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QED （ QEDとも表記される）は、ラテン語のquod erat demonstrandumの頭文字をとったもので、「証明されるべきもの」という意味です。文字通りには「示されるべきもの」となります。[ 1 ]伝統的に、この略語は印刷物における数学的証明や哲学的議論の最後に付けられ、証明や議論が完了したことを示します。
「quoderat Demonstormdum」というフレーズは、ギリシャ語のὅπερ ἔδει δεῖξαι ( hoper edei deixai ; ΟΕΔと略記)をラテン語に翻訳したものです。このラテン語のフレーズの意味は、「実証されるべきだったもの」（動名詞にDemonstructumが含まれる）です。
このギリシャ語のフレーズは、ユークリッド[ 2 ]やアルキメデスなど、多くの初期のギリシャの数学者によって使用されました。
ラテン語のフレーズは、1501年のジョルジョ・ヴァッラのユークリッド訳で確認されている。[ 3 ]その略語qedは、1598年にヨハネス・プラエトリウスによって一度使用され、[ 4 ] 1643年にアントン・ドイシングによってさらに使用され、[ 5 ] 1655年にアイザック・バローによってQEDの形で広く使用され、[ 6 ]その後、ルネサンス以降の多くの数学者や哲学者によって使用された。[ 7 ]
ヨーロッパのルネサンス期には、学者たちはしばしばラテン語で執筆し、「QED」のような表現が証明の結論としてよく用いられた。
哲学の議論におけるQEDの最も有名な使用例は、おそらく1677 年に死後出版されたバールーフ・スピノザの『倫理学』に見られる。[ 9 ]ラテン語で書かれたこの著作は、多くの人々にスピノザの代表作とみなされている。スピノザ自身が述べているように、この本のスタイルと体系は「幾何学的な順序で証明されている」ものであり、公理と定義の後に命題が続く。スピノザにとって、これは日記形式をとっているルネ・デカルトの『省察』の文体よりもかなり進歩している。[ 10 ]
意味が少し異なる別のラテン語のフレーズがあり、通常は同様に短縮されますが、使用頻度は低いです。Quod erat faciendum は、ギリシャの幾何学者の結びの言葉ὅπερ ἔδει ποιῆσαι ( hoper edei poiēsai ) に由来し、「なさらなければならなかったこと」という意味です。[ 11 ]
ユークリッドは、定理の証明ではなく幾何学的対象の作図である命題を締めくくるために、ギリシャ語の Quod Erat Faciendum (QEF) の原文を使用した。[ 12 ]例えば、一辺の長さが与えられた場合に正三角形を作図する方法を示すユークリッドの最初の命題は、このように締めくくられている。[ 13 ]
英語にはこれに相当する正式な表現は一般的ではありませんが、証明の終わりは「したがって証明された」「これで証明は完了した」「要求どおり」「望まれたとおり」「予想どおり」「したがって証明された」「ゆえに」「正しい」などの簡単な文で宣言されることがあります。
数学において証明が極めて重要であることから、ユークリッドの時代以来、数学者たちは証明の開始と終了を区別するための慣習を発展させてきた。英語の印刷物では、定理、補題、命題の正式な記述は慣例としてイタリック体で表記される。証明の開始は通常その直後に続き、「proof」という単語を太字またはイタリック体で示す。一方、証明の終了を示すための記号的な慣習もいくつか存在する。
古典的な略語である QED を今でも使用する著者もいるが、現代の数学のテキストでは比較的まれである。ポール・ハルモスは、証明の最後に黒一色の正方形（または長方形）を QED 記号として使用することを先駆的に行ったと主張している[ 14 ]。この慣習は、普遍的ではないものの、標準的なものとなっている。ハルモスは、この記号の使用法は、単純な幾何学的形状を使用して記事の終わりを示す、いわゆるエンドマークと呼ばれる雑誌のタイポグラフィの慣習から採用したと述べている[ 15 ] [ 16 ]。この記号は後に、数学者によって墓石、ハルモス記号、あるいは単にハルモスと呼ばれるようになった。ハルモス記号は、講義中に証明の終わりを示すために黒板に描かれることが多いが、この慣習は印刷されたテキストでの使用ほど一般的ではない。
TeXでは、墓石のシンボルは文字として表示されます。（塗りつぶされた四角、黒い四角）そして時には、(中空の四角、\square または \Box)。[ 17 ] AMS Theorem Environment for LaTeXでは、中空の四角が証明終了のデフォルトの記号です。Unicodeは明示的に「証明終了」文字 U+220E (∎) を提供しています。一部の著者は、証明の終了を示すために、▮ (U+25AE、黒い縦長の長方形) や ‣ (U+2023、三角形の箇条書き) などの他の Unicode 記号を使用しています。他の著者は、2 つのスラッシュ (//、) または 4 つのスラッシュ (////、) [ 18 ]他のケースでは、著者は校正刷りをインデントされたブロックとして表示することで、印刷上の方法で分離することを選択した。[ 19 ]
クォッド・エラト・デモンストランドム 0-1700。
