推論規則

推論規則とは、前提から結論を導き出す方法である。これらは形式論理の不可欠な部分であり、妥当な議論の論理構造として機能する。真の前提を持つ議論が推論規則に従うならば、結論は偽であるはずがない。影響力のある推論規則であるモーダス・ポネンスは、「もし」の形の2つの前提を結びつける。${\displaystyle P}$それから${\displaystyle Q}$" そして "${\displaystyle P}$「結論へ」${\displaystyle Q}$例えば、「雨が降れば地面は濡れる。雨が降る。したがって、地面は濡れている。」という議論のように。有効な議論のさまざまなパターンに対応する推論規則は他にもたくさんあり、例えば、モーダス・トレンス、選言三段論法、構成的ジレンマ、存在一般化などがあります。

推論規則には、前提から結論へと一方向にのみ作用する含意規則と、 2つの表現が同等であり自由に交換できることを示す置換規則が含まれる。これらは、論理的誤りを含む無効な議論形式である形式的誤謬とは対照的である。

論理学者は、推論の有効なパターンを正確に捉え、体系化するために形式体系を構築し、異なる推論規則を使用する体系が存在します。たとえば、命題論理は、「否定」や「もし…ならば…」などの論理演算子によって形成される文がどのように結論を裏付けるかを調べます。一階述語論理は、命題の内部構造（名前や述語など）が推論にどのように影響するかを分析することで、命題論理を拡張します。他の論理体系は、何が可能で何が必要か、人々が何を信じているか、そして異なる時間に何が起こったかに関連する推論パターンを探求します。論理体系を表現するために、さまざまな形式主義が使用されます。自然演繹体系は、人々が自然に推論する方法を反映するために多くの直感的な推論規則を使用する一方、ヒルベルト体系は、冗長性のない基本原理を表現するための最小限の枠組みを提供します。

推論規則は、数学における証明やコンピュータ科学における自動推論など、多くの分野に関連している。その概念的および心理学的基盤は、論理哲学者や認知心理学者によって研究されている。

推論規則とは、一連の前提から結論を導き出す方法である。^{[ 1 ]}推論規則や変換規則とも呼ばれ、^{[ 2 ]}推論を導き、結論を正当化し、議論を批判するために使用できる正しい推論の規範である。演繹論理の一部として、推論規則は前提の真偽を保持する議論形式であり、前提が真であれば結論は常に真であることを意味する。^{[ a ]}推論は、正しい推論規則に従う場合に演繹的に妥当である。これが当てはまるかどうかは、前提と結論の形式または構文構造のみに依存し、つまり、命題の実際の内容または具体的な意味は妥当性に影響しない。たとえば、モーダス・ポネンスは、「もし」の形式の2つの前提を結びつける推論規則である。${\displaystyle P}$それから${\displaystyle Q}$" そして "${\displaystyle P}$「結論へ」${\displaystyle Q}$「. 文字${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$この例では、また後の式では、いわゆるメタ変数です。これらは、単純命題または複合命題を表します。^{[ 4 ]}モーダス・ポネンスに従う議論は、特定の意味に関係なく有効です。${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$例えば、「昼であれば明るい。昼である。したがって明るい。」という議論がある。^{[ 5 ]} ' modus ponensに加えて、 modus tollens、選言三段論法、構成的ジレンマなど、他の推論規則も多数存在する。^{[ 4 ]}

推論規則を表すにはさまざまな形式があります。一般的なアプローチは、各前提ごとに新しい行を使用し、水平線を使用して前提と結論を区切ることです。この形式では、modus ponens は次のように記述されます。^{[ 6 ] [ b ]}$${\displaystyle {\begin{array}{l}P\to Q\\P\\\hline Q\end{array}}}$$

一部の論理学者は、したがって記号(${\displaystyle \therefore }$）水平線と併用するか、水平線の代わりに、結論が始まる場所を示す。^{[ 8 ]}シーケント表記法は別の方法で、前提をコンマで区切り、ターンスタイル記号（）で結論に接続する単一の線を使用する。${\displaystyle \vdash }$)、例えば${\displaystyle P\to Q,P\vdash Q}$[ ^{9 ]​}

推論規則は論理体系の一部であり、異なる体系は異なる規則セットを採用しています。たとえば、普遍インスタンス化^{[ c ]}は一階述語論理体系の推論規則ですが、命題論理体系の推論規則ではありません。^{[ 11 ]}推論規則は、証明の新しい行を前の行から導出するための明示的な手順として、証明において中心的な役割を果たします。証明は一連の推論ステップを含み、証明しようとする定理を確立するために、さまざまな推論規則を使用することがよくあります。 ^{[ 12 ] [ d ]}推論規則は定義規則、つまりどの推論が許されるかに関する規則です。これらは、特定の前提の集合から特定の定理を証明するために必要な推論ステップを規定する戦略的規則とは対照的です。定義規則を習得するだけでは、意図した結論に到達する方法についての指針がほとんどないため、効果的な推論には十分ではありません。^{[ 14 ] [ e ]}記号表現の変換を規定する基準または手順として、推論規則は前提を入力として受け取り結論を出力する数学関数に似ています。ある解釈によれば、推論規則は文中に存在する論理演算子^{[ f ]}に内在しており、追加情報を加えることなくこれらの演算子の意味と機能を明確にします。^{[ 17 ]}

論理学者は推論規則を2種類区別します。含意規則と置換規則です。^{[ g ]}モーダス・ポネンスのような含意規則は一方向にのみ作用し、結論は前提から演繹できますが、前提は結論から演繹できません。一方、置換規則は双方向に作用し、2つの式は同等であり、自由に置き換えることができると述べています。たとえば、古典論理では、命題（${\displaystyle P}$) は、その否定の否定^{[ h ]と同等である (}${\displaystyle \lnot \lnot P}$) ^{[ i ]}その結果、どちらの方向にも一方から他方を推論することができ、置換規則となる。他の置換規則には、ド・モルガンの法則や、連言と選言の交換法則と結合法則などがある。含意規則は完全な文にのみ適用されるが、置換規則は複合文のどの部分にも適用できる。^{[ 22 ]}

演繹的推論規則は、権威論証や類推論のように、結論の真偽を保証することなく、結論をある程度裏付ける推論パターンを記述する反駁可能な論証スキームとは異なります。ただし、「推論規則」という用語は、非演繹的な論証スキームを含めるために、より広い意味で使用されることがあります。^{[ 23 ]}同様に、この用語は、科学実験は再現可能であるべきという原則など、研究の一般的な基準を含むように、時折広く解釈されます。^{[ 24 ]}

形式的な推論規則に関する最初の議論の一つは、古代のアリストテレスの論理学に遡ります。彼の妥当な三段論法の説明は、中世および近世初期の哲学でさらに洗練されました。19 世紀の記号論理学の発展、例えばジョージ・ブールのブール代数の体系化は、古典的な命題論理および一階述語論理に属する多くの追加の推論規則の定式化につながりました。20 世紀および 21 世紀には、論理学者は代替の推論規則を持つさまざまな非古典的な論理体系を開発しました。 ^{[ 25 ]}

推論規則は、結論を支持する前提から構成される議論の構造を記述します。^{[ 26 ]}前提と結論は、何が真実であるかについての記述または命題です。たとえば、「ドアは開いている」という主張は、真または偽のいずれかである記述ですが、「ドアは開いていますか？」という質問や「ドアを開けてください！」という命令は記述ではなく、真偽値はありません。^{[ 27 ]}推論は、前提から結論への推論のステップであり、議論は推論の外的表現です。^{[ 28 ]}

論理学は正しい推論の研究であり、良い議論と悪い議論を区別する方法を研究します。^{[ 29 ]}演繹論理は、すべての前提が真であれば結論が偽になることはない、演繹的に妥当な議論と呼ばれる最も強力な議論を研究する分野です。これは、結論が前提の論理的帰結であると言うことで表現されます。推論規則は演繹論理に属し、この要件を満たす議論の形式を記述します。^{[ 30 ]}議論が推論規則に従っているかどうかを正確に評価するために、論理学者は形式言語を使用して、数学の公式と同様に、厳密な方法でステートメントを表現します。^{[ 31 ]}彼らは形式言語と推論規則を組み合わせて、命題を定式化し結論を導き出すための枠組みである形式システムを構築します。^{[ j ]}異なる形式システムは、異なる形式言語または異なる推論規則を使用する場合があります。^{[ 33 ] [ k ]}形式システム内の基本的な推論規則は、許容規則として知られる新しい規則を導入することによって拡張できることがよくあります。許容規則は形式体系におけるどの議論が有効であるかを変更するものではありませんが、証明を簡略化することができます。許容規則が体系の基本規則の組み合わせによって表現できる場合、それは派生規則または導出可能規則と呼ばれます。^{[ 35 ]}形式体系で演繹できる命題は、その形式体系の定理と呼ばれます。^{[ 36 ]}広く使用されている論理体系には、命題論理、一階述語論理、様相論理などがあります。^{[ 37 ]}

推論規則は、前提が真である場合にのみ結論が真であることを保証する。誤った前提を持つ議論でも妥当である場合があるが、その結論は偽である可能性がある。例えば、「豚が飛べるならば、空は紫色である。豚は飛べる。したがって、空は紫色である。」という議論は、誤った前提を含んでいても、モーダス・ポネンスに従っているため妥当である。妥当な議論は、その前提がすべて真である場合に健全な議論と呼ばれる。 ^{[ 38 ]}

推論規則は、トートロジーまたは論理的真理と密接に関連しています。論理学において、トートロジーとは、非論理的語彙の意味とは無関係に、使用されている論理的語彙のみによって真となる命題です。たとえば、「木が緑で空が青いならば、木は緑である」という命題は、木や緑などの用語の意味とは無関係に真であるため、トートロジーとなります。推論規則に従うすべての議論は、トートロジーに変換できます。これは、すべての前提の連言（かつ）を形成し、それを含意（もし…ならば…）によって結論に接続することで、議論の個々の命題すべてを単一の命題にまとめることによって実現されます。たとえば、妥当な議論「木は緑で空は青い。したがって、木は緑である。」は、トートロジー「木が緑で空が青いならば、木は緑である」に変換できます。^{[ 39 ]}

推論規則は、議論が妥当であることを示す唯一の方法ではありません。代替方法としては、命題論理に適用される真理表や、一階述語論理にも適用できる真理木などがあります。 ^{[ 40 ]}

推論を体系化し、議論の妥当性を証明するさまざまな方法として、さまざまな形式体系や証明システムが提案されてきた。異なる論理体系とは異なり、これらの形式体系は証明できる内容には影響を与えず、証明の定式化方法にのみ影響を与える。影響力のある枠組みとしては、自然演繹システム、ヒルベルトシステム、シーケント計算などがある。^{[ 64 ]}

自然演繹システムは、論理的導出をより容易にするために多くの直感的な推論規則を導入することで、人々が自然に推論する方法を反映することを目指しています。それらは複雑な議論を単純なステップに分解し、多くの場合、一時的な前提に基づく部分証明を使用します。自然演繹における推論規則は特定の論理演算子を対象とし、導入規則によって演算子を追加する方法、または削除規則によって演算子を削除する方法を規定します。たとえば、連言導入規則は、推論できると主張します。${\displaystyle P\land Q}$敷地内から${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$それによって、論理積演算子を含まない前提から論理積演算子を含む結論を導き出すことができる。逆に、論理積除去規則は、推論できると主張する。${\displaystyle P}$から${\displaystyle P\land Q}$これにより、論理積演算子を含まない結論が得られます。同様の推論規則には、選言の導入と除去、含意の導入と除去、否定の導入と除去、双条件の導入と除去などがあります。結果として、自然演繹の体系には通常、多くの推論規則が含まれます。^{[ 65 ] [ o ]}

対照的に、ヒルベルトシステムは、推論規則をできるだけ少なくすることで、論理的推論の最小限かつ効率的な枠組みを提供することを目指しています。多くのヒルベルトシステムは、推論規則としてモーダス・ポネンスのみを持っています。この最小限の基礎からすべての定理を導出できることを保証するために、公理図式を導入します。^{[ 67 ]}公理図式は、公理または真のステートメントを作成するためのテンプレートです。メタ変数（特定の用語または式に置き換えることができるプレースホルダー）を使用して、無限の数の真のステートメントを生成します。^{[ 68 ]}例えば、命題論理は、次の 3 つの公理図式で定義できます。(1)${\displaystyle P\to (Q\to P)}$（２）${\displaystyle (P\to (Q\to R))\to ((P\to Q)\to (P\to R))}$（３）${\displaystyle (\lnot P\to \lnot Q)\to (Q\to P)}$[ ^{69 ]}証明を定式化するために、論理学者は公理体系から新しい命題を作成し、それらの命題にモーダス・ポネンスを適用して結論^を​​導き出します。自然演繹と比較すると、この手順は記号操作に大きく依存するため、根底にある論理的推論が不明瞭になる可能性があるため、直感的ではない傾向があります。^{[ 70 ]}

別のアプローチであるシーケント計算では、引数の形式的表現としてシーケントが導入されます。シーケントは次の形式をとります。${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{m}\vdash B_{1},\dots ,B_{n}}$、 どこ${\displaystyle A_{i}}$そして${\displaystyle B_{i}}$は命題を表します。シーケントは、少なくとも1つが${\displaystyle B_{i}}$すべてが真である場合${\displaystyle A_{i}}$は真です。推論規則はシーケントに作用して、追加のシーケントを生成します。シーケント計算では、各論理演算子に対して 2 つの推論規則が定義されています。1 つはシーケントの左側に導入するための規則、もう 1 つは右側に導入するための規則です。たとえば、演算子を導入する規則を通して、${\displaystyle \lnot }$左側では、${\displaystyle \lnot R,P\vdash Q}$から${\displaystyle P\vdash Q,R}$カットルールは推論の追加ルールであり、特定の命題を削除することによってシーケントを単純化することを可能にする。^{[ 71 ]}

推論規則は演繹的推論の有効なパターンを記述するのに対し、形式的誤謬は論理的誤りを含む無効な議論形式である。形式的誤謬の前提は結論を適切に支持しないため、すべての前提が真であっても結論は偽となる可能性がある。形式的誤謬はしばしば有効な推論規則の構造を模倣するため、人々が知らず知らずのうちに誤謬を犯し、その結論を受け入れてしまう可能性がある。^{[ 73 ]}

結論を肯定する形式的誤謬は、${\displaystyle P}$敷地内から${\displaystyle P\to Q}$そして${\displaystyle Q}$例えば、「レオが猫ならば、レオは動物である。レオは動物である。したがって、レオは猫である。」という議論のように。この誤謬は、モーダス・ポネンスに従う妥当な推論に似ているが、重要な違いは、この誤謬では第2前提と結論が入れ替わっていることである。^{[ 72 ]}前件否定の形式的誤謬は、${\displaystyle \lnot Q}$敷地内から${\displaystyle P\to Q}$そして${\displaystyle \lnot P}$例えば、「ラヤが映画を見たなら、ラヤは楽しかった。ラヤは映画を見ていない。したがって、ラヤは楽しかったのではない。」という議論のように。この誤謬は、モーダス・トレンスに従う妥当な推論に似ているが、重要な違いは、この誤謬では第2前提と結論が入れ替わっていることである。^{[ 74 ]}他の形式的誤謬には、選言の肯定、存在の誤謬、および中項不分配の誤謬がある。^{[ 75 ]}

推論規則は多くの分野、特に数学やコンピュータ科学などの形式科学に関連しており、定理の証明に使用されます。^{[ 76 ]}数学的証明は、多くの場合、数学的構成要素間の論理的関係を記述する一連の公理から始まります。定理を確立するために、数学者はこれらの公理に推論規則を適用し、定理が論理的帰結であることを示すことを目指します。^{[ 77 ]}彼らは、直接証明、背理法、数学的帰納法など、結論に到達するための推論戦略に基づいて、さまざまな種類の証明を区別します。^{[ 78 ]}数学と論理学のサブ分野である数理論理学は、数学的方法とフレームワークを使用して、推論規則やその他の論理的概念を研究します。^{[ 79 ]}

Computer science also relies on deductive reasoning, employing rules of inference to establish theorems and validate algorithms.^[80]Logic programming frameworks, such as Prolog, allow developers to represent knowledge and use computation to draw inferences and solve problems.^[81] These frameworks often include an automated theorem prover, a program that uses rules of inference to generate or verify proofs automatically.^[82]Expert systems utilize automated reasoning to simulate the decision-making processes of human experts in specific fields, such as medical diagnosis, and assist in complex problem-solving tasks. They have a knowledge base to represent the facts and rules of the field and use an inference engine to extract relevant information and respond to user queries.^[83]

Rules of inference are central to the philosophy of logic regarding the definition of logical consequence, which describes the relation between the premises of a deductively valid argument and its conclusion. Different theories of this concept debate its nature and the conditions under which it exists. According to the deductive-theoretic conception, logical consequence is defined in terms of rules of inference: a conclusion follows logically from a set of premises if it can be deduced through a series of inferential steps. The model-theoretic conception, by contrast, focuses on how the non-logical vocabulary of statements can be interpreted. According to this view, logical consequence means that no counterexamples are possible: under no interpretation are the premises true and the conclusion false.^[84] A related topic in the epistemology of logic concerns the question of how to justify that modus ponens and other rules of inference are acceptable forms of correct reasoning.^[85]

認知心理学者は、論理的推論を含む精神過程を研究します。彼らは、人間が推論規則を用いて結論を導き出す方法に関心を持ち、正しさや効率性に影響を与える要因を調べます。例えば、人々はモーダス・ポネンスをモーダス・トレンスよりもうまく使いこなし、その結果、推論の成功率が高くなることを彼らは観察しています。関連するトピックとして、形式的誤謬を正当な議論と誤解させるバイアスがあります。例えば、後件を肯定し前件を否定するタイプの誤謬は、しばしば誤って正当なものとして受け入れられます。議論の評価は、命題の具体的な意味にも依存します。結論がもっともらしく聞こえる場合、人々は誤謬を受け入れやすくなります。^{[ 86 ]}

推論規則は、自分の主張の妥当性を確立したり、論理的誤謬を暴くことで相手の主張を弱体化させたりするために、法律分野にも関連している。しかし、法的推論は厳密な演繹的推論に限定されるものではなく、純粋な形式論理を超えた法的規範や証拠基準などの側面も取り入れている。^{[ 87 ]}

• 即時推論– 単一の記述からの論理的推論 
• 推論の反論―前提と結論の関係に異議を唱える議論の拒否
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• 推論規則の一覧
• 構造規則– 数理論理学の規則