オメガ定数

定義的なアイデンティティは、例えば次のように表現できる。

${\displaystyle \ln \left({\tfrac {1}{\Omega }}\right)=\Omega .}$

または

${\displaystyle -\ln(\オメガ )=\オメガ }$

同様に

${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega .}$

Ωは_、初期推定値Ω₀から始めて、数列を考慮することで反復的に計算できる。

${\displaystyle \オメガ _{n+1}=e^{-\オメガ _{n}}.}$

この数列は、nが無限大に近づくにつれてΩに収束します。これは、Ωが関数e ^{− x}の吸引固定点であるためです。

反復処理を使用する方がはるかに効率的です

${\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},}$

関数が

${\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},}$

同じ不動点を持つことに加えて、その不動点において導関数がゼロになるという性質も持ちます。これにより、二次収束が保証されます。つまり、正しい桁数は反復ごとにほぼ倍増します。

ハレーの方法を用いると、Ωは3次収束で近似できます（正しい桁数は反復ごとに約3倍になります）。（ランベルトW関数§ 数値評価も参照）。

${\displaystyle \Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1}{e^{\Omega _{j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{2\オメガ _{j}+2}}}}.}$

ヴィクター・アダムチクによる同一性は、次の関係によって与えられる。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac {1}{1+\Omega }}.}$

^{Mező [ 1 ] [ 2 ]} および Kalugin-Jeffrey-Corless ^{[ 3 ]}によるその他の関係式 は以下のとおりです。

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt,}$

$\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

後者の2つの恒等式は、 W関数の他の値にも拡張できます（ランベルトW関数§ 表現も参照）。

定数Ωは超越数である。これはリンデマン・ワイエルシュトラスの定理の直接的な帰結と見なすことができる。矛盾を生じさせるために、Ωが代数的であると仮定する。定理によれば、e ^{− Ω}は超越数であるが、Ω = e ^{− Ω}となり、これは矛盾である。したがって、Ωは超越数でなければならない。^{[ 4 ]}