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数学において、時系列とは、時間順にインデックス付けされた（またはリスト化またはグラフ化された）一連のデータ ポイントです。最も一般的には、時系列は、連続する等間隔の時点で取得されたシーケンスです。したがって、時系列は離散時間データのシーケンスです。時系列の例には、海の潮の高さ、太陽黒点の数、ダウ ジョーンズ工業株平均の毎日の終値などがあります。
時系列は、ランチャート（時間的な折れ線グラフ）を介してプロットされることがよくあります。時系列は、統計、信号処理、パターン認識、計量経済学、数理ファイナンス、天気予報、地震予知、脳波、制御工学、天文学、通信工学、および時間測定を伴う応用科学および工学のあらゆる分野で広く使用されています。
時系列分析は、時系列データを分析して、意味のある統計値やデータのその他の特性を抽出する方法から構成されます。時系列予測は、以前に観測された値に基づいて将来の値を予測するモデルの使用です。通常、時系列データは確率過程としてモデル化されます。回帰分析は、1 つ以上の異なる時系列間の関係をテストするために使用されることがよくありますが、このタイプの分析は通常、「時系列分析」とは呼ばれません。これは、単一のシリーズ内の異なる時点間の関係を指します。
時系列データには自然な時間的順序があります。この点で、時系列分析は、観測値の自然な順序がない横断研究（例えば、人々の賃金をそれぞれの教育水準を参照して説明すること。この場合、個人のデータは任意の順序で入力できます）とは異なります。時系列分析は、観測値が通常地理的な場所に関連する空間データ分析（例えば、場所だけでなく家の固有の特性によっても説明）とも異なります。時系列の確率モデルは、通常、時間的に近い観測値は遠い観測値よりも密接に関連しているという事実を反映します。さらに、時系列モデルでは、時間の自然な一方向の順序が使用されることが多く、特定の期間の値は、将来の値からではなく、何らかの方法で過去の値から派生したものとして表現されます（時間の可逆性を参照）。
時系列解析は、実数値、連続データ、離散数値データ、離散記号データ（英語の文字や単語などの文字列[1] ）に適用できます。
分析方法
時系列解析の方法は、周波数領域法と時間領域法の 2 つのクラスに分けられます。前者にはスペクトル解析とウェーブレット解析が含まれ、後者には自己相関解析と相互相関解析が含まれます。時間領域では、相関と解析はスケール相関を使用してフィルターのような方法で実行できるため、周波数領域で操作する必要性が軽減されます。
さらに、時系列分析手法は、パラメトリック法とノンパラメトリック法に分けられます。パラメトリック手法では、基礎となる定常確率過程が、少数のパラメータを使用して記述できる特定の構造を持っていると想定します (たとえば、自己回帰モデルまたは移動平均モデルを使用)。これらの手法では、確率過程を記述するモデルのパラメータを推定することが課題です。対照的に、ノンパラメトリック手法では、プロセスが特定の構造を持っていると想定せずに、プロセスの共分散またはスペクトルを明示的に推定します。
時系列分析の方法は、線形と非線形、単変量と多変量に分けることもできます。
パネルデータ
時系列はパネル データの一種です。パネル データは一般的なクラスで、多次元データ セットですが、時系列データ セットは 1 次元パネルです (横断的データ セットも同様)。データ セットは、パネル データと時系列データの両方の特性を示す場合があります。見分ける方法の 1 つは、あるデータ レコードを他のレコードと区別するものは何かを調べることです。答えが時間データ フィールドである場合、これは時系列データ セットの候補です。一意のレコードを決定するために時間データ フィールドと、時間に関連しない追加の識別子 (学生 ID、株式シンボル、国コードなど) が必要な場合は、パネル データ候補です。時間以外の識別子によって区別される場合、データ セットは横断的データ セットの候補です。
分析
時系列には、さまざまな目的に適したいくつかのタイプの動機付けとデータ分析が利用可能です。
モチベーション
統計学、計量経済学、定量的金融、地震学、気象学、地球物理学の分野では、時系列分析の主な目的は予測です。信号処理、制御工学、通信工学の分野では、信号検出に使用されます。その他の応用分野としては、データマイニング、パターン認識、機械学習があり、時系列分析はクラスタリング、[2] [3] [4] 分類、[5]コンテンツによるクエリ、[6] 異常検出、予測に使用できます。[7]
探索的分析
定期的な時系列を調べる簡単な方法は、折れ線グラフを使って手動で行うことです。データグラフィックは、米国における結核による死亡者数[8]を、年次変化と年ごとの変化率とともに示しています。死亡者総数は1980年代半ばまで毎年減少していましたが、その後は時折増加し、その割合は比例して大きくなっていましたが、絶対的ではありませんでした。
企業のデータアナリストを対象とした調査では、探索的時系列分析には2つの課題があることがわかりました。興味深いパターンの形状を発見することと、これらのパターンの説明を見つけることです。[9]時系列データをヒートマップマトリックスとして表す視覚ツールは、これらの課題を克服するのに役立ちます。
推定、フィルタリング、平滑化
このアプローチは、フーリエ変換とスペクトル密度推定を使用した周波数領域での信号の高調波解析とフィルタリングに基づいています。このアプローチの開発は、第二次世界大戦中に数学者のノーバート・ウィーナー、電気技師のルドルフ・E・カルマン、デニス・ガボールらによって、ノイズから信号をフィルタリングし、特定の時点での信号値を予測する目的で大幅に加速されました。
カルマン フィルタのように、時間領域でも同等の効果を実現できます。その他のテクニックについては、 フィルタリングとスムージングを参照してください。
その他の関連技術としては、次のものがあります。
- 系列依存性を調べるための自己相関分析
- 季節性とは必ずしも関係のない周期的な行動を調べるためのスペクトル分析。例えば、太陽黒点の活動は11年周期で変化します。[10] [11]その他の一般的な例としては、天体現象、気象パターン、神経活動、商品価格、経済活動などがあります。
- トレンド、季節性、緩やかな変動と急速な変動、周期的な不規則性を表す要素への分離:トレンド推定と時系列の分解を参照
曲線フィッティング
カーブフィッティング[12] [13]は、一連のデータポイント[14]に最もよく適合する曲線または数学関数を構築するプロセスであり、制約[15] [16]が課されることもあります。カーブフィッティングには、データへの正確な適合が求められる補間[17] [18]またはデータに近似する「滑らかな」関数が構築される平滑化[19] [20]のいずれかが含まれます。関連するトピックは回帰分析[21] [22]であり、ランダム誤差を伴うデータに適合する曲線にどの程度の不確実性が存在するかなど、統計的推論の問題に重点を置いています。適合された曲線は、データの視覚化の補助として、[23] [24]データが利用できない場合に関数の値を推測したり、[25] 2つ以上の変数の関係を要約したりするために使用できます。[26]外挿とは、観測データの範囲を超えて近似曲線を使用することを指します[ 27] 。外挿は、観測データを反映するだけでなく、曲線を作成するために使用された方法を反映する可能性があるため 、ある程度の不確実性を伴います[28] 。
一般的に規模が大きくなることが予想されるプロセスについては、グラフ内の曲線の 1 つ (および他の多くの曲線) を、そのパラメータを推定することによって適合させることができます。
経済時系列の構築には、以前の日付と後の日付の値（「ベンチマーク」）間の補間によって、いくつかの日付のいくつかの要素を推定することが含まれます。補間とは、2 つの既知の量（履歴データ）間の未知の量を推定すること、または利用可能な情報から欠落している情報について結論を導き出すこと（「行間を読む」）です。 [29]補間は、欠落しているデータの周囲のデータが利用可能であり、その傾向、季節性、および長期サイクルがわかっている場合に便利です。これは、関連するすべての日付がわかっている関連シリーズを使用して行われることがよくあります。[30]または、多項式補間またはスプライン補間は、区分多項式関数が時間間隔に適合し、それらが滑らかにフィットするように使用されます。補間と密接に関連する別の問題は、複雑な関数を単純な関数で近似することです（回帰とも呼ばれます）。回帰と補間の主な違いは、多項式回帰では、データセット全体をモデル化する単一の多項式が得られることです。ただし、スプライン補間では、データ セットをモデル化するために、多くの多項式で構成された区分的に連続した関数が生成されます。
外挿とは、ある変数と別の変数との関係に基づいて、元の観測範囲を超えて変数の値を推定するプロセスです。これは、既知の観測値間の推定値を生成する内挿に似ていますが、外挿では不確実性が高まり、意味のない結果を生成するリスクが高くなります。
関数近似
一般に、関数近似問題では、タスク固有の方法でターゲット関数に厳密に一致する (「近似する」) 明確に定義されたクラスの中から関数を選択することが求められます。関数近似問題には、2 つの主要なクラスがあります。まず、既知のターゲット関数について、近似理論は数値解析 の分野であり、特定の既知の関数 (たとえば、特殊関数) を、多くの場合望ましい特性 (安価な計算、連続性、積分値、極限値など) を持つ特定のクラスの関数 (たとえば、多項式または有理関数) でどのように近似できるかを調査します。
第二に、ターゲット関数gは不明である可能性があり、明示的な式の代わりに、形式 ( x、g ( x )) の点の集合 (時系列) のみが提供されます。gの定義域と共域の構造に応じて、 g を近似するためのいくつかの手法が適用可能です。たとえば、gが実数に対する演算である場合、内挿、外挿、回帰分析、および曲線フィッティングの手法を使用できます。gの共域(範囲またはターゲット セット) が有限セットである場合、代わりに分類問題を扱っています。オンライン時系列近似[31]の関連する問題は、データをワンパスで要約し、最悪のケースの誤差の境界を持つさまざまな時系列クエリをサポートできる近似表現を構築することです。
ある程度、さまざまな問題 (回帰、分類、適応度近似) は統計学習理論において統一された扱いを受けており、そこでは教師あり学習の問題として見なされています。
予測と予報
統計学では、予測は統計的推論の一部です。そのような推論の特定のアプローチは予測推論として知られていますが、予測は統計的推論のいくつかのアプローチのいずれでも実行できます。実際、統計の1つの説明は、母集団のサンプルに関する知識を母集団全体、および他の関連する母集団に転送する手段を提供することですが、これは必ずしも時間の経過に伴う予測と同じではありません。情報が時間を超えて、多くの場合特定の時点に転送される場合、そのプロセスは予測として知られています。
- 確率的シミュレーションを目的とした完全に形成された統計モデル。これにより、将来の特定の期間に何が起こるかを表す時系列の代替バージョンを生成できます。
- 最新の結果に関する知識に基づいて、時系列の近い将来の可能性のある結果を説明する、単純または完全に形成された統計モデル (予測)。
- 時系列の予測は通常、 Julia、Python、R、SAS、SPSSなどの自動化された統計ソフトウェア パッケージとプログラミング言語を使用して行われます。
- 大規模データの予測は、サードパーティのパッケージであるSpark-TSライブラリを使用してApache Sparkで行うことができます。 [32]
分類
時系列パターンを特定のカテゴリに割り当てます。たとえば、手話における一連の手の動きに基づいて単語を識別します。
セグメンテーション
時系列を一連のセグメントに分割します。時系列は、それぞれが独自の特性を持つ一連の個別のセグメントとして表されることがよくあります。たとえば、電話会議の音声信号は、各人が話していた時間に対応する部分に分割できます。時系列セグメンテーションの目的は、時系列内のセグメント境界点を識別し、各セグメントに関連付けられた動的特性を特徴付けることです。この問題には、変化点検出を使用するか、マルコフジャンプ線形システムなどのより洗練されたシステムとして時系列をモデル化することによってアプローチできます。
クラスタリング
時系列データはクラスタリングされる可能性があるが、サブシーケンスクラスタリングを考慮する際には特別な注意が必要である。[33] [34] 時系列クラスタリングは、
- 時系列全体のクラスタリング（クラスターを見つける複数の時系列）
- サブシーケンス時系列クラスタリング（単一の時系列をスライディングウィンドウを使用してチャンクに分割）
- 時間点クラスタリング
部分時系列クラスタリング
サブシーケンス時系列クラスタリングの結果、スライディングウィンドウによるチャンキングを使用した特徴抽出によって不安定な（ランダムな）クラスターが生成された。 [35]クラスター中心（クラスター内の時系列の平均 - これも時系列）は、任意にシフトした正弦波パターンに従うことがわかった（データセットに関係なく、ランダムウォークの実現時でも）。これは、クラスター中心が常に非代表的な正弦波であるため、見つかったクラスター中心がデータセットを記述しないことを意味する。
モデル
時系列データのモデルには多くの形式があり、さまざまな確率過程を表すことができます。プロセスのレベルの変化をモデル化する場合、実用上重要な 3 つの大まかなクラスは、自己回帰(AR) モデル、統合(I) モデル、移動平均(MA) モデルです。これらの 3 つのクラスは、以前のデータ ポイントに線形に依存します。 [36]これらのアイデアを組み合わせると、自己回帰移動平均(ARMA) モデルと自己回帰統合移動平均(ARIMA) モデルが作成されます。自己回帰分数統合移動平均(ARFIMA) モデルは、前の 3 つを一般化したものです。これらのクラスをベクトル値データに対応させるための拡張は、多変量時系列モデルの見出しの下で利用できます。また、前述の頭字語に「ベクトル」の頭文字「V」を追加して拡張する場合もあります (たとえば、ベクトル自己回帰の VAR) 。これらのモデルの追加の拡張セットは、観測された時系列が何らかの「強制」時系列（観測された系列に因果的影響を与えない可能性がある）によって駆動される場合に使用できます。多変量の場合との違いは、強制系列が決定論的であるか、実験者の制御下にある可能性があることです。これらのモデルでは、頭字語は「外生的」を表す末尾の「X」で拡張されます。
ChenとValcarcel（2025、2021）[37] [38]による最近の研究では、合理的期待を構造ベクトル自己回帰（SVAR）に直接埋め込む方法が導入され、DSGEモデルへのマッピングを必要とせずに金利とマネー成長ルールを比較できるようになりました。彼らのアプローチは、モデルの簡素さを維持しながら、従来の時系列分析と将来予測の橋渡しをします。
系列レベルの以前のデータポイントへの非線形依存性は、カオス的な時系列を生成する可能性があるため、興味深いものです。しかし、より重要なのは、非線形自己回帰外生モデルなどのように、非線形モデルから得られた予測を線形モデルから得られた予測よりも使用することの利点を実証的調査が示すことができることです。非線形時系列分析に関するその他の参考文献：(Kantz and Schreiber)、[39]および (Abarbanel) [40]
その他のタイプの非線形時系列モデルには、時間の経過に伴う分散の変化 (異分散性) を表すモデルがあります。これらのモデルは自己回帰条件付き異分散性(ARCH) を表し、そのコレクションにはさまざまな表現 ( GARCH、TARCH、EGARCH、FIGARCH、CGARCH など) が含まれます。ここで、変動性の変化は、観測された系列の最近の過去の値に関連付けられるか、またはそれによって予測されます。これは、変動性が二重確率モデルのように別の時間変動プロセスによって駆動されるものとしてモデル化される可能性がある、局所的に変化する変動性のその他の表現とは対照的です。
モデルフリー解析に関する最近の研究では、ウェーブレット変換に基づく方法（例えば、局所定常ウェーブレットやウェーブレット分解ニューラルネットワーク）が支持を集めている。[41]マルチスケール（マルチ解像度とも呼ばれる）技術は、与えられた時系列を分解し、複数のスケールでの時間依存性を説明しようとする。ボラティリティの進化をモデル化するための マルコフスイッチングマルチフラクタル（MSMF）技術も参照のこと。
隠れマルコフモデル(HMM) は、モデル化されるシステムが観測されない (隠れた) 状態を持つマルコフ過程であると想定される統計的マルコフモデルです。HMM は、最も単純な動的ベイジアン ネットワークと考えることができます。HMM モデルは、音声認識で、時系列の話し言葉をテキストに変換するのに広く使用されています。
これらのモデルの多くは、Python パッケージ sktime に収集されています。
表記
時系列分析にはさまざまな表記法が用いられている。自然数でインデックス付けされた時系列Xを指定する一般的な表記法は次のように書かれる。
- X = ( X 1、X 2、...)。
もう一つの一般的な表記は
- Y = ( Y t : t ∈ T )、
ここで、Tはインデックス セットです。
条件
理論の多くは、次の 2 つの条件に基づいて構築されています。
エルゴード性は定常性を意味しますが、その逆は必ずしも当てはまりません。定常性は通常、厳密な定常性と広義の定常性または二次定常性に分類されます。モデルとアプリケーションはどちらもこれらの各条件の下で開発できますが、後者の場合のモデルは部分的にのみ指定されていると見なされる場合があります。
さらに、時系列解析は、時系列が季節的に定常であるか非定常であるかを問わず適用できる。周波数成分の振幅が時間とともに変化する状況は、時系列または信号の時間周波数表現を利用する時間周波数解析で対処することができる。[42]
ツール
時系列データを調査するためのツールには以下のものがあります。
- 自己相関関数とスペクトル密度関数（相互相関関数と相互スペクトル密度関数も）の考察
- 遅い成分の寄与を除去するためにスケーリングされた相互相関関数と自己相関関数[43]
- フーリエ変換を実行して周波数領域で系列を調べる
- クラスタリング分析の実行[44]
- 時系列に（一般化された）高調波信号が含まれているかどうかに応じて、時系列の離散スペクトル、連続スペクトル、または混合スペクトル
- 不要なノイズを除去するためのフィルターの使用
- 主成分分析（または経験的直交関数分析）
- 特異スペクトル解析
- 「構造」モデル:
- 一般的な状態空間モデル
- 観測されないコンポーネントモデル
- 機械学習
- 待ち行列理論分析
- 管理図
- シューハート個人管理図
- CUSUMチャート
- EWMAチャート
- トレンド除去変動分析
- 非線形混合効果モデリング
- ダイナミックタイムワーピング[45]
- 動的ベイジアンネットワーク
- 時間周波数解析技術:
- カオス分析
対策
時系列分類や回帰分析に使用できる時系列指標または特徴: [ 46 ]
- 単変量線形測定
- モーメント（数学）
- スペクトルバンドパワー
- スペクトルエッジ周波数
- 蓄積エネルギー（信号処理）
- 自己相関関数の特性
- Hjorthパラメータ
- FFTパラメータ
- 自己回帰モデルのパラメータ
- マン・ケンドール検定
- 単変量非線形測定
- その他の単変量測定
- アルゴリズムの複雑さ
- コルモゴロフ複雑度の推定
- 隠れマルコフモデルの状態
- ラフパスシグネチャ[48]
- 代理時系列と代理補正
- 再発の喪失（非定常性の度合い）
- 二変量線形測定
- 最大線形相関
- 線形コヒーレンス（信号処理）
- 二変量非線形測定
- 類似度の測定：[49]
- 相互相関
- ダイナミックタイムワーピング[45]
- 隠れマルコフモデル
- 距離を編集
- 総相関
- ニューイ・ウェスト推定量
- プレイズ・ウィンステン変換
- 距離化可能な空間におけるベクトルとしてのデータ
- エンベロープ付きの時系列データ
- 確率系列として解釈されるデータ
- 確率分布関数 として解釈されたデータ
視覚化
時系列は、オーバーラップチャートとセパレートチャートの2つのカテゴリのチャートで視覚化できます。オーバーラップチャートは同じレイアウトですべての時系列を表示しますが、セパレートチャートは異なるレイアウト（ただし比較のために揃えて表示）で表示します[50]
重なり合うチャート
- 編み込みグラフ
- 折れ線グラフ
- 傾斜グラフ
- ギャップチャート
分離されたチャート
- 地平線グラフ
- 縮小折れ線グラフ（小さな倍数）
- シルエットグラフ
- 円形シルエットグラフ
参照
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外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、時系列に関連するメディアがあります。
- 時系列分析入門 (エンジニアリング統計ハンドブック) — 時系列分析の実践ガイド。
