直接的な証拠

数学と論理学において、直接証明とは、通常は公理、既存の補題や定理などの確立された事実を単純に組み合わせることで、与えられ た命題の真偽を、それ以上の仮定を置かずに示す方法です。^{[1] 「} pならばq 」という形式の条件文を直接証明するには、命題pが真となる状況を検討すれば十分です。仮定から結論を導くには、論理的演繹法が使用されます。使用される論理の種類は、ほとんどの場合、すべてのおよびが存在するに量指定子を使用する一階述語論理です。使用される一般的な証明規則は、可能性法と普遍的インスタンス化です。^[2]

対照的に、間接的な証明は、特定の仮説的なシナリオから始めて、避けられない結論が強制されるまで、これらのシナリオのそれぞれにおける不確実性を排除していきます。たとえば、p ⇒ q を直接示す代わりに、その逆説である~ q ⇒ ~ p を証明します（ ~ qを仮定し、それが ~ pにつながることを示します）。p ⇒ qと ~ q ⇒ ~ p は転置の原理（排中律を参照）により同値であるため、p ⇒ q は間接的に証明されます。直接的ではない証明方法には、無限降下による証明を含む背理法による証明があります。直接的な証明方法には、尽くしによる証明と帰納法による証明があります。

直接証明は、最も単純な形の証明です。「証明」という言葉はラテン語のprobare ^[3]に由来し、 「テストする」という意味です。証明が最も古く使われたのは、法的手続きにおいてでした。貴族などの権威のある人は誠実であると言われました。つまり、証拠は経験的な証言よりも相対的な権威によるものでした。昔は、数学と証明は実用的な問題と絡み合っていました。エジプト人やギリシャ人などの人々は土地の測量に興味を示していました。^{[4]これにより、}幾何学や三角法、特に三角形と長方形に対する自然な好奇心が生まれました。これらは実用的なものに関して最も多くの質問を提供する形状であったため、初期の幾何学の概念はこれらの形状に焦点が当てられていました。たとえば、建物やピラミッドなどはこれらの形状を多用していました。直接証明の歴史において重要なもう1つの形状は円で、アリーナや水槽の設計に不可欠でした。これは、古代幾何学 (およびユークリッド幾何学) が円について議論していたことを意味します。

数学の最も初期の形態は現象論的でした。たとえば、誰かが合理的な図を描いたり、説得力のある説明をしたりできれば、それは数学的な「事実」として説明されるすべての基準を満たしていました。時には類推的な議論が行われたり、「神々に祈る」ことさえありました。数学的な命題が証明できるという考えはまだ発展していなかったため、これらは実際の証明ではないにもかかわらず、証明の概念の最も初期の形態でした。

私たちが知っている証明は、「証明とは何なのか」という特定の質問から生まれました。伝統的に、証明とは、ある文が数学的に正しいことを合理的な疑いの余地なく誰かに納得させるプラットフォームです。当然、このようなもの (B) の真実性を証明する最良の方法は、すでに真実であることが証明されている古いもの (A) との比較を作成することだと考えられます。このようにして、古い結果から新しい結果を導き出すという概念が生まれました。

2つの偶数xとy を考えます。これらは偶数なので、次のように書くことができます。

${\displaystyle x=2a}$

${\displaystyle y=2b}$

それぞれ整数aとbについてである。その合計は次のように書ける。

${\displaystyle x+y=2a+2b=2(a+b)=2p}$ここで、a、b はすべて整数です。${\displaystyle p=a+b}$

したがって、x  +  y は2 を因数として持ち、偶数となるため、任意の 2 つの偶数の合計は偶数になります。

4 つの直角三角形と 1 つの正方形が、大きな正方形の中に詰め込まれていることに注目してください。各三角形には、辺aとb、斜辺c があります。正方形の面積は、辺の長さの²乗として定義されます。この場合、大きな正方形の面積は(a + b) 2 です。ただし、大きな正方形の面積は、その構成要素の面積の合計として表すこともできます。この場合、それは 4 つの三角形と中央の小さな正方形の面積の合計になります。^[5]

大きな正方形の面積は(a + b) ²に等しいことが分かっています。

直角三角形の面積は${\displaystyle {\frac {1}{2}}ab.}$

大きな正方形の面積は三角形の面積の合計に小さな正方形の面積を加えたものに等しいことが分かっています。したがって、大きな正方形の面積は${\displaystyle 4({\frac {1}{2}}ab)+c^{2}.}$

これらは等しいので

${\displaystyle (a+b)^{2}=4({\frac {1}{2}}ab)+c^{2}.}$

少し簡略化した後、

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}.}$

両辺に現れる2abを取り除くと、

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

これはピタゴラスの定理を証明する。∎

定義により、nが奇数の場合、次のように表すことができます。

${\displaystyle n=2k+1}$

ある整数kに対して、

${\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}&=(2k+1)^{2}\\&=(2k+1)(2k+1)\\&=4k^{2}+2k+2k+1\\&=4k^{2}+4k+1\\&=2(2k^{2}+2k)+1.\end{aligned}}}$

2 k ² + 2 kは整数なので、n ²も奇数です。∎

• フランクリン、J.、A.ダウド（2011）。数学の証明：入門。シドニー：キューブックス。ISBN 978-0-646-54509-7。（第1章）

• Larry W. Cusick の「How To Write Proofs」からの直接証明。
• Patrick Keef と David Guichard の『高等数学入門』からの直接証明。
• リチャード・ハマックの「証明の書」の直接証明のセクション。