通常の折り紙の順序

数学において、規則的な折り紙の列はドラゴン曲線列とも呼ばれ、0と1の無限列である。これは、繰り返し部分列から得られる。

疑問符をシーケンス全体の別のコピーで埋めます。結果のシーケンスの最初の数項は次のとおりです。

紙片を同じ方向に繰り返し半分に折ると、折り目ができ、その方向（左または右）は​​、通常の折り紙シーケンスの最初の項の0と1のパターンによって決まります。各折り目を開いて直角の角を作成すると（または、同等に、折り紙シーケンスのパターンに従って、通常のグリッドを左折と右折のシーケンスを作成すると）、ドラゴンカーブフラクタルに近づく多角形のチェーンのシーケンスが生成されます。 ^[1]${\displaystyle i}$${\displaystyle 2^{i}-1}$${\displaystyle 2^{i}-1}$

から始まる通常の折り紙シーケンス内の任意の項の値は、次のように再帰的に見つけることができます。が奇数である形式 の因数分解を得るため、できるだけ多くの回数 2 で割ります。すると したがって、たとえば: 12 を 2 で 2 回割ると、奇数 3 が残ります。 別の例として、13 は 1 mod 4 と合同であるためです。 ${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=m\cdot 2^{k}}$${\displaystyle m}$$${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}1&{\text{if }}m\equiv 1\mod 4\\0&{\text{if }}m\equiv 3\mod 4\end{cases}}}$$${\displaystyle t_{12}=t_{3}=0}$${\displaystyle t_{13}=1}$

通常の折り畳みシーケンスの項を連結して作成された折り畳みワード1101100111001001...は、モルフィズムまたは文字列置換規則 の固定点です。

11 → 1101

01 → 1001

10 → 1100

00 → 1000

次のように：

11 → 1101 → 11011001 → 1101100111001001 → 11011001110010011101100011001001 ...

モルフィズム規則から、折り紙の単語には最大で 3 つの連続する 0 と最大で 3 つの連続する 1 が含まれることがわかります。

紙を折るシーケンスは対称関係も満たします。

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}1&{\text{if }}n=2^{k}\\1-t_{2^{k}-n}&{\text{if }}2^{k-1}<n<2^{k}\end{cases}}}$

これは、紙を折る単語が次のように別の反復プロセスの極限として構築できることを示しています。

1

1 1 0

110 1 100

1101100 1 1100100

110110011100100 1 110110001100100

このプロセスの各反復では、前の反復の文字列の末尾に 1 が配置され、この文字列が逆の順序で繰り返され、0 が 1 に置き換えられ、その逆も同様に行われます。

紙折りシーケンスの生成関数は次のように与え られる。

${\displaystyle G(t_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}x^{n}\,.}$

折り紙のシーケンスの構成から、 Gは関数関係を満たすこと がわかります。

${\displaystyle G(t_{n};x)=G(t_{n};x^{2})+\sum _{n=0}^{\infty }x^{4n+1}=G(t_{n};x^{2})+{\frac {x}{1-x^{4}}}\,.}$

生成関数にx = 0.5を代入すると、0から1の間の実数が得られ、その2進展開は紙折りワードとなる。

${\displaystyle G(t_{n};{\tfrac {1}{2}})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t_{n}}{2^{n}}}}$

この数値は紙折り定数^[2]として知られており、その値は

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {8^{2^{k}}}{2^{2^{k+2}}-1}}=0.85073618820186...}$（OEISの配列A143347）

通常の折り紙シーケンスは、紙片を一貫して同じ方向に折ることに対応します。各ステップで折り目の方向を変えることを許可すると、より一般的なシーケンスのクラスが得られます。バイナリシーケンス ( f _i ) が与えられた場合、折り畳み指示 ( f _i )を含む一般的な折り紙シーケンスを定義できます。

2進数ワードwについて、w ^{‡ は}wの補数の逆を表すものとする。演算子F _{a を}次のように 定義する。

${\displaystyle F_{a}:w\mapsto waw^{\ddagger }\ }$

そして、 w _{0 = εによって(} f _i )に依存する単語の列を定義する。

${\displaystyle w_{n}=F_{f_{1}}(F_{f_{2}}(\cdots F_{f_{n}}(\varepsilon )\cdots ))\ .}$

シーケンスw _nの極限wは紙折りシーケンスです。通常の紙折りシーケンスは、すべてのiに対して折りシーケンスf _i = 1に対応します。

n = m ·2 ^k（m は奇数） の場合、

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}f_{j}&{\text{if }}m\equiv 1\mod 4\\1-f_{j}&{\text{if }}m\equiv 3\mod 4\end{cases}}}$

これは紙折りの順序の定義として使用できます。^[3]

• 紙を折る順序は究極的には周期的ではない。^[3]
• 紙を折るシーケンスが 2自動となるのは、折り畳みシーケンスが最終的に周期的である場合 (1 自動) に限ります。