モダストレンス

モダストレンス

タイプ	演繹的 議論形式 推論のルール
分野	古典論理 命題計算
声明	${\displaystyle P}$は偽であることを意味します。したがって、も偽である必要があります。${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$
象徴的な声明	${\displaystyle P\rightarrow Q,\neg Q}$ ${\displaystyle \therefore \neg P}$[1]

命題論理において、modus tollens ( / ˈ m oʊ d ə s ˈ t ɒ l ɛ n z / ) ( MT ) は、 modus tollendo tollens (ラテン語で「取り除くことによって取り除く方法」) ^[2]とも呼ばれ、帰結を否定する^[3]演繹 議論形式であり、推論規則である。modus tollensは、 「 PならばQ 。 Qでない。したがってPでない」という形式を取る混合仮説三段論法である。 これは、文が真であればその逆説も真であるという一般真理の応用である。 この形式は、 Pからの推論がQ を意味し、 Q の否定がP の否定を意味することが有効な議論であることを示す。

推論規則modus tollensの歴史は古代にまで遡ります。^[4] modus tollensという議論形式を明示的に記述した最初の人物はテオプラストスでした。^[5]

Modus tollens はmodus ponensと密接に関連しています。類似しているが無効な議論の形式が 2 つあります。結論を肯定し、前提を否定するものです。対置と対置による証明も参照してください。

モーダス・トレンスの議論の形式は、2 つの前提と結論を持つ 混合仮説三段論法です。

PならばQ。​

Q ではありません。

したがって、Pではありません。

最初の前提は、 P はQ を意味するなどの条件付き(「if-then」) 主張です。2 番目の前提は、条件付き主張の結果であるQ が当てはまらないという主張です。これら 2 つの前提から、条件付き主張の前提条件であるPも当てはまらないと論理的に結論付けることができます。

例えば：

犬は侵入者を感知すると吠えます。

犬は吠えなかった。

したがって、犬は侵入者を検知しませんでした。

前提が両方とも真であると仮定すると (犬は侵入者を感知すると吠えるだろうし、実際吠えない)、侵入者は感知されていないということになります。前提が真であれば結論が偽になることはあり得ないので、これは有効な議論です。 (犬が感知しなかった侵入者がいた可能性は考えられますが、そのことで議論が無効になるわけではありません。最初の前提は「犬が侵入者を感知した場合」です。重要なのは、犬が侵入者を感知するか感知しないかであり、侵入者がいるかどうかではありません。)

例1:

もし私が泥棒なら、金庫を破ることができるでしょう。

金庫を破ることはできません。

したがって、私は泥棒ではありません。

例2:

レックスが鶏なら、彼は鳥です。

レックスは鳥ではありません。

したがって、レックスは鶏ではありません。

modus tollensの使用はすべて、modus ponensの使用と、物質的含意である前提への転置の 1 回の使用に変換できます。例:

PならばQ 。（前提 – 物質的含意）

QでなければPでもない。（転置により導出される）

Qではない。（前提）

したがって、Pではない。（モーダスポネンスにより導出される）

同様に、modus ponensの使用はすべて、 modus tollensと転置 の使用に変換できます。

モダス・トレンス規則は、正式には次のように述べられます。

${\displaystyle {\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}}$

ここで、 は「P は Q を意味する」という文を表します。は「Q はそうではない」(または簡単に言えば「Q ではない」) を表します。次に、「」と「 」がそれぞれ単独で証明の行として現れるときはいつでも、「」を後続の行に有効に置くことができます。 ${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \neg Q}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \neg Q}$${\displaystyle \neg P}$

モダス・トレンス規則は、次の順序記法で記述できます。

${\displaystyle P\to Q,\neg Q\vdash \neg P}$

ここで、 は、 およびの何らかの論理システムにおけるの構文上の帰結であることを意味するメタ論理記号です。 ${\displaystyle \vdash}$${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \neg Q}$

あるいは、機能的トートロジーや命題論理の定理の記述として:

${\displaystyle ((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P}$

ここで、 および は何らかの形式体系で表現された命題である。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

または仮定を含む:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash P\to Q~~~\Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}}}$

ただし、このルールは一連の仮定を変更しないため、これは厳密には必要ではありません。

集合論などでは、モーダス・トレンスを含むより複雑な書き換えがよく見られます。

${\displaystyle P\subseteq Q}$

${\displaystyle x\notin Q}$

${\displaystyle \therefore x\notin P}$

(「P は Q のサブセットです。x は Q に含まれません。したがって、x は P に含まれません。」)

第一階述語論理でも：

${\displaystyle \forall x:~P(x)\to Q(x)}$

${\displaystyle \neg Q(y)}$

${\displaystyle \therefore ~\neg P(y)}$

(「すべての x について、x が P であれば x は Q です。y は Q ではありません。したがって、y は P ではありません。」)

厳密に言えば、これらはmodus tollensの例ではありませんが、いくつかの追加手順を使用してmodus tollensから派生することができます。

モーダス・トレンスの妥当性は真理値表を通じて明確に実証できます。

modus tollensの例では、前提として p → q が真で q が偽であると仮定します。真理値表でこれらの 2 つの条件を満たす行は 1 つだけ (4 行目) あります。この行では、p は偽です。したがって、p → q が真で q が偽であるすべての例では、p も偽でなければなりません。

Modus tollens は、次のように表現されるベイズの定理と組み合わせた全確率の法則の例を表します。

$${\displaystyle \Pr(P)=\Pr(P\mid Q)\Pr(Q)+\Pr(P\mid \lnot Q)\Pr(\lnot Q)\,,}$$

ここで、条件文と は、次のように表現されるベイズの定理（の拡張形）によって得られます。 ${\displaystyle \Pr(P\mid Q)}$${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)}$

$${\displaystyle \Pr(P\mid Q)={\frac {\Pr(Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(Q\mid P)\,a(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}\;\;\;}$$そして $${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)+\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}.}$$

上記の式では、は の確率を表し、は のベース レート(別名、事前確率)を表します。条件付き確率は論理ステートメント を一般化します。つまり、TRUE または FALSE を割り当てることに加えて、ステートメントに任意の確率を割り当てることもできます。 がTRUE であることに等しく、 がFALSE であることに等しいと仮定します。すると、および のときであることが簡単にわかります。これは、最後の式でとなるためです。したがって、最初の式の積項には常にゼロ因子があるため となり、はFALSE であることに等しくなります。したがって、全確率の法則とベイズの定理を組み合わせると、モダストレンの一般化が表されます。^[6]${\displaystyle \Pr(Q)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle a(P)}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle \Pr(Q)=1}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \Pr(Q)=0}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \Pr(P)=0}$${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$${\displaystyle \Pr(Q)=0}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)=0}$${\displaystyle \Pr(P)=0}$${\displaystyle P}$

Modus tollens は、次のように表現される主観的論理におけるアブダクション演算子のインスタンスを表します。

$${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A}){\widetilde {\circledcirc }}(a_{P},\,\omega _{Q}^{A})\,,}$$

ここで、 はについての主観的意見を表し、 はソース によって表現される二項条件付き意見のペアを表します。パラメータ はのベースレート（別名、事前確率）を表します。 についてのアブダクションされた周辺意見は で表されます。条件付き意見は論理ステートメント を一般化します。つまり、TRUE または FALSE を割り当てることに加えて、ソースはステートメントに任意の主観的意見を割り当てることができます。 が絶対的に TRUE の意見である場合は、ソースが TRUE であると言っていることと同等であり、 が絶対的に FALSE の意見である場合は、ソースが FALSE であると言っていることと同等です。主観的論理のアブダクション演算子は、条件付き意見が絶対的に TRUE で結果の意見が絶対的に FALSE の場合、絶対的にFALSE のアブダクションされた意見を生成します。したがって、主観的論理のアブダクションは、モダストレンスと、ベイズの定理と組み合わされた全確率の法則の両方の一般化を表します。^[7]${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\widetilde {\circledcirc }}}$${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {\|}}Q}^{A}}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$

• 不在の証拠 – 関連性の誤謬
• ラテン語のフレーズ
• やり方 – 仕事の習慣
• モーダス・ポネンス – 論理的推論のルール
• 共存関係 – 対立する当事者が平和的に共存できるようにする取り決め
• 非論理的推論 – 論理的欠陥による誤った演繹的推論Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 背理法による証明 – 否定が不可能であることを証明する
• 逆説による証明 – 数学的論理の概念Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ストア論理学 – ストア派哲学者によって開発された命題論理学の体系

• Audun Jøsang、2016、「主観的論理：不確実性下での推論の形式主義」 Springer、Cham、ISBN 978-3-319-42337-1 

• Wolfram MathWorldでのModus Tollens