フィボナッチ定数の逆数

フィボナッチ定数の逆数 ψは、フィボナッチ数列の逆数の合計です。

${\displaystyle \psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .}$

連続する項の比は黄金比の逆数（1未満）に近づくため、比のテストでは合計が収束することが示されます。

ψの値はおよそ

${\displaystyle \psi =3.359885666243177553172011302918927179688905133732\dots }$（OEISの配列A079586）。

k項の場合、この級数はO( k )桁の精度になります。ビル・ゴスパーはO( k ² )桁の精度を実現する加速級数を導きました。^[1] ψ は無理数であり、ポール・エルデシュ、ロナルド・グラハム、レナード・カーリッツによって推測され、 1989 年にリチャード・アンドレ・ジャナンによって証明されました。^[2]

単純な連分数表現は次のようになります。

${\displaystyle \psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ]\!\,}$（OEISの配列A079587）。

• 逆数の和の一覧

• Weisstein、Eric W.「逆フィボナッチ定数」。MathWorld。