コヒーレンス（信号処理）

信号処理において、コヒーレンスは2 つの信号またはデータセットの関係を調べるために使用できる統計です。これは通常、線形システムの入力と出力の間の電力伝達を推定するために使用されます。信号がエルゴードであり、システム関数が線形である場合、これは入力と出力の間の因果関係を推定するために使用できます。 ^{[引用が必要]}

2つの信号x(t)とy(t)間のコヒーレンス（振幅二乗コヒーレンスとも呼ばれる）は、次のように定義される実数値関数である。 ^{[1] [2]}

${\displaystyle C_{xy}(f)={\frac {|G_{xy}(f)|^{2}}{G_{xx}(f)G_{yy}(f)}}}$

ここで、G _xy (f) はx と y の間のクロススペクトル密度、G _xx (f) と G _yy (f) はそれぞれ x と y の自己スペクトル密度です。スペクトル密度の大きさは|G| で示されます。上記の制約 (エルゴード性、線形性) を考慮すると、コヒーレンス関数は、最適な線形最小二乗関数によって x(t) から y(t) を予測できる範囲を推定します。

コヒーレンスの値は常に を満たします。単一の入力 x(t) と単一の出力 y(t) を持つ理想的な定数パラメータ線形システムの場合、コヒーレンスは 1 に等しくなります。これを確認するには、次のように定義されるインパルス応答h(t) を持つ線形システムを考えます。ここで、 は畳み込みを表します。フーリエ領域では、この式は になります。ここで、Y(f) はy(t) のフーリエ変換、H(f) は線形システムの伝達関数です。理想的な線形システムの場合、および であり、 は実数であるため、次の恒等式が成り立ちます。 ${\displaystyle 0\leq C_{xy}(f)\leq 1}$${\displaystyle y(t)=h(t)*x(t)}$${\displaystyle *}$${\displaystyle Y(f)=H(f)X(f)}$${\displaystyle G_{yy}=|H(f)|^{2}G_{xx}(f)}$${\displaystyle G_{xy}=H(f)G_{xx}(f)}$${\displaystyle G_{xx}(f)}$

${\displaystyle C_{xy}(f)={\frac {|H(f)G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}(f)G_{yy}(f)}}={\frac {|H(f)G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}^{2}(f)|H(f)|^{2}}}={\frac {|G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}^{2}(f)}}=1}$。

しかし、物理的な世界では理想的な線形システムが実現されることはめったになく、ノイズはシステム測定の本質的な要素であり、単一入力、単一出力の線形システムでは完全なシステムダイナミクスを捉えるには不十分である可能性があります。理想的な線形システムの仮定が不十分な場合、コーシー・シュワルツの不等式により の値が保証されます。 ${\displaystyle C_{xy}\leq 1}$

C _{xy が}1 未満で 0 より大きい場合、測定にノイズが混入しているか、x(t) と y(t) を関連付ける想定関数が線形ではないか、または y(t) が入力 x(t) と他の入力によって出力を生成していることが示されます。コヒーレンスが 0 に等しい場合、上記の制約を考慮すると、x(t) と y(t) はまったく無関係であることを示します。

したがって、線形システムのコヒーレンスは、その周波数での入力によって生成される出力信号電力の小数部を表します。この量は、特定の周波数での入力によって寄与されない出力の小数電力の推定値として見ることもできます。これにより、コヒーレント出力スペクトルの定義が自然に導かれます。 ${\displaystyle 1-C_{xy}}$

${\displaystyle G_{vv}=\left(1-C_{xy}\right)G_{yy}}$

${\displaystyle G_{vv}}$ノイズや他の入力とは相関しない出力電力のスペクトル定量化を提供します。

ここでは、図 1 に示すように、コヒーレンス ( と表記) の計算について説明します。図 2 の下部に示されている 2 つの信号について考えてみましょう。海面水位と地下水位の間には密接な関係があるようです。また、気圧が海水位と地下水位の両方に影響を与えることも明らかです。 ${\displaystyle \gamma^{2}}$

図3は、長期間にわたる海水位の自己スペクトル密度を示しています。

予想通り、エネルギーのほとんどはよく知られている潮汐周波数に集中しています。同様に、地下水井戸レベルの自己スペクトル密度は図 4 に示されています。

地下水位の変動が海洋潮汐周波数に大きな影響を与えることは明らかです。地下水位が海面水位によってどの程度影響を受けるかを推定するために、両者のコヒーレンスを計算します。海面の高さと地下水位の間には線形関係があると仮定します。さらに、海面の高さが地下水位を制御すると仮定し、海面の高さを入力変数、地下水井戸の高さを出力変数とします。

計算されたコヒーレンス（図 1）は、主要な海洋潮汐周波数のほとんどにおいて、この特定の場所での地下水位の変動が海洋潮汐の強制により 90% 以上であることを示しています。ただし、因果関係を判定する際には注意が必要です。入力と出力の関係（伝達関数）が非線形である場合、コヒーレンスの値は誤っている可能性があります。もう 1 つのよくある間違いは、実際には原因となるメカニズムがシステム モデル内にないのに、観測変数間に因果関係のある入力/出力関係があると想定することです。たとえば、大気圧が海水位と地下水位の両方に変動を引き起こすことは明らかですが、気圧は入力変数としてシステム モデルに含まれていません。また、海水位が地下水位を駆動または制御すると想定しました。実際には、観測された入力信号と出力信号の両方を駆動しているのは、海水位からの水文学的強制と潮汐ポテンシャルの組み合わせです。さらに、測定プロセスまたはスペクトル信号処理によって導入されるノイズがコヒーレンスに影響を与えたり、コヒーレンスを破壊したりする可能性があります。

信号が非定常である場合（つまりエルゴードでない場合）、上記の定式化は適切ではない可能性があります。そのような信号の場合、コヒーレンスの概念は、従来のスペクトルの代わりに時間周波数分布の概念を使用して非定常信号の時間変動スペクトル変化を表すことによって拡張されています。詳細については、^{[3]を参照してください。}

コヒーレンスは、脳ネットワークにおける動的な機能的結合を測定するために使用されてきました。研究によると、異なる脳領域間のコヒーレンスは、異なる精神状態や知覚状態の間に変化する可能性があります。^[4]安静時の脳のコヒーレンスは、障害や疾患の影響を受ける可能性があります。^[5]

• 双コヒーレンス
• スケール相関
• 正規化された相互相関