( hz)\cos {\frac {\pi }{n}}].}$

底辺より上の高度における水平断面は、長さ の辺と長さ の辺が交互に並ぶ- 角形（切り取られた- 角形）です。（これらは、前の 2 つのベクトルの差の長さから得られます。）これは、辺と（半周長）の等角三角形と、辺と（半周長） の等角三角形に分割できます。ヘロンの公式によれば、これらの三角形の面積は次のようになります。 ${\displaystyle 0\leq z\leq h}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle l_{1}(z)=l(1-z/h)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle l_{2}(z)=lz/h}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R(z),R(z)}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle R(z)+l_{1}(z)/2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R(z),R(z)}$${\displaystyle l_{2}(z)}$${\displaystyle R(z)+l_{2}(z)/2}$

${\displaystyle Q_{1}(z)={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}(h-z)\left[(h-z)\cos {\frac {\pi }{n}}+z\right]\sin {\frac {\pi }{n}}}$

そして

${\displaystyle Q_{2}(z)={\frac {R(0)^{2}}{h^{2}}}z\left[z\cos {\frac {\pi }{n}}+h-z\right]\sin {\frac {\pi }{n}}.}$

断面の面積は であり、体積は ${\displaystyle n[Q_{1}(z)+Q_{2}(z)]}$

${\displaystyle V=n\int _{0}^{h}[Q_{1}(z)+Q_{2}(z)]dz={\frac {nh}{3}}R(0)^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}(1+2\cos {\frac {\pi }{n}})={\frac {nh}{12}}l^{2}{\frac {1+2\cos {\frac {\pi }{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}}.}$

同じlとh を持つ直角柱の 体積は次のようになります。 これは反角柱の体積よりも小さくなります。 $${\displaystyle V_{\mathrm {prism} }={\frac {nhl^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$$

直角n反柱（すなわち、正底と二等辺側面を持つ）の対称群は、次の場合を除き、位数4 nのD _{n d} = D _{n v}である。

• n = 2 : 正四面体。これは、より大きな対称群T _dの順序が24 = 3 × (4 × 2)で、サブグループとしてD _{2dの 3 つのバージョンを持ちます。}

• n = 3 : 正八面体。これは、 48 = 4 × (4 × 3)のより大きな対称群O _hを持ち、サブグループとしてD _3dの 4 つのバージョンを持ちます。

対称群は、 nが奇数の場合にのみ反転を 含みます。

回転群は、次の場合を除き、 位数2 nのD _nです。

• n = 2 : 正四面体。これは12 = 3 × (2 × 2)のより大きな回転群Tを持ち、サブグループとしてD ₂の 3 つのバージョンを持ちます

• n = 3 : 正八面体。これは、 24 = 4 × (2 × 3)のより大きな回転群Oを持ち、サブグループとしてD ₃の 4 つのバージョンを持ちます。

注: 直角n 反プリズムは、合同な正n角形底辺と合同な二等辺三角形側面を持ち、したがってn ≥ 4の場合、一様n反プリズムと同じ (二面体) 対称群を持ちます。

4次元反プリズムは、2つの双対多面体が平行な反対面として存在すると定義でき、それらの間の各3次元面は、多面体の2つの双対部分、つまり頂点と双対多角形、または2つの双対辺から生じます。すべての3次元凸多面体は、その標準多面体と極双対から構成される4次元反プリズムの2つの反対面のいずれかと組み合わせ的に同等です。^[6]ただし、双対と組み合わせて5次元反プリズムを形成できない4次元多面体も存在します。^[7]

均一な星型反プリズムは、星型多角形の底辺{ p / q }によって命名され、順行解と逆行解（交差）の形で存在します。交差形式は交差する頂点図形を持ち、「反転した」分数で表されます。p / qではなくp /( p – q )です。例: 5/2 ではなく 5/3。

直角星型反プリズムは、 2 つの合同な共軸の正 凸面または星型多角形の底面と、2 n 個の二等辺三角形の側面を 持ちます。

正凸面または星型多角形の底面を持つ星型反プリズムは、(必要に応じて底面の 1 つを平行移動したりねじったりすることで) 直星型反プリズムにすることができます。

順行形式ではそうではありませんが、逆行形式では、凸状または星のベースを結合する三角形が回転対称軸と交差します。つまり、

• 正凸多角形の底面を持つ逆行星型反プリズムは、すべての辺の長さが等しくはないため、均一にはなりません。「例外」: 正三角形の底面 (頂点構成: 3.3/2.3.3) を持つ逆行星型反プリズムは均一にできますが、その場合、正三角形の外観を持ちます。つまり、縮退した星型多面体です。

• 同様に、正星型多角形底面を持つ一部の逆行星型反角柱は、すべての辺の長さが等しくならないため、均一にはなりません。例: 正星型 7/5 角形底面 (頂点構成: 3.3.3.7/5) を持つ逆行星型反角柱は均一にはなりません。

また、 pとqに共通因数がある場合、通常の星型p / q角形基底を持つ星型反プリズム化合物を構築できます。例: 星型 10/4 反プリズムは、2 つの星型 5/2 反プリズムの化合物です。

• 大反プリズム、4次元多面体
• 歪んだ多角形、凸包が反角柱である3次元多角形

• アンソニー・ピュー（1976年）。『多面体：視覚的アプローチ』カリフォルニア州：カリフォルニア大学出版局バークレー校。ISBN 0-520-03056-7。第2章: アルキメデスの多面体、プリズムと反プリズム

• ウィキメディア・コモンズの反プリズムに関するメディア
• Weisstein、Eric W.「反プリズム」。MathWorld。
• 非凸プリズムと反プリズム
• プリズムと反プリズムの紙製模型