選言的三段論法

選言的三段論法

タイプ	推論のルール
分野	命題計算
声明	が真であるか、が真で が偽である場合、 は真です。${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$
象徴的な声明	${\displaystyle {\frac {P\lor Q,\neg P}{\therefore Q}}}$

古典論理学において、選言的三段論法^{[1] [2]}（歴史的にはmodus tollendo ponens ( MTP ) ^[3] として知られ、ラテン語で「否定することによって肯定するモード」を意味する）^[4]は、前提の1つに選言的な陳述を持つ三段論法である有効な 議論形式である。^{[5] [6]}

英語の例:

1. 私はスープを選ぶか、サラダを選びます。
2. 私はスープを選びません。
3. したがって、私はサラダを選択します。

命題論理において、選言三段論法（選言除去法やまたは除去法とも呼ばれ、略して∨Eとも呼ばれる）^{[7] [8] [9] [10]}は有効な推論規則である。2つの文のうち少なくとも1つが真であり、前者が真ではないことが分かっている場合、後者が真であると推論することができる。同様に、 Pが真であるか、Qが真でPが偽である場合、Qは真である。「選言三段論法」という名前は、それが三段論法であり、3段階の議論であり、論理的選言（任意の「または」文）を使用していることに由来している。たとえば、「PまたはQ」は選言であり、PとQは文の選言と呼ばれる。この規則により、 論理的証明から選言を除去することができる。

${\displaystyle {\frac {P\lor Q,\neg P}{\therefore Q}}}$

ここでの規則は、「」および「」が証明の行に現れるときはいつでも、「」を後続の行に配置できるというものです。 ${\displaystyle P\lor Q}$${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle Q}$

選言三段論法は、三段論法を含む別の推論規則である仮説三段論法と密接に関連し、類似しています。また、伝統的な思考の 3 つの法則の1 つである矛盾律とも関連しています。

これを検証する論理システムでは、選言三段論法は次のように逐次表記 で記述できる。

${\displaystyle P\lor Q,\lnot P\vdash Q}$

ここで、 は、 およびの構文上の帰結であることを意味するメタ論理記号です。 ${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P\lor Q}$${\displaystyle \lnot P}$

これは、命題論理のオブジェクト言語における 真理関数トートロジーまたは定理として次のように表現される。

${\displaystyle ((P\lor Q)\land \neg P)\to Q}$

ここで、、およびは、何らかの形式体系で表現された命題です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

次に例を示します。

1. それは赤か青です。
2. それは青ではありません。
3. だから赤いのです。

もう一つの例を挙げます。

1. この違反は安全違反に該当するため、罰金の対象にはなりません。
2. この違反は安全違反ではありません。
3. したがって、罰金の対象にはなりません。

Modus tollendo ponens は、前提として包含的選言ではなく 排他的選言を使用することで強化できます。

${\displaystyle {\frac {P{\underline {\lor }}Q,\neg P}{\therefore Q}}}$

混同してはならないmodus ponensやmodus ponendo tollensとは異なり、選言三段論法は論理体系の明示的な規則や公理とされないことが多く、これは上記の議論が背理法と選言消去法の組み合わせで証明できるためです。

三段論法の他の形式には以下のものがあります。

• 仮説的三段論法
• 定言的三段論法

選言的三段論法は古典的な命題論理と直観主義論理では成り立つが、いくつかの矛盾論理では成り立たない。^[11]

• ストア派の論理
• 三段論法の種類（選言的、仮説的、法的、多段的、前段的、準段的、統計的）