ランシネーテッド5セル

4次元幾何学において、ランシネーション5セルは凸型一様4次元多面体であり、正則5セルのランシネーション（面の平坦化までの3次切断）である。

5 セルのランシネーションには、順列、切り捨て、およびカンテレーションを含む 3 つの独自の程度があります。

ランシネーテッド 5 セルまたは小型プリズマトデカコロンは、5 セルのセルを放射状に拡張し、隙間を三角柱 (面柱と辺の図形) と四面体 (二重 5 セルのセル) で埋めることによって構築されます。これは 10 個の四面体と 20 個の三角柱で構成されます。10 個の四面体は、5 セルとその二重セルのセルに対応します。

位相的に、最も高い対称性 [[3,3,3]] の下では、10 個の四面体と 20 個の均一な三角柱を含む 1 つの幾何学的形状のみがあります。長方形は常に正方形です。これは、2 組の辺が、それぞれ 2 組の 5 個の正四面体の 2 つのセットの辺に対応し、拡張対称性の下では等しくなるためです。

EL エルテは1912 年にこれを半正多面体であると特定しました。

• ランシネーテッド5 セル(ノーマン ジョンソン)
• ランシネーテッドペンタコロン
• ランシネーテッド4シンプレックス
• 拡張された5細胞/4単体/五細胞
• 小型プリズマトデカコロン（頭字語：Spid）（ジョナサン・バワーズ）

10 個の四面体セルのうち 2 つが各頂点で交わります。三角柱はそれらの間にあり、それらの三角形の面でそれらと結合し、それらの正方形の面で互いに結合しています。各三角柱は、隣接する三角柱と反対方向に結合しています (つまり、共有の正方形の面の辺 A と B が 1 つの柱の三角形の面に結合されている場合、他の 2 つの辺は他の柱の三角形の面に結合されます)。したがって、隣接する柱の各ペアを同じ超平面に回転させると、ジャイロビファスティギウムが形成されます。

配置行列では、要素間のすべての入射数が表示されます。対角fベクトルの数は、一度に1つのミラーを削除してサブグループ順序のグループ順序全体を分割するWythoff構成によって導出されます。^[1]

ランシネートされた 5 セルは、中央の立方八面体によって 2 つの四面体キューポラに分割できます。この分割は、3D立方八面体が中央の六角形によって 2 つの三角形キューポラに分割されるのと類似しています。

原点中心で辺の長さが 2 の 5 セルの頂点の 直交座標は次のとおりです。

5 次元空間では、次の 20 通りの順列として、より単純な座標セットを作成できます。

(0,1,1,1,2)

この構造は、ランシネートされた 5 オルソプレックスの32 のオルサント 面の 1 つとして存在します。

5 次元空間における 2 番目の構成は、修正された 5 次元直交複体の中心から、次の座標順列によって与えられます。

(1,-1,0,0,0)

その 20 個の頂点は単純リー群A ₄のルートベクトルを表します。また、4 次元空間の 5 セルハニカムの頂点図形でもあります。

3 次元超平面を持つランシネート 5 セルの最大断面は、立方八面体です。この断面は、ランシネート 5 セルを、それぞれ 5 つの四面体と 10 個の三角柱で構成される 2 つの四面体ハイパーキューポラに分割します。

ランシネートされた 5 セルの 3 次元空間への四面体優先正投影には、立方八面体のエンベロープがあります。この投影の構造は次のとおりです。

• 立方八面体の外殻は内部的に次のように分割されます。

• 4 つの扁平な四面体が、立方八面体の 4 つの三角形の面を中央の四面体に結合します。これらは、5 つの四面体セルの画像です。
• 立方八面体の 6 つの正方形の面は、歪んだ三角柱を介して中央の四面体のエッジに結合されています。これらは、6 つの三角柱セルの画像です。
• 他の 4 つの三角形の面は、4 つの三角柱 (投影によって歪んだ) を介して中央の四面体に結合されています。これらは、他の 4 つの三角柱セルの画像です。
• これは、ランシネートされた 5 セル (5 つの四面体と 10 個の三角柱) の半分を占め、「北半球」と考えることができます。

• 残りの半分である「南半球」は、中央の四面体が最初の半分のものと双対になっている、立方八面体の同型分割に相当します。立方八面体の三角形の面は、一方の半球の三角柱をもう一方の半球の扁平な四面体に結合し、その逆も同様です。したがって、南半球にはさらに 5 つの四面体とさらに 10 の三角柱が含まれ、合計で 10 個の四面体と 20 個の三角柱になります。

正歪多面体{ 4,6|3} は、4 次元空間に存在し、各頂点の周りに 6 つの正方形があり、ジグザグの非平面頂点図形を形成します。これらの正方形の面は、60 辺と 20 頂点すべてを使用して、ランシネートされた 5 セルで確認できます。ランシネートされた 5 セルの 40 個の三角形の面は削除されているように見えます。双対正歪多面体 {6,4|3} は、同様に、ビットランシネートされた 5 セルの六角形の面と関連しています。

切頂5 セルまたは角錐台五角形は、60 の頂点、150 の辺、120 の面、および 30 のセルで構成されています。セルは、5 つの切頂四面体、10 の六角柱、10 の三角柱、および 5 つの立方八面体です。各頂点は、1 つの切頂四面体、2 つの六角柱、1 つの三角柱、および 1 つの立方八面体の 5 つのセルに囲まれており、頂点図形は直方体です。

• ランシ切頂五コロン
• ランシトランケーテッド4 単体
• ジプリズマトディスペンタコロン
• 角錐角状五角形（略称：prip）（ジョナサン・バワーズ）

配置行列では、要素間のすべての入射数が表示されます。対角fベクトルの数は、一度に1つのミラーを削除してサブグループ順序のグループ順序全体を分割するウィトフ構成によって導出されます。^[2]

辺の長さが 2 である原点中心の 5 セルの 直交座標は次のとおりです。

頂点は、次の順列として、5次元空間の超平面上にさらに簡単に構築できます。

(0,1,1,2,3)

この構造は、ランシトランケート 5 オルソプレックスの正のオルト ファセットから得られます。

切頂5 セルまたは大十角柱体は、120 の頂点、240 の辺、150 の面 (90 の正方形と 60 の六角形)、および 30 のセルで構成されています。セルは、10 の切頂八面体と 20 の六角柱です。各頂点は、2 つの切頂八面体と 2 つの六角柱の 4 つのセルに囲まれており、2 つのフィリック二蝶形頂点図形に配置されています。

コクセターは、 1906年に著書『第四次元』でこれを説明したCHヒントンにちなんで、これをヒントンの多面体と呼んでいます。これは均一なハニカムを形成し、コクセターはこれをヒントンのハニカムと呼んでいます。^[3]

• 全切断型5細胞
• 全切形五芒星
• 全切断型4 単体
• グレートプリズマトデカコロン（略称：ギッピッド）（ジョナサン・バワーズ）
• ヒントンの多面体 (コクセター)

配置行列では、要素間のすべての入射数が表示されます。対角fベクトルの数は、一度に1つのミラーを削除してサブグループ順序のグループ順序全体を分割するウィトフ構成によって導出されます。^[4]

切頂八面体が4次のパーミュトヘドロンであるのと同様に、全切頂5セルは5次のパーミュトヘドロンです。 ^[5] 全切頂5セルはゾノトープであり、原点と5セルの5つの頂点を通る5本の直線に平行な5本の線分のミンコフスキー和です 。

5セルのハニカムは、このセルの平行移動コピーによって4次元空間をモザイク状に並べることができ、各セルは各面の周りに3つのハイパーセルを持つ。このハニカムのコクセター図は^[6] 3次元の類似のハニカムである、3つの異なるコクセター群ウィトフ構造を持つビットトランケーテッド立方ハニカムとは異なり、このハニカムにはそのような構造が1つしかありません。^[3]

5セルは拡張五面対称性[[3,3,3]]、位数240を持つ。5セルの頂点図形は[3,3,3]コクセター群のグルサ四面体を表す。拡張対称性は中間位数3の枝を横切る2回転回転から生じ、より明示的には[2 ⁺ [3,3,3]] と表される。

辺の長さが 2 である原点中心の全切頂 5 セルの頂点の 直交座標は次のとおりです。

これらの頂点は、5次元空間では(0,1,2,3,4)の120通りの順列としてより簡単に得られる。この構成は、ランシカンティトラン ケーテッド5次元正多角形複合体の正多角形面、t _0,1,2,3 {3,3,3,4}から得られる。。

[3,3,3]対称性と2種類の切頂八面体を持つ不均一な変種は、2種類の切頂八面体を重ねることで倍増し、切頂八面体10個、六角柱2種類（二三角柱20個、二三角台形20個）、直角台形2種類（D _2d対称性が30個、 C _2v対称性が60個）、頂点数240の不均一な多角柱を生成できる。その頂点図形は不規則な三角両錐体である。

頂点図形

この多面体を交互に配置すると、10 個の二十面体、2 種類の 40 個の八面体( S ₆対称の 20 個とD ₃対称の 20 個)、3 種類の 210 個の四面体(正方二面体 30 個、葉状二面体 60 個、不規則四面体 120 個)、および 120 個の頂点を持つ別の不均一多面体が生成されます。対称性は [[3,3,3] ⁺ ]、次数は 120 です。

頂点図形

完全スナブ5セルまたはオムニスナブ5セルは、オムニトランケーテッド5セルの交代として定義され、均一にすることはできませんが、コクセター図を与えることができます。、対称性は[[3,3,3]] ⁺、次数 120、90 個のセルで構成されています。10 個の 20面体、20個の 8 面体、および削除された頂点の隙間を埋める 60 個の 4 面体です。300 個の面 (三角形)、270 個の辺、および 60 個の頂点があります。

位相的には、最も高い対称性[[3,3,3]] ⁺では、10面体はT対称性（カイラル四面体）を持ち、20八面体はD3対称性を持ち、60四面体はC2_対称性を持つ。^[7 _]

これらの多面体は、[3,3,3]コクセター群から構成される9つの均一4次元多面体のファミリーの一部です。

• HSMコクセター:
  • HSM コクセター『正多面体』第 3 版、ドーバー ニューヨーク、1973 年
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • NW ジョンソン:均一多面体とハニカムの理論、Ph.D.
• 1. ペンタコロンに基づく凸均一ポリコーラ - モデル 5、8、9、George Olshevsky。
• Klitzing、Richard。「4D 均一多面体 (ポリコラ)」。o3x3x3o - spid、x3x3o3x - prip、x3x3x3x - gippid