流体中の粒子の運動
振り子 の微分方程式によって指定された 位相空間 の流れ 。水平軸は振り子の位置、垂直軸は速度です。 数学 では 、 フローとは 流体中の粒子の運動の概念を形式化したものです。フローは、 工学 や 物理学を含む科学のあらゆる分野で使われています。フローの概念は、 常微分方程式 の研究の基本です 。非公式には、フローとは時間の経過に伴う点の連続的な運動と見なすことができます。より正式には、フローとは 集合 上の 実数 の 群作用 です。
ベクトルフロー 、つまり ベクトル場 によって決定されるフローという概念は、 微分位相幾何学 、 リーマン幾何学 、 リー群 の分野で登場します 。ベクトルフローの具体的な例としては、 測地線フロー 、 ハミルトンフロー 、 リッチフロー 、 平均曲率フロー 、 アノソフフローなどがあります。フローは、 ランダム変数 や 確率過程 のシステムに対しても定義でき、 エルゴード 力学系 の研究でも登場します。これらの中で最も有名なのは、おそらく ベルヌーイフロー でしょう 。
集合 X 上のフロー とは、 実数 の 加法群 の X 上の 群作用 である 。より明確に言えば、フローとは 写像である。
φ : バツ ×
R
→ バツ
{\displaystyle \varphi :X\times \mathbb {R} \to X}
つまり、すべての x ∈ X とすべての実数 s と t に対して、
φ （ x 、 0 ） = x ;
φ （ φ （ x 、 t ） 、 s ） = φ （ x 、 s + t ） 。
{\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (x,0)=x;\\&\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t).\end{aligned}}}
通常、 φ ( x , t ) の代わりに φ t ( x ) と書くので、上の式は ( 恒等関数 ) および (群法則) と表すことができます。すると、すべての に対して、マッピング は逆写像 を持つ一対一写像です 。 これは上記の定義に従っており、実数パラメータ tは、 関数反復 のように、一般化された 関数のべき乗 としてとらえることができます 。
φ
0
=
識別子
{\displaystyle \varphi ^{0}={\text{Id}}}
φ
s
∘
φ
t
=
φ
s + t
{\displaystyle \varphi ^{s}\circ \varphi ^{t}=\varphi ^{s+t}}
t ∈
R
、
{\displaystyle t\in \mathbb {R} ,}
φ
t
: バツ → バツ
{\displaystyle \varphi^{t}:X\to X}
φ
− t
: バツ → バツ 。
{\displaystyle \varphi ^{-t}:X\to X.}
フローは通常、集合 X上に備えられた 構造 と互換性があることが要求されます 。特に、 Xに 位相 が備わっている場合 、 φは通常 連続 であることが要求されます 。 Xに 微分可能な構造 が備わっている場合 、 φ は通常 微分可能 であることが要求されます 。これらの場合、フローは それぞれ同相写像と微分同相写像の
1 パラメータ群を形成します。
特定の状況では、 ローカルフロー は 、一部のサブセットでのみ定義されます
d o メートル
（ φ ） = { （ x 、 t ）
|
t ∈ [
1つの
x
、
b
x
] 、
1つの
x
< 0 <
b
x
、
x ∈ バツ } ⊂ バツ ×
R
{\displaystyle \mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}}0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R} }
と呼ばれる φ の 流れ領域 。これはベクトル場の流れ の場合によく見られます 。
代替表記 工学 、 物理学、 微分方程式 の研究など 、多くの分野では、流れを暗黙的に表す表記法 が一般的です。したがって、 x ( t ) は
φ
t
（
x
0
） 、
{\displaystyle \varphi^{t}(x_{0}),}
に対して記述され、変数 x は 時間 t と初期条件 x = x 0 に依存すると言えます 。以下に例を示します。
滑らかな多様体 X 上の ベクトル場 V の流れの場合 、その流れは生成元が明示的に示されるような方法で表されることが多い。たとえば、
Φ
五
: バツ ×
R
→ バツ ; （ x 、 t ） ↦
Φ
五
t
（ x ） 。
{\displaystyle \Phi _{V}\colon X\times \mathbb {R} \to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x).}
軌道 X 内の x が 与えられたとき 、その集合は φ の 下での x の 軌道 と呼ばれます。非公式には、これは最初に x に位置していた粒子の軌道とみなすことができます 。流れが ベクトル場によって生成される場合、その軌道はその 積分曲線 の像になります 。
{ φ （ x 、 t ） : t ∈
R
}
{\displaystyle \{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}}
例
代数方程式 を
ふ :
R
→ バツ
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to X}
時間依存の軌道とし、これは全単射関数とする。すると、流れは次のように定義できる
。
φ （ x 、 t ） = ふ （ t +
ふ
− 1
（ x ） ） 。
{\displaystyle \varphi (x,t)=f(t+f^{-1}(x)).}
常微分方程式の自律系 を
ふ
:
R
ん
→
R
ん
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
（時間に依存しない）ベクトル場とし、 初期
x
:
R
→
R
ん
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
値問題の解は
x ˙
（ t ） =
ふ
（
x
（ t ） ） 、
x
（ 0 ） =
x
0
。
{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t)),\qquad {\boldsymbol {x}}(0)={\boldsymbol {x}}_{0}.}
すると、 ベクトル場 F のフローが成立します 。ベクトル場
が リプシッツ連続 であれば、これは明確に定義された局所フローです。 すると、 もどこで定義されてもリプシッツ連続です。一般に、フロー φ が大域的に定義されていることを示すのは難しいかもしれません が、ベクトル場 F が コンパクトにサポートされて いるという単純な基準が 1 つあります。
φ （
x
0
、 t ） =
x
（ t ）
{\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t)={\boldsymbol {x}}(t)}
ふ
:
R
ん
→
R
ん
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
φ :
R
ん
×
R
→
R
ん
{\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
時間依存常微分方程式 時間
依存ベクトル場
ふ
:
R
ん
×
R
→
R
ん
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
の場合 、 は
φ
t 、
t
0
（
x
0
） =
x
（ t +
t
0
） 、
{\displaystyle \varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})={\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),}
x
:
R
→
R
ん
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
x ˙
（ t ） =
ふ
（
x
（ t ） 、 t ） 、
x
（
t
0
） =
x
0
。
{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t),t),\qquad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x}}_{0}.}
すると は
φ
t
,
t
0
(
x
0
)
{\displaystyle \varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})}
F の時間依存フロー になります 。これは上記の定義では「フロー」ではありませんが、引数を並べ替えることで簡単にフローとして見ることができます。つまり、マッピング
φ
:
(
R
n
×
R
)
×
R
→
R
n
×
R
;
φ
(
(
x
0
,
t
0
)
,
t
)
=
(
φ
t
,
t
0
(
x
0
)
,
t
+
t
0
)
{\displaystyle \varphi \colon (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ;\qquad \varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t)=(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0})}
最後の変数については群法則を満たしています。
φ
(
φ
(
(
x
0
,
t
0
)
,
t
)
,
s
)
=
φ
(
(
φ
t
,
t
0
(
x
0
)
,
t
+
t
0
)
,
s
)
=
(
φ
s
,
t
+
t
0
(
φ
t
,
t
0
(
x
0
)
)
,
s
+
t
+
t
0
)
=
(
φ
s
,
t
+
t
0
(
x
(
t
+
t
0
)
)
,
s
+
t
+
t
0
)
=
(
x
(
s
+
t
+
t
0
)
,
s
+
t
+
t
0
)
=
(
φ
s
+
t
,
t
0
(
x
0
)
,
s
+
t
+
t
0
)
=
φ
(
(
x
0
,
t
0
)
,
s
+
t
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t),s)&=\varphi ((\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0}),s)\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}({\boldsymbol {x}}(t+t_{0})),s+t+t_{0})\\&=({\boldsymbol {x}}(s+t+t_{0}),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s+t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),s+t+t_{0})\\&=\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),s+t).\end{aligned}}}
次のトリックにより、ベクトル場の時間依存フローを時間非依存フローの特別なケースとして見ることができる。定義
G
(
x
,
t
)
:=
(
F
(
x
,
t
)
,
1
)
,
y
(
t
)
:=
(
x
(
t
+
t
0
)
,
t
+
t
0
)
.
{\displaystyle {\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}},t):=({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},t),1),\qquad {\boldsymbol {y}}(t):=({\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),t+t_{0}).}
すると、 y ( t )は 「時間に依存しない」初期値問題の解となる。
y
˙
(
s
)
=
G
(
y
(
s
)
)
,
y
(
0
)
=
(
x
0
,
t
0
)
{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {y}}}(s)={\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {y}}(s)),\qquad {\boldsymbol {y}}(0)=({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0})}
x ( t ) が 元の時間依存初期値問題の解である場合に限ります 。さらに、マッピング φ はまさに「時間に依存しない」ベクトル場 G のフローです 。
多様体上のベクトル場の流れ 時間に依存しないベクトル場と時間に依存するベクトル場のフローは、ユークリッド空間
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
上で定義されているのとまったく同じように滑らかな多様体上で定義され 、それらの局所的な動作は同じです。ただし、滑らかな多様体のグローバルな位相構造は、どのようなグローバルなベクトル場をサポートできるかに強く表れており、滑らかな多様体上のベクトル場のフローは、微分位相幾何学における重要なツールです。動的システムの研究の大部分は、アプリケーションでは「パラメーター空間」と見なされる滑らかな多様体で行われています。
形式的には、 を 微分可能多様体 とする 。 を点の 接空間 とする 。 を完全接多様体とする。すなわち、 を 上の
時間依存 ベクトル場 とする
。すなわち、 f は 各 および に対して、 と なる滑らかな写像である 。 すなわち、写像は 各点をそれ自身の接空間の要素に写像する。 0 を含む適切な区間に対して、 f のフローは 次を満たす
関数である。
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
T
p
M
{\displaystyle \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}}
p
∈
M
.
{\displaystyle p\in {\mathcal {M}}.}
T
M
{\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {M}}}
T
M
=
∪
p
∈
M
T
p
M
.
{\displaystyle \mathrm {T} {\mathcal {M}}=\cup _{p\in {\mathcal {M}}}\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}.}
f
:
R
×
M
→
T
M
{\displaystyle f:\mathbb {R} \times {\mathcal {M}}\to \mathrm {T} {\mathcal {M}}}
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
p
∈
M
{\displaystyle p\in {\mathcal {M}}}
f
(
t
,
p
)
∈
T
p
M
;
{\displaystyle f(t,p)\in \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}};}
x
↦
f
(
t
,
x
)
{\displaystyle x\mapsto f(t,x)}
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }
ϕ
:
I
×
M
→
M
{\displaystyle \phi :I\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}}
ϕ
(
0
,
x
0
)
=
x
0
∀
x
0
∈
M
d
d
t
|
t
=
t
0
ϕ
(
t
,
x
0
)
=
f
(
t
0
,
ϕ
(
t
0
,
x
0
)
)
∀
x
0
∈
M
,
t
0
∈
I
{\displaystyle {\begin{aligned}\phi (0,x_{0})&=x_{0}&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big |}_{t=t_{0}}\phi (t,x_{0})&=f(t_{0},\phi (t_{0},x_{0}))&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}},t_{0}\in I\end{aligned}}}
熱方程式の解 Ω を
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
（ n は整数） の部分領域（有界または無界）と する。その境界を Γで表す（滑らかであると仮定）。T > 0 に対して 、 Ω
× (0, T ) 上の 次の 熱方程式 を考える。
u
t
−
Δ
u
=
0
in
Ω
×
(
0
,
T
)
,
u
=
0
on
Γ
×
(
0
,
T
)
,
{\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{t}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}}
初期値条件は u (0) = u 0 in Ω です。
Γ × (0, T ) 上の 方程式 u = 0 は、同次ディリクレ境界条件に対応する。この問題の数学的設定は半群アプローチである。このツールを使用するには、その定義域で
定義される 非有界演算子 Δ D を導入する。
L
2
(
Ω
)
{\displaystyle L^{2}(\Omega )}
D
(
Δ
D
)
=
H
2
(
Ω
)
∩
H
0
1
(
Ω
)
{\displaystyle D(\Delta _{D})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}
（ およびの古典的な ソボレフ空間 を参照
）
H
k
(
Ω
)
=
W
k
,
2
(
Ω
)
{\displaystyle H^{k}(\Omega )=W^{k,2}(\Omega )}
H
0
1
(
Ω
)
=
C
0
∞
(
Ω
)
¯
H
1
(
Ω
)
{\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )={\overline {C_{0}^{\infty }(\Omega )}}^{H^{1}(\Omega )}}
は、 Ω におけるコンパクトな台を持つ無限微分可能関数の閉包であり、ノルム に対して閉包である 。
H
1
(
Ω
)
−
{\displaystyle H^{1}(\Omega )-}
任意の に対して 、
v
∈
D
(
Δ
D
)
{\displaystyle v\in D(\Delta _{D})}
Δ
D
v
=
Δ
v
=
∑
i
=
1
n
∂
2
∂
x
i
2
v
.
{\displaystyle \Delta _{D}v=\Delta v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}v~.}
この演算子を用いると、熱方程式は u (0) = u 0 と なる 。したがって、この方程式に対応する流れは（上記の表記を参照）
u
′
(
t
)
=
Δ
D
u
(
t
)
{\displaystyle u'(t)=\Delta _{D}u(t)}
φ
(
u
0
,
t
)
=
e
t
Δ
D
u
0
,
{\displaystyle \varphi (u^{0},t)={\mbox{e}}^{t\Delta _{D}}u^{0},}
ここで exp( tΔD ) は ΔD によって 生成さ れる（解析的）半群である 。
波動方程式の解 再び、 Ω を
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
( n は整数) の部分領域 (有界または無界) とします。その境界を Γ で表します(滑らかであると仮定)。次の 波動方程式 を考えます ( T > 0 の場合 )。
Ω
×
(
0
,
T
)
{\displaystyle \Omega \times (0,T)}
u
t
t
−
Δ
u
=
0
in
Ω
×
(
0
,
T
)
,
u
=
0
on
Γ
×
(
0
,
T
)
,
{\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{tt}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}}
初期条件は u (0) = u 1,0 in Ω であり、
u
t
(
0
)
=
u
2
,
0
in
Ω
.
{\displaystyle u_{t}(0)=u^{2,0}{\mbox{ in }}\Omega .}
上記の熱方程式の場合と同じ半群アプローチを使用します。次の非有界演算子を導入して、波動方程式を時間に関する1階の偏微分方程式として書きます。
A
=
(
0
I
d
Δ
D
0
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\begin{array}{cc}0&Id\\\Delta _{D}&0\end{array}}\right)}
ドメインが オンの場合 （演算子 Δ D は 前の例で定義されています）。
D
(
A
)
=
H
2
(
Ω
)
∩
H
0
1
(
Ω
)
×
H
0
1
(
Ω
)
{\displaystyle D({\mathcal {A}})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )}
H
=
H
0
1
(
Ω
)
×
L
2
(
Ω
)
{\displaystyle H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )}
列ベクトルを導入する
U
=
(
u
1
u
2
)
{\displaystyle U=\left({\begin{array}{c}u^{1}\\u^{2}\end{array}}\right)}
（ここで 、 ）および
u
1
=
u
{\displaystyle u^{1}=u}
u
2
=
u
t
{\displaystyle u^{2}=u_{t}}
U
0
=
(
u
1
,
0
u
2
,
0
)
.
{\displaystyle U^{0}=\left({\begin{array}{c}u^{1,0}\\u^{2,0}\end{array}}\right).}
これらの概念を用いると、波動方程式は U (0) = U 0 となります 。
U
′
(
t
)
=
A
U
(
t
)
{\displaystyle U'(t)={\mathcal {A}}U(t)}
したがって、この式に対応する流れは
φ
(
U
0
,
t
)
=
e
t
A
U
0
{\displaystyle \varphi (U^{0},t)={\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}U^{0}}
ここで 、（ユニタリ）半群は
e
t
A
{\displaystyle {\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}}
A
.
{\displaystyle {\mathcal {A}}.}
ベルヌーイフロー エルゴード 力学系 、つまりランダム性を示すシステムもフローを示します。これらの中で最も有名なのはおそらく ベルヌーイフロー です。 オルンシュタイン同型定理は 、任意の エントロピー Hに対して、ベルヌーイフローと呼ばれるフロー φ ( x , t ) が存在し、時刻 t = 1 でのフロー 、 つまり φ ( x , 1)が ベルヌーイシフト であることを述べています 。
さらに、このフローは、時間の一定の再スケーリングまで一意です。つまり、 ψ ( x 、 t ) が同じエントロピーを持つ別のフローである場合、 定数 cに対して ψ ( x 、 t ) = φ ( x 、 t )となります。ここでの一意性と同型性の概念は、 動的システムの同型性 の概念です 。 シナイのビリヤード や アノソフフローを 含む多くの動的システムは、ベルヌーイシフトと同型です。
参照
参考文献
![{\displaystyle \mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}}0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aee7bb61e78231e52fa131c23f5096d26be4187)
