推論規則の一覧

不条理の還元(または否定の導入)

${\displaystyle \varphi \vdash \psi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \lnot \psi }}}$

${\displaystyle \lnot \varphi }$

背理法（排中律に関連する）

${\displaystyle \lnot \varphi \vdash \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \vdash \lnot \psi }}}$

${\displaystyle \varphi }$

Ex contradictione quodlibet

${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi }}}$

${\displaystyle \psi }$

演繹定理（または条件付き導入）

${\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \psi }}}$

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$

手口(条件付き消去の一種)

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \quad }}}$

${\displaystyle \psi }$

モーダス・トレンス（条件付き排除の一種）

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad \quad }}}$

${\displaystyle \lnot \varphi }$

付加詞（または接続詞導入）

${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}}$

${\displaystyle \varphi \land \psi }$

簡略化（または接続詞の除去）

${\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}}$

${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}}$

${\displaystyle \psi }$

加算（または選言の導入）

${\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \ \ }}}$

${\displaystyle \varphi \lor \psi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}}$

${\displaystyle \varphi \lor \psi }$

事例分析（または事例による証明、事例による論証、または選言除去）

${\displaystyle \varphi \rightarrow \chi }$

${\displaystyle \psi \rightarrow \chi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}}$

${\displaystyle \chi }$

選言三段論法

${\displaystyle \varphi \lor \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \varphi \lor \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \varphi }$

建設的なジレンマ

${\displaystyle \varphi \rightarrow \chi }$

${\displaystyle \psi \rightarrow \xi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}}$

${\displaystyle \chi \lor \xi }$

双条件導入

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \rightarrow \varphi }}}$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

双条件消去

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \lnot \psi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}}$

${\displaystyle \lnot \varphi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\psi \lor \varphi }}}$

${\displaystyle \psi \land \varphi }$

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$

${\displaystyle {\underline {\lnot \psi \lor \lnot \varphi }}}$

${\displaystyle \lnot \psi \land \lnot \varphi }$

次の仮定を考えてみましょう。「今日雨が降ったら、今日はカヌーに乗らない。今日カヌー旅行に行かなければ、明日カヌー旅行に行く。したがって（「したがって」を表す数学記号は${\displaystyle \therefore }$「もし今日雨が降ったら、明日カヌー旅行に行く」。上記の表の推論規則を利用するために、${\displaystyle p}$「今日雨が降ったら」という命題を${\displaystyle q}$「今日はカヌーには乗らない」と言って${\displaystyle r}$「明日カヌー旅行に行く」という文の場合、この議論は次の形式になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow r}}\\\end{aligned}}}$

より複雑な仮定を考えてみましょう。「今日は晴れておらず、昨日より寒い」。「晴れている場合にのみ泳ぎに行く」、「泳ぎに行かない場合はバーベキューをする」、「バーベキューをする場合は日没までに帰宅する」という仮定は、「日没までに帰宅する」という結論につながります。推論規則による証明：${\displaystyle p}$「今日は晴れている」という命題を、${\displaystyle q}$「昨日より寒い」という命題${\displaystyle r}$「泳ぎに行こう」という提案${\displaystyle s}$「バーベキューをしよう」という提案、そして${\displaystyle t}$「日没までに家に帰る」という命題。すると仮説は次のようになる。${\displaystyle \neg p\wedge q,r\rightarrow p,\neg r\rightarrow s}$そして${\displaystyle s\rightarrow t}$直感的に考えると、結論は${\displaystyle t}$推論規則表を用いることで、この予想を容易に証明できる。