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管理図は、生産管理において品質および製造プロセスが安定した状態で管理されているかどうかを判断するために使用されるグラフです。(ISO 7870-1) [ 1 ]グラフ上には時間ごとの状態が配置され、従来の傾向と異なるデータや管理限界線から逸脱したデータの存在に基づいて異常の発生が判断されます。管理図は、シューハート個別管理図(ISO 7870-2) [ 2 ]とCUSUM (CUsUM)(または累積和管理図)(ISO 7870-4) [ 3 ]に分類されます。
管理図は、ウォルター・A・シューハートにちなんでシューハート図またはプロセス挙動図とも呼ばれ、製造プロセスやビジネスプロセスが管理状態にあるかどうかを判断するために使用される統計的プロセス管理ツールです。管理図は、統計的プロセス監視（SPM）のための図式ツールであると言う方がより適切です。従来の管理図は、プロセス分布の基礎となる形式が既知の場合にプロセスパラメータを監視するように設計されています。しかし、21世紀には、基礎となるプロセス分布に関する知識がなくても、入力データストリームを監視できるより高度な技術が利用可能になっています。分布に依存しない管理図は、ますます普及しています。
管理図の分析により、プロセスが現在管理状態にある（つまり、安定しており、変動はプロセスに共通する要因からのみ生じている）ことが示された場合、プロセス制御パラメータの修正や変更は必要なく、また望ましくもありません。さらに、プロセスからのデータを使用して、プロセスの将来のパフォーマンスを予測することができます。管理図が監視対象のプロセスが管理状態にないことを示している場合、管理図の分析は変動要因の特定に役立ちます。変動要因はプロセスのパフォーマンス低下につながるためです。[ 4 ]安定しているものの、望ましい（仕様）限界を超えて稼働しているプロセス（たとえば、不良率が統計的に管理されているものの、望ましい限界を超えている場合）は、現在のパフォーマンスの原因を理解し、プロセスを根本的に改善するための意図的な努力によって改善する必要があります。[ 5 ]
管理図は、品質管理の7つの基本ツールの1つです。[ 6 ]通常、管理図は時系列データ、つまり連続データまたは変数データに使用されます。論理的に比較可能なデータ（つまり、すべて同じ時間に採取されたサンプルを比較したい場合、または異なる個人のパフォーマンスを比較したい場合）にも使用できますが、これを行うために使用するチャートの種類を検討する必要があります。[ 7 ]
管理図は、1920年代にベル研究所 で働いていたウォルター・A・シューハートによって考案されました。 [ 8 ]同社のエンジニアは、電話伝送システムの信頼性を向上させようとしていました。アンプやその他の機器は地下に埋める必要があったため、故障や修理の頻度を減らすことがビジネス上より強く求められていました。1920年までに、エンジニアたちは製造工程におけるばらつきを減らすことの重要性をすでに認識していました。さらに、不適合に対する継続的な工程調整が、実際にはばらつきを増やし、品質を低下させることも認識していました。シューハートは、ばらつきの共通原因と特殊原因という観点から問題を捉え、1924年5月16日に、この2つを区別するためのツールとして管理図を紹介する社内メモを作成しました。シューハートの上司であるジョージ・エドワーズは次のように回想している。「シューハート博士は、わずか1ページほどの短いメモを作成しました。そのページの約3分の1は、今日では概略管理図として認識されるような単純な図に割かれていました。その図と、その前後に続く短い文章には、今日私たちがプロセス品質管理として知っているものに関わるすべての重要な原則と考慮事項が示されていました。」[ 9 ]シューハートは、生産プロセスを共通原因変動のみが存在する統計的管理状態にし、それを管理下に置くことが、将来の生産量を予測し、プロセスを経済的に管理するために必要であると強調した。
シューハートは、綿密に設計された実験によって、管理図の基礎と統計的管理状態の概念を確立しました。シューハートは純粋な数学的統計理論から着想を得ましたが、物理プロセスからのデータは通常「正規分布曲線」（ガウス分布、一般に「ベルカーブ」とも呼ばれる）を生成することを理解していました。彼は、製造データで観測された変動が、自然界のデータ（粒子のブラウン運動）と常に同じように振る舞うわけではないことを発見しました。シューハートは、すべてのプロセスは変動を示すが、一部のプロセスはプロセスに固有の制御された変動を示し、他のプロセスはプロセスの因果システムに常に存在するわけではない制御されていない変動を示すと結論付けました。[ 10 ]
1924年か1925年頃、シューハートの革新的な手法は、当時ホーソーン研究所で働いていたW・エドワーズ・デミングの目に留まった。デミングは後に米国農務省に勤務し、米国国勢調査局の数学顧問となった。その後半世紀にわたり、デミングはシューハートの研究の最も熱心な支持者、推進者となった。第二次世界大戦終結後の日本の敗戦後、デミングは連合国最高司令官の統計顧問を務めた。その後、日本社会に深く関わり、産業コンサルタントとして長年活躍したことで、シューハートの考え方と管理図の活用は、1950年代から1960年代にかけて日本の製造業に広く普及した。
ウィスコンシン州オコノモウォックの高校教師ボニー・スモールは、シューハートの著作を読み、シカゴのいとこの写真ラボで働いていたときに管理図を使うことを思いついた。1942年、彼女はウェスタン・エレクトリックのシセロにあるホーソーン工場で働き始め、工場での経験からシューハートのアイデアの活用をさらに洗練させた。ゼネラル・エレクトリックがペンシルベニア州アレンタウンに新開発のトランジスタを製造する新工場を開設したとき、スモールは工場の品質システムの監督を依頼された。[ 11 ]彼女は会社から、品質に対する彼女のアプローチを体系化するための委員会を組織するよう依頼され、1956年に委員会は『ウェスタン・エレクトリック統計品質管理ハンドブック』の初版を出版した。[ 12 ]
管理図は以下で構成されます。
このチャートには、以下のようなその他のオプション機能が含まれている場合があります。
（注：信号検出には複数のルールセットが存在しますが、これはそのうちの1つです。ルールセットは明確に記載する必要があります。）
管理図定数またはバイアス補正係数は、管理図で使用される定数です。[ 13 ]これらの定数はサブグループのサイズ (n) に基づいており、標本分布の統計的特性から導出されます。[ 14 ] [ 15 ]最初に提案された管理図定数はd2とd3でした。[ 16 ]
プロセスが管理状態にあり（かつプロセス統計量が正常であれば）、全データの99.7300%は管理限界内に収まります。管理限界外の観測値、または管理限界内の系統的なパターンは、特殊原因変動と呼ばれる、新たな（そしておそらく予期せぬ）変動要因の発生を示唆します。変動の増加は品質コストの増加を意味するため、特殊原因の存在を示す管理図は、直ちに調査する必要があります。
このため、管理限界は非常に重要な意思決定支援ツールとなります。管理限界はプロセスの挙動に関する情報を提供するものであり、仕様目標やエンジニアリング許容値とは本質的な関係はありません。実際には、プロセス設計が望ましいレベルでプロセス特性を実現できないため、プロセスの平均値（したがって中心線）が品質特性の指定値（または目標値）と一致しない場合があります。
管理図は、プロセスに関わる人々（例えば、機械オペレーター）が仕様通りに作業することに重点を置く傾向があるため、仕様限界や目標値を制限します。実際には、最もコスト効率の良い方法は、プロセスのばらつきをできるだけ低く抑えることです。自然な中心が目標値と一致しないプロセスを目標仕様値に合わせようとすると、プロセスのばらつきが増加し、コストが大幅に増加するため、作業効率が著しく低下します。ただし、プロセス能力分析では、自然なプロセス限界（管理限界）と仕様値との関係を調べます。
管理図の目的は、プロセスの変動性の増加を示す事象を簡単に検出できるようにすることです。[ 17 ]プロセス特性が継続的に変化している場合、この簡単な判断は困難になることがあります。管理図は、変化の統計的に客観的な基準を提供します。変化が検出され、それが良いと判断された場合は、その原因を特定し、新しい作業方法にする必要があります。変化が悪い場合は、その原因を特定して排除する必要があります。
警告限界を追加したり、管理図をゾーンに分割したりする目的は、何か異常が発生した場合に早期に通知することです。品質エンジニアは、特別原因が存在するかどうかを判断するために直ちにプロセス改善活動を開始する代わりに、プロセスが真に管理されていることが明らかになるまで、プロセス出力からサンプルを採取する頻度を一時的に増やすことができます。3シグマ限界では、共通原因変動は、歪んだプロセスでは22ポイントに1回未満、正規分布プロセスでは約370ポイントに1回（1/370.4）の頻度でシグナルを生じます。[ 18 ] 2シグマ警告レベルは、正規分布データではプロットされたポイントの約22ポイント（1/21.98）に1回程度到達します。（例えば、中心極限定理によれば、分散が存在するほぼすべての基礎分布から抽出された十分に大きなサンプルの平均は正規分布します。）
シューハートは、以下の基準に基づいて3シグマ（3標準偏差）の制限値を設定した。
シューハートは結論を次のように要約した。
… たまたま私たちが使用している基準が、高度な統計定理に由来する由緒あるものであるという事実は、その使用を正当化するものではない。そのような正当化は、それが機能するという経験的証拠から得られるべきである。実務的なエンジニアが言うように、百聞は一見に如かずである。[ 19 ]
シューハートは当初、確率分布に基づく限界値を試したが、最終的には次のように書いた。
統計的制御状態を特徴づけようとする初期の試みのいくつかは、周波数関数fの特別な形式が存在するという信念に触発されたものであり、そのような状態を特徴づけるのは正規法則であると早くから主張されていた。正規法則が不十分であることが判明すると、一般化された関数形式が試みられた。しかし今日では、一意の関数形式fを見つけるという希望はすべて打ち砕かれている。[ 20 ]
管理図はヒューリスティックとして意図されています。デミングは、これは仮説検定ではなく、ネイマン・ピアソン補題に基づくものでもないと主張しました。彼は、ほとんどの産業状況において母集団と標本抽出枠が分離しているため、従来の統計的手法の使用が困難になると主張しました。デミングの意図は、将来と過去を含む広範囲にわたる未知の状況下で、プロセスの原因体系に関する洞察を得ることでした。彼は、そのような状況下では、3シグマ限界が、 2つのエラーによる経済的損失を最小限に抑えるための合理的かつ経済的な指針を提供すると主張しました。
管理限界の計算においては、必要な標準偏差（誤差）は、工程における共通原因変動の標準偏差（誤差）である。したがって、標本分散を用いた通常の推定値は、共通原因と特殊原因の両方による総二乗誤差損失を推定するため、使用されない。
別の方法として、レオナルド・H・C・ティペットが導出した標本の範囲と標準偏差の関係を推定量として使用する方法がある。この推定量は、特殊原因に典型的な極端な観測値の影響を受けにくい傾向がある。
最も一般的なセットは次のとおりです。
中心線の同じ側で観測された一連の観測がどのくらいの長さであれば信号とみなすべきかについては特に議論があり、6、7、8、9のいずれもが様々な論者によって提唱されている。
ルールセットを選択する上で最も重要な原則は、データを検証する前に選択を行うことである。データを見た後にルールを選択すると、データによって示唆されるテスト効果のために、第一種過誤率が増加する傾向がある。
1935年、英国規格協会は、イーゴン・ピアソンの影響を受け、シューハートの精神に反して、管理図を採用し、3シグマ限界を正規分布のパーセンタイルに基づく限界に置き換えた。この動きは、ジョン・オークランドらによって今も支持されているが、シューハート＝デミングの伝統を受け継ぐ著述家からは広く批判されている。
特定の管理図で設定された許容範囲から外れた点が発生した場合、そのプロセスを担当する者は、特殊原因が発生したかどうかを判断する必要があります。特殊原因が発生した場合は、その特殊原因による結果が、共通原因のみによる結果よりも良いか悪いかを判断することが適切です。結果が悪ければ、可能であればその原因を排除すべきです。結果が良ければ、結果を生み出すシステム内に意図的に特殊原因を残しておくことが適切かもしれません。
プロセスが管理状態にある場合（つまり、システムに特別な原因が存在しない場合）、3シグマ管理限界を超える点が発生する確率は約0.27%です。そのため、適切に作成された管理図にプロットされた管理状態にあるプロセスであっても、実際には特別な原因が発生していなくても、最終的には特別な原因が存在する可能性を示唆する信号が送られます。3シグマ限界を使用するシューハート管理図の場合、この誤警報は平均して1/0.0027、つまり370.4回の観測ごとに発生します。したがって、シューハート管理図の管理状態における平均実行長（または管理状態ARL）は370.4となります。
一方、特殊原因が発生した場合でも、その影響が十分でないために、管理図が即座に警報状態を発するとは限りません。特殊原因が発生した場合は、対象となるプロセスの平均値や分散の変化を測定することで、その原因を特定できます。これらの変化を定量化することで、管理図の管理外ARL（平均実行長）を決定することが可能です。
シェワート管理図は、プロセス平均や分散の大きな変化を検出するのに非常に優れていることがわかっています。これは、これらの場合、管理外ARLがかなり短いためです。しかし、小さな変化（平均の1シグマまたは2シグマの変化など）の場合、シェワート管理図はこれらの変化を効率的に検出しません。EWMA管理図、CUSUM管理図、リアルタイムコントラスト管理図など、他のタイプの管理図が開発されており、これらは最新のデータポイントより前に収集された観測からの情報を使用することで、より効率的に小さな変化を検出します。[ 22 ]
多くの管理図は、ガウス分布を仮定した数値データに対して最も効果的に機能します。リアルタイムコントラストチャートは、高次元、数値とカテゴリの混合、欠損値、非ガウス分布、非線形関係など、複雑な特性を持つプロセスを監視するために提案されました。[ 22 ]
複数の著者が、管理図は尤度原理に違反しているとして批判している。しかし、尤度原理自体が議論の的となっており、管理図の支持者はさらに、特にプロセスの原因システムに関する知識が乏しい場合、統計的に管理されていないプロセスに対して尤度関数を指定することは一般的に不可能であると主張している。
一部の著者は、管理図の性能を比較するために平均実行長（ARL）を使用することを批判している。なぜなら、その平均値は通常、ばらつきが大きく扱いが難しい幾何分布に従うからである。
一部の著者は、ほとんどの管理図が数値データに焦点を当てていることを批判している。今日では、プロセスデータは、非正規分布、数値とカテゴリの混合、欠損値など、はるかに複雑になる可能性がある。[ 22 ]
†一部の実務家は、特に二項分布データ（p- および np- 管理図）またはポアソン分布データ（u- および c- 管理図）の仮定が満たされない場合に、属性データに個人管理図を使用することを推奨しています。[ 23 ]この慣行には主に 2 つの理由があります。まず、統計的管理には正規性は必要ないため、個人管理図は非正規データに使用できます。[ 24 ]次に、属性管理図は平均比率から直接分散の尺度を導出します（確率分布を仮定することによって）が、個人管理図は平均とは無関係にデータから分散の尺度を導出するため、個人管理図は属性管理図よりも基礎となる母集団の分布に関する仮定の違反に対して頑健です。[ 25 ]二項分布とポアソン分布が正規分布に近似する場合、個数が多い場合に個人管理図の代替が最も効果的であると指摘されることがあります。すなわち、 p-管理図およびnp管理図の場合は試行回数n > 1000 、 u-管理図およびc管理図の場合はλ > 500の場合。
このアプローチに対する批判者は、管理図の前提条件が満たされない場合、例えばプロセスデータが正規分布にも二項分布（またはポアソン分布）にも従わない場合には、管理図を使用すべきではないと主張する。このようなプロセスは管理状態にないため、管理図を適用する前に改善する必要がある。さらに、このような逸脱が存在する状況で管理図を適用すると、管理図の第一種過誤率と第二種過誤率が増加し、管理図の実用性が損なわれる可能性がある。
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