確率論理

確率論理（確率論理、確率的推論とも呼ばれる）は、不確実な状況に対処するために確率と論理を用いるものです。確率論理は、従来の論理真理値表に確率表現を追加したものです。確率論理の難点は、確率的要素と論理的要素の計算複雑性が増大する傾向があることです。その他の難点としては、デンプスター・シェーファー理論における信念融合の場合のように、直感に反する結果が生じる可能性が挙げられます。情報源の信頼性や、主観論理で定義されるような、情報源が提供する確率に関する認識的不確実性も考慮すべき要素です。多様な状況や問題に対処する必要性から、様々な提案がなされてきました。

確率論理には数多くの提案がある。大まかに言えば、それらは2つの異なるクラスに分類できる。1つは、マルコフ論理ネットワークのように、論理的含意に確率的な拡張を試みる論理であり、もう1つは、不確実性や証拠の欠如といった問題に対処しようとする論理（証拠論理）である。

確率の概念が異なる意味を持つ可能性があることは、啓蒙時代に確率が数学化されたにもかかわらず、数学的確率論が今日に至るまで、容疑者の有罪の「確率」を評価する際に刑事法廷で全く使用されていないという事実を指摘することで理解できるかもしれない。^{[ 1 ]}

より正確に言えば、証拠論理においては、ある陳述の客観的な真偽と、その陳述の真偽に関する我々の判断を区別する必要があり、さらにそれは、その陳述の真偽に対する我々の確信と区別されなければならない。したがって、容疑者の実際の有罪は、必ずしも裁判官の有罪判決と同じではなく、さらにそれは、犯罪の実行に数値的な確率を割り当て、それが有罪の数値的閾値を超えているかどうかを判断することと同じではない。一人の容疑者に対する判決は、コイン投げの結果が表か裏かをある程度不確実性をもって予測できるのと同様に、有罪か無罪かをある程度不確実性をもって判断できる。多数の容疑者がいる場合、表が出る確率が半分であるのと同様に、一定の割合が有罪である可能性がある。しかし、この平均の法則を一人の犯罪者（または一回のコイン投げ）に関して適用するのは誤りである。犯罪者が「少し有罪」であるということは、一回のコイン投げの結果が「少し表で少し裏」であると予測することと何ら変わらない。我々は単に、どちらが出るか不確実であるにすぎない。物理量の科学的測定を行う際には、不確実性を数値的な確率として表現することは許容されるかもしれないが、それは「常識」的な推論や論理の文脈で私たちが認識する不確実性を数学的にモデル化したものに過ぎない。法廷での推論と同様に、不確実な推論を用いる目的は、何らかの確率的な含意を行うことではなく、命題の確信度を高めるための証拠を集めることにある。

歴史的に見ると、確率的推論を定量化しようとする試みは古代にまで遡ります。特に12世紀以降、スコラ学派の研究、半証明の発明（2つの半証明があれば有罪を証明できる）、道徳的確実性の解明（行動するのに十分な確実性はあるが絶対的な確実性には及ばない）、カトリックの確率論の発展（たとえ可能性が低くても、確立された教義の規則や専門家の意見に従うのは常に安全であるという考え方）、事例に基づく推論であるカズイストリー、そしてラクシスムのスキャンダル（確率論を用いてほぼあらゆる主張を裏付けようとし、ほぼあらゆる命題を支持する専門家の意見を見つけることができた）など、強い関心が寄せられました。^{[ 1 ]}

以下は、古典論理および述語論理に対する確率論的および証拠論的拡張に関する提案の一覧です。

• 「確率論理」という用語は、ジョン・フォン・ノイマンが1952年と1956年のカリフォルニア工科大学の一連の講義「確率論理と信頼できない構成要素からの信頼できる生物の合成」で初めて使用し、その後、ニルス・ニルソンが1986年に発表した論文で、文の真理値は確率であるとされました。^{[ 2 ]}提案された意味論的一般化は、確率的論理的含意を誘導し、すべての文の確率が0または1の場合、通常の論理的含意に還元されます。この一般化は、有限個の文の一貫性を確立できる任意の論理システムに適用されます。
• Gaifman ^{[ 3 ]}と Snir ^{[ 4 ]}は、帰納的推論に適した、古典的な確率論と一階述語論理の、全体的に一貫性があり経験的に満足のいく統一理論を開発した。彼らの理論は、知識ベースと整合し（事実と公理には確率 1）、標準的な（コルモゴロフ）確率公理と論理的演繹と整合し、極限において（ベイズ的）帰納的推論と学習を可能にする文に確率または信念の度合いを割り当てる。最も重要なのは、ほとんどの代替案とは異なり、普遍的に量化された仮説の確認を可能にすることである。この理論は高階論理にも拡張されている。^{[ 5 ]}どちらの解決策も純粋に理論的であるが、実用的な近似を生み出している。^{[ 6 ]}
• 主観論理の理論^{[ 7 ]}の中心概念は、与えられた論理文に含まれる命題変数に関する意見です。二項意見は単一の命題に適用され、命題の真偽に関する確率的および認識論的不確実性を表現するために、単一の確率値の 3 次元拡張として表されます。議論意見の構造に基づく派生意見の計算のために、この理論は、意見の乗算 ( AND )、共乗算 ( OR )、除算 ( UN-AND )、共除算 ( UN-OR ) ^{[ 8 ]} 、条件付き演繹 ( MP ) およびアブダクション ( MT ) ^{[ 9 ]}、ベイズの定理^{[ 10 ]}など、さまざまな論理結合子に対応する演算子を提案しています。
• ファジィ論理によって提案された近似推論形式は、モデルが確率分布であり、理論が下限である論理を得るために使用できます。^{[ 11 ]}このような論理では、利用可能な情報の一貫性の問題は、部分的な確率割り当ての一貫性の問題と密接に関連しており、したがってダッチブック現象と関連しています。
• マルコフ論理ネットワークは、最大エントロピー原理に基づいた不確実推論の一形態を実装している。これは、マルコフ連鎖が有限状態機械の遷移に確率を割り当てる方法と同様に、エントロピーを最大化するように確率を割り当てるべきだという考え方である。
• ベン・ゴーツェル氏の確率的論理ネットワーク（PLN）のようなシステムは、原子と文に明示的な信頼度ランキングと確率を追加します。演繹と帰納の規則はこの不確実性を組み込むことで、純粋なベイズ的論理アプローチ（マルコフ論理を含む）の難しさを回避するとともに、デンプスター・シェーファー理論のパラドックスも回避します。PLNの実装は、これらの拡張を前提として、論理プログラミングのアルゴリズムを利用し、一般化しようと試みています。
• 確率的議論の分野では、様々な形式的枠組みが提案されてきた。例えば、 「確率的ラベル付け」の枠組み^{[ 12 ]}は、標本空間が議論グラフのラベル付けの集合である確率空間を指す。「確率的議論システム」の枠組み^{[ 13 ] [ 14 ]}では、確率は議論や論理文に直接結び付けられるのではなく、特定の部分集合が${\displaystyle W}$変数の${\displaystyle V}$文に含まれるは、対応する部分σ代数上の確率空間を定義する。これにより、に関して2つの異なる確率測度が誘導される。${\displaystyle V}$これらはそれぞれ、支持度と可能性度と呼ばれます。支持度は証明可能性の非加法的な確率と見なすことができ、これは通常の論理的含意の概念を一般化したものです（${\displaystyle V=\{\}}$）および古典的な事後確率（${\displaystyle V=W}$数学的には、この見解はデンプスター・シェーファー理論と互換性がある。
• 証拠推論の理論^{[ 15 ]}では、論理的含意（証明可能性）と確率の両方に対する一般的な概念として、非加法的な確率（または認識的確率）も定義されています。その考え方は、合理的なエージェントが世界について持っている知識の状態を表す認識演算子Kを考慮することで、標準的な命題論理を拡張することです。確率は、結果として得られるすべての命題文pの認識的宇宙K p上で定義され、これが分析者にとって利用可能な最良の情報であると主張されています。この観点から、デンプスター・シェーファー理論は、確率的推論の一般化された形式であるように見えます。

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• Progicnet：確率論理と確率ネットワーク
• 主観的論理の実証
• 不確実確率学会